这是一个降价版的教程学习你的Agda和实现启蒙！利亚姆·奥康纳·戴维斯著。
我制作这个版本是为了我自己的参考，同时我还进行了一些修改和补充，以及一些修正。你可能更喜欢原版。
欢迎学习Agda并获得启发！如果你正在读这篇文章，你可能会好奇Agda是什么，为什么你想学习它，以及一般来说，依赖类型的纯函数编程有什么大不了的。
受BONUS的启发，我决定写一本易懂的Agda教程，向普通人而不是象牙塔学者介绍独立打字编程。当然，鉴于我是象牙塔学者之一，这可能并不容易。不过，我准备试一试。学习Agda对我来说是一个非常有益但非常困难的过程。我希望，通过编写本教程，每个人都能轻松一点。
（最初的教程建议在Agda之前先学习Haskell。但是，如果一个人已经知道一些函数式编程，那么Agda应该不是很难学。对于那些具有一定逻辑背景和其他依赖类型语言经验的人来说，这一点尤其重要。）
本教程并非针对那些完全不熟悉功能编程的人。Agda在基本层面上类似于Haskell和ML等类型化函数语言，因此了解ML家族中的一种语言肯定会使学习Agda变得更容易。
如果您不懂静态类型的函数式语言，我建议您学习Haskell，因为Agda与Haskell生态系统有着密切的关系。如果你想找一本好的哈斯凯尔教程，那就看看这本书的比较吧，给你学一本哈斯凯尔。
如果你不知道纯粹的函数式编程是如何工作的，在尝试解决Agda之前先学一点。
了解命令式和面向对象编程（C、Java、Ruby等）没有必要。事实上，当你试图学习Agda时，尝试运用从这些语言中学习到的技能甚至可能会表现得很糟糕。
这个故事的寓意是：保持开放的心态。Agda的很多功能最初很难理解。过了很长一段时间，阿格达的一切才在我的脑海中就位。阿格达很难。然而，过了一段时间，阿格达的内在美脱颖而出，一切都只是咔哒一声。如果你在Agda学习中遇到障碍，不要气馁！继续努力，最终你会成为阿格达夫的大师。
Agda是一种编程语言，但不像Java那样是一种编程语言。它甚至不太像Haskell，尽管它更像Haskell而不是Java。
Agda是一种使用依赖类型的编程语言。很多人都会熟悉java语言或C++等命令式语言的类型，如果你重新阅读到这一点，你也应该熟悉Haskel.
这些语言中的类型本质上是用标记来注释表达式。在一个简单的层次上，表达式的类型可能只是一个具体类型，比如BoL或int（java）（泛型）、C++（通过模板）和Haskell都支持多态类型，例如列表A或图K V。
但是，如果列表a是一种类型，那么什么才是列表（没有参数）？Haskell称之为“类型构造函数”，但实际上它是类型级别的函数。List接受一个类型，比如Int，然后返回一个新类型ListInt。Haskell（带有适当的扩展）甚至支持类型级别上的任意函数，这些函数不一定要构造类型术语，而Instead可以简单地引用现有的函数。
因此，Haskell有类型级别的函数，甚至有类型级别的类型（种类）。它几乎像是一种全新的语言，覆盖在Haskell之上，在编译时运行，处理类型术语。
事实上，你可以这样想任何类型的系统。在C++中，人们利用其类型系统的完整性来完成编译时分析和计算。虽然这种打字水平的工作非常强大，但我担心这种打字机器往往很难理解和操作。即使在Haskell中，广泛使用类型级计算的应用程序通常也很难理解。类型级别的“语言”几乎总是比值级别的“语言”更复杂
在Agda中，类型和值之间不存在区别。相反，用于操纵类型术语的语言与用于操纵值的语言完全相同。
这意味着您实际上可以在类型中包含值。例如，Listtype构造函数可以通过其内容的类型和相关列表的长度进行参数化（我们将在后面进行）。例如，这允许编译器检查您，以确保您没有试图在一个可能为空的列表上调用head的情况。能够在类型中包含值，并对其使用所有相同的值级操作，这就是Agda依赖于类型的原因——不仅值可以有一个类型，而且类型也可以有一个值。
事实上，由于值的语言和类型的语言是相同的，所以任何可以表达的关于值的属性都可以在其类型中静态地表达，并由Agda进行机器检查。我们可以从程序中静态消除任何错误场景。
如果我能想出一个Foo类型的函数->；Bar（Agda说它是正确的）这意味着我不仅编写了一个程序，而且还编写了一个证明结构，假设某个前提为Foo，判断Barhold。（稍后我们将更多地讨论证据；我不想现在就陷入细节。）
鉴于我们的Foo和Bar可以随心所欲地表达，这让我们只需利用证明和程序之间的这种对应关系，就可以对我们的程序进行任何我们想要的改进——称为Curry Howard对应关系，这是两位杰出的逻辑学家在60年代发现的。
软件形式验证的有效性经常受到程序员的激烈质疑，他们通常没有正式验证的经验。通常，测试方法被认为是一种更可行的选择。
虽然在某些可以接受bug的情况下，形式验证是过度的，但我几乎不认为测试可以完全取代形式验证。以下是三个原因：
证明在并行场景中有效。您无法可靠地针对竞争条件、饥饿或死锁进行单元测试。所有这些都可以通过形式化方法消除。
像程序一样，证明也是合成的。测试并非如此。在测试场景中，通常必须编写单元测试和集成测试：分别测试小组件的单元测试，以及测试这些小组件之间交互的集成测试。如果我有这些小组件行为的证明，我可以简单地使用这些证明结果来满足关于它们的交互的证明义务——没有必要为两种测试场景重新创造一切。
证据是傻瓜式的。如果我有一套测试来显示某些属性，那么该属性可能实际上并不成立——我只是在测试中不够彻底。有了正式的验证，违反你的财产就不可能像那样从裂缝中溜走。
当然，证据并非适用于所有情况，但我认为它们应该比目前更广泛地使用。
多亏了Curry Howard，Agda还可以用作证明语言，而不是编程语言。你可以构建一个证明，不仅是关于你的程序，而且是关于你喜欢的任何东西。
事实上，库里·霍华德向我们展示了函数式编程（Lambda演算）的基本原理和数学证明（逻辑）的基本原理实际上是一样的（同构的）。这意味着我们可以在Agda中以程序的形式构造数学证明，并让Agda为我们检查它们。它必须和标准的纸笔数学证明一样有效（可能更有效，因为Agda不允许我们把任何东西作为“读者练习”留下”——Agda可以自动为我们检查证明的正确性。我们稍后将通过证明一些关于Peano自然数的基本数学性质来完成这项工作。
因此，阿格达是一种真正实现了库里·霍华德梦想的语言。Agda程序也是inits类型表示的公式的证明。
在编写本文时，只有使用ingemacs编辑Agda代码才是真正可行的。GNU Emacs或XEmacs都可以。然而，编辑Agda代码并不需要精通Emacs。
（如果您使用的是Ubuntu Linux，您可能希望跳到下一节，在Ubuntu Linux上安装。）
您将需要GHC、Haskell编译器以及各种工具和库，它们构成了Haskell平台。这是开始使用Haskell的最佳方式，也是获得Agda的最简单方式。
一旦你有了Haskell和Emacs，你还需要做三件事：
安装Agda。Linux用户可以从packagemanager中获得Agda软件包（搜索“Agda”以查找）。如果没有或没有，只需使用Haskell平台的cabal安装工具下载、编译和设置Agda即可。
为emacs安装Agda模式。只需输入命令提示符（Agda在您的路径中）：
还要编译Agda模式（如果更新Agda，则需要再次编译）：
到那时你应该准备好了。要想知道一切是否都如预期般顺利，请转到下一节。
在Ubuntu Linux系统上，不必像上面那样使用cabal安装Agda，也可以使用以下两个命令，这两个命令需要几分钟才能运行：
就这样！现在，当您启动Emacs并使用。agda扩展，应切换至agda模式或agda2模式。如果没有，您可以通过调用以下选项之一（当然是在Emacs中）手动切换：M-x agda模式或M-x agda2模式或Esc-x agda模式。（找到可用AGDAMODE的一个简单方法是键入M-x agda，然后点击tab几次，查看可能的完成情况。）
大多数语言教程都以典型的“Hello，World”示例开头，但这并不适用于Agda中的第一个示例。与其他语言不同，Agda依赖于大量的原始操作和基本构造的特殊情况，Agda非常小，大多数“语言构造”实际上都是在库中定义的。
Agda甚至没有内置数字，所以我们要做的第一件事就是定义它们，特别是自然数。自然数是非负整数，也就是以零和goingup开头的整数。数学使用符号$\N$来表示自然数，因此我们将借用它作为例子（Agda与其他语言不同的另一个特点是它广泛使用unicode，使数学构造更自然）。进入ℕ 在emacs中，键入\bn。输入unicode箭头(→),键入\->；。我将一行一行地演示这一点，请耐心听我说。
data关键字表示我们在本例中定义了一个类型，ℕ.在本例中，我们指定ℕ 是Set类型（冒号的意思）。
如果您还记得介绍的话，我提到在Agda中，类型和值的处理方式是相同的。因为值是给定的类型，所以类型也是给定的类型。类型只是一组特殊的语言术语，在Agda中，所有术语都有类型。
甚至设置（我们的类型）ℕ) 有一种类型：Set₁, 哪个有一套字体₂, 一直到无穷远。稍后我们将进一步讨论这些集合类型的含义，但现在您可以将集合视为我们在程序中使用的所有数据类型的类型。
这种类型的无限层次结构为罗素悖论提供了一个优雅的解决方案。例如，设置₁ 不能包含集合₁ 还是设定₂, 只有集合，所以罗素的问题集合（包含自身）不可能存在。
好的，我们已经定义了类型，但是现在我们需要用值填充类型。虽然没有值的类型确实有它的用途，但没有值的自然数类型是绝对错误的。所以，我们要定义的第一个自然数是零：
在这里，我们只是宣布零这个术语是我们新类型的一个成员ℕ. 我们可以继续这样定义更多的数字：
但是，我们很快就会发现我们的文本编辑器中充满了定义，而且我们定义所有自然数的速度也不会比我们开始时快。所以，我们应该引用一个严格的数学定义。
对于任何自然数$n$，$n+1$也是一个自然数。为方便起见，我们将$n+1$称为$\mathtt{suc}\n.$1（$\forall n\in\mathbb{n}.\\mathtt{suc}\n\in\mathbb{n}$）。
（我在这里使用的符号应该对任何了解集合论和/或一阶逻辑的人都很熟悉。不要惊慌。如果你不了解这些东西，我们将在AGDA中为类似的东西开发模型，这样你就可以在我们继续的过程中学习。）
这被称为自然数的归纳定义。我们称之为归纳，是因为它由一个基本规则和一个归纳规则组成，在这个基本规则中，我们定义了一个固定的起点，而归纳规则应用于集合中的一个元素时，会归纳出集合中的下一个元素。这是一种非常优雅的定义大集合的方式。这种定义自然数的方法是由一位名叫朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）的数学学家发明的，因此它们被称为皮亚诺数。
在接下来的章节中，我们将研究归纳证明，它具有相似的结构。
对于基本情况，我们已经在$\mathbb{N}$中定义了零，方法是：零：ℕ. 为了归纳地定义自然数，让我们回顾一下一阶逻辑的诱导步骤。这可以写如下：
$\forall n\in\mathbb{n}.\\mathtt{suc}\n\in\mathbb{n}$给定一个自然数n，构造函数suc将返回另一个自然数。换句话说，suc可以被认为是一个函数，当给定一个自然数时，它会产生下一个自然数。在Agda中，我们这样定义构造函数suc：
现在我们可以将数字1表示为suc zero，将数字2表示为suc（suczero），将数字3表示为suc（suc（suc zero）），依此类推。
如果您将其加载到GHCi中，并询问它Suc的类型，它（毫不奇怪）会告诉您：Nat->；纳特。这是学习如何在Agda中定义构造函数的好方法。
此外，GHC还支持一个扩展，即广义代数数据类型或GADT，它允许您定义Agda样式的数据类型：
值得注意的是，GADT与Agda数据定义并不完全相同，Haskell仍然不是依赖于类型的，因此您在本书中学到的很多内容不会直接延续到扩展的Haskell。
现在，我们将对自然数定义一些算术运算。让我们先试试加法。
我在这里声明一个函数。首先，我给它一个类型2，它接受两个自然数，然后返回一个自然数。
与Haskell不同，它只有前缀函数（普通函数）和InfixFunction（运算符），Agda支持mixfix语法。这允许您声明参数可以出现在术语中任何位置的函数。你可以用下划线来指代论点的“漏洞”。
这可以非常灵活地使用：你可以用if-athen b else c调用这个函数，Agda将其解释为if_-then_else_uuB c。这种语法灵活性提供了强大的表达能力，但要小心过度使用，因为它可能会让人非常困惑！
_+_ : ℕ → ℕ → ℕ 零+m=m（suc n）+m=suc（n+m）
通常情况下，我们会在此时运行程序，以验证它是否有效，但在Agdawe中，请检查我们的代码。这将检查我们的所有证明义务是否已得到履行：
它会检查你的类型。类型是在Agda中对证明进行编码的方式（尽管我们还没有做任何非琐碎的证明），所以这一点很重要。
程序的证明义务只能在程序终止时进行机器检查，但检查任何程序是否终止通常是不可判定的（请参阅停止问题）。为了避免这种困境，Agda只在有限数据结构的结构递归上运行它的检查器，并警告它不能检查使用非结构递归的证明义务。我们将在后面的章节中对此进行更多讨论，但Agda可以证明本教程早期的所有示例都是终止的。
模块LearnYouAn数据在哪里ℕ : 设置为零：ℕ suc：ℕ → ℕ _+_ : ℕ → ℕ → ℕ 零+m=m（suc n）+m=suc（n+m）
确保缩进正确！特别是，zero和suc的构造函数从第5列开始（数据中t的下方），而+u定义中的所有三行都从第3列开始。
要检查程序，请在Emacs中键入C-C-l（或从Agdamenu中选择Load）。如果程序检查正确，则不会出现错误消息、孔标记（黄色高亮显示）和橙色高亮显示的非终止部分。此外，单词（Agda:Checked）应该出现在Emacs模式行中，您应该注意到字符的颜色已经改变。
现在，我们的检查并没有那么有意义。他们证明的唯一一件事是，我们的加法函数确实可以接受任何自然数，并产生一个自然数，正如类型所示。后来，当我们在类型中编码更多信息时，我们的检查可能比运行和测试程序意味着更多。
要计算一个表达式（只是为了验证它是否真的有效），我们可以在emacs中键入C-C-n，或者从agdamnus中选择“将术语计算为标准形式”。然后，在minibuffer中，我们可以为3+2输入一个表达式：
在本节中，我们研究了Peano自然数，并在Agda中定义了一些基本函数和数据类型。在下一节中，我们将介绍命题逻辑，以及如何使用该系统在Agda中编码逻辑证明。
如果第一个程序无法运行，请确保缩进正确。下载LearnYouAn可能会有所帮助。agda文件，只是为了确定。
现在我们已经定义了自然数，我们要做一些简单的例子来证明一些基本的数学性质。我们将首先讨论自然演绎中的逻辑和逻辑规范，接下来，我们将讨论Agda的应用。
从根本上讲，逻辑是一个判断系统。判断是数学语言中可能被证明或未被证明的陈述。一种语言通常被描述为一组字符串，这些字符串构成了该语言的每个术语，但这是一种简化：一种语言可以由任意数据结构组成。我们只使用字符串来表示这些结构，因为任何数据结构都可以用字符串形式表示。
在我们的例子中，我们将基于前面使用的自然数$\mathbb{N}$语言定义一个非常简单的逻辑。
我们只需要一种类型的判断，形式为$\mathbb{N}\\textbf{偶数}$，只有当给定的数字是偶数时才可以证明。
逻辑由一组公理和一组规则组成。公理是逻辑的基础：它们是基本的、简单的、被认为是正确的陈述。规则描述了如何从现有的定理中产生新的定理。定理是一个已被证明的命题。因此，规则告诉我们如何使用其他语句的证明来构造语句的证明。我们可以通过将这些公理和规则以推理规则的形式写入名为naturaldeduction的元逻辑中，从而正式指定这些公理和规则，如下所示：
这就是说，如果我们能证明所有的前提$P_1\cdots P_n$，那么我们就能证明结论$C$。
出于我们的目的，我们只有一条公理，那就是零是偶数。公理是作为推理规则编写的，没有前提：
然后，基于
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