蒙特卡罗几何处理

本文探讨了如何通过无网格蒙特卡罗方法高效、可靠地解决基于偏微分方程的几何处理中的核心问题。现代几何算法经常需要求解几何复杂区域上的类泊松方程。传统的方法通常是将区域网格化，这对于具有精细细节或缺陷(孔洞、自交点等)的几何体来说既具有挑战性，又成本高昂。相比之下，无网格蒙特卡罗方法完全避免了网格生成，而只计算最近点查询。因此，即使在极具挑战性的模型上，它们也不会离散化空间、时间，甚至也不会离散化函数空间，也不会提供精确的解决方案(在预期中)。更广泛地说，它们与蒙特卡罗方法共享照片级真实感渲染的许多优点：出色的缩放、简单的并行实现、依赖于视图的求值，以及处理任何类型的几何体(包括隐式或过程描述)的能力。我们开发了一个完整的“黑盒”解算器，包括集成、减方差和可视化，并探索如何将其用于各种几何处理任务。特别地，我们考虑了Rn的固体区域上几个基本的常系数线性椭圆型偏微分方程。总的来说，我们发现Monte Carlo方法大大拓宽了几何处理的视野，因为它们很容易处理传统方法根本无法处理的尺寸和复杂性问题。