跳转到导航跳转到搜索0的0次方，用0 0表示，这是一个没有达成一致的值的数学表达式。最常见的可能性是1或不定义表达式，根据上下文，每个表达式都有理由。在代数和组合学中，通常商定的值是0 0=1，而在数学分析中，表达式有时不定义。计算机程序也有不同的方式来处理这个表达式。
有许多广泛使用的公式，其术语涉及自然数指数，要求0 0求值为1。例如，将b0视为空积，即使当b=0时，也会为其赋值1。或者，b0的组合解释是具有b个元素的集合中元素的空元组的数目；即使b=0，也恰好有一个空元组。等价地，0 0的集合论解释是从空集到空集的函数的个数；这样的函数恰好只有一个，即空函数。[1]。
同样，在使用多项式时，将0定义为值为1也很方便。多项式是以下形式的表达式：a 0 x 0+⋯+a n x n{\displaystyle a_{0}x^{0}+\cdots+a_{n}x^{n}}其中x是不确定的，系数a{\displaystyle a_{n}}是实数(或者，更一般地，某些环的元素)。x中所有实多项式的集合由R[x]{\displaystyle\mathbb{R}[x]}表示。多项式按项相加，然后乘以不定x中指数的通常规则(参见柯西乘积)。有了这些操作的代数规则，多项式就形成了多项式环。多项式x0{\displaystyle x^{0}}是多项式环的单位元，这意味着它是使得x0{\displaystyle x^{0}}与任何多项式p(X){\displaystyle p(X)}的乘积仅为p(X){\displaystyle p(X)}的(唯一)元。[2]多项式可以通过将不定x专门化为实数来计算。更准确地说，对于任何给定的实数x 0{\displayStyle x_{0}}，存在唯一的单位环同态Ev x 0：R[x]→R{\DisplayStyle\OperatorName{ev}_{x_{0}}：\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}}使得ev x 0。(X 1)=x 0{\DisplayStyle\OperatorName{ev}_{x_{0}}(x^{1})=x_{0}}。[3]这称为赋值同态。因为它是一个单位同态，所以我们有ev x 0(X 0)=1.{\DisplayStyle\OperatorName{ev}_{x_{0}}(x^{0})=1。}也就是说，对于x到实数(包括零)的所有特化，x0=1{\displaystyle x^{0}=1}。
这一观点对于组合学中出现的许多多项式恒等式是有意义的。例如，二项式定理(1+x)n=∑k=0n(Nk)xk{\displaystyle(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}}x^{k}}对于x=0无效，除非0=1。[4]类似地，幂级数环要求x 0=1{\displaystyle x^{0}=1}对于x的所有特殊化都为真。因此，像1 1−x=∑n=0∞x n{\displaystyle{\frac{1}{1-x}}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}}和e这样的恒等式。x=∑n=0∞x n n！{\DisplayStyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n！}}仅当0=1时，函数恒等式(包括x=0处)才为真。
在微积分中，幂规则ddxxn=nxndisplaystyle 1{\−{\frac{d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}对于x=0的n=1是无效的，除非0 0=1。
涉及代数运算的极限通常可以通过将子表达式替换为它们的极限来计算；如果结果表达式不确定原始极限，则该表达式称为不确定形式。[5]实际上，当f(T)和g(T)都是逼近0的实值函数(当t逼近实数或±∞)时，对于f(T)和gt；0，函数f(T)g(T)不必逼近1；取决于f和g，f(T)g(T)的极限可以是任何非负实数或+∞，也可以发散。例如，下面的函数形式为f(T)g(T)，其中f(T)，g(T)→0 as t→0+(单边限制)，但是限制是不同的：
LIM t→0+t t=1，LIM t→0+(e−1 t 2)t=0，LIM T→0+
在复数域中，可以通过选择logz的分支并将zw定义为e w logz来为非零z定义函数zw。这不定义0w，因为在z=0处没有定义logz的分支，更不用说在0的邻域中了。[10][11][12]。
关于0 0{\displaystyle 0^{0}}的定义的争论至少从19世纪初就开始了。当时，大多数数学家都同意0 0=1{\displaystyle 0^{0}=1}，直到1821年柯西[13]将0 0{\displaystyle 0^{0}}以及像0 0{\displaystyle\textstyle{\frac{0}{0}这样的表达式一起列在一个不确定形式的表中。在19世纪30年代，Guglielmo Libri Carucci Carucci Dalla SomMaja[14][15]发表了一个关于0 0=1{\displaystyle 0^{0}=1}的不令人信服的论点，而莫比乌斯[16]站在他一边，错误地声称LIM t→0+f(T)g(T)=1{\DisplayStyle\TextStyle\LIM_{t\to 0^{+}}f(T)^{g(T)}\；=\；1}每当LIM t→0+f(T)=LIM t→0+g(T)=0{\DisplayStyle\TextStyle\LIM_{t\to 0^{+}}f(T)\；=\；\LIM_{t\to 0^{+}}g(T)\；=\；0}。一位署名为"；S&34；的评论员提供了(e−1/t)t{\displaystyle\textstyle(e^{-1/t})^{t}}的反例，这让辩论平息了一段时间。更多的历史细节可以在Knuth(1992)中找到。[17]。
有些人认为0 0{\displaystyle 0^{0}}的最佳值取决于上下文，因此一次性定义它是有问题的。[18]根据Benson(1999)，"；是否定义0 0{\displaystyle 0^{0}}的选择是基于便利性，而不是正确性。如果我们不定义0 0{\displaystyle 0^{0}}，那么某些断言就会变得不必要地笨拙。[.]。共识是使用定义0 0=1{\displaystyle 0^{0}=1}，尽管有些教科书没有定义0 0{\displaystyle 0^{0}}。"；[19]。
也有人认为0 0{\displaystyle 0^{0}}应该定义为1。Knuth(1992)强烈主张0{\displaystyle 0^{0}}"；必须是1"；在值0 0{\DisplayStyle 0^{0}}和极限形式0{\DisplayStyle 0^{0}}(f(X)g(X){\DisplayStyle\textStyle f(X)^{g(X)}}的缩写)之间画出区别，其中f(X)，g(X)→0{\DisplayStyle\TextStyle f(X)，g(X)\to 0})，它必须是Cauchy："所列出的不确定形式；柯西和Libri都是对的，但是Libri和他的捍卫者不明白为什么真理站在他们这边。"；[17]沃恩给出了其他几个定理的例子，这些定理的(最简单的)表述需要0 0=1作为约定。[20]。
大多数浮点库的设计都使用IEEE754-2008浮点标准。它推荐了一些计算幂的操作：[21]。
POW将0 0视为1。如果幂是精确整数，则结果与POWN相同，否则，结果与POWR相同(除某些例外情况外)。
POWN将0 0视为1。幂必须是精确整数。该值是针对负基定义的；例如，POWN(−3，5)是−243。
POWR将0视为NaN(非数字未定义)。对于POWR(−3，2)这样基数小于零的情况，该值也是NaN。该值由e次方×log(基)定义。
POWER变体的灵感来自C99的POW函数，主要是为了兼容。[22]它主要用于具有单一幂函数的语言。POWN和POWR变体的引入是由于POWER函数的使用冲突和不同的观点(如上所述)。[23]。
C和C++标准没有指定0 0的结果(可能会发生域错误)，但从C99开始，如果支持标准附件F，则结果需要为1，因为对于某些重要的应用程序，此值比NaN[24]更有用(例如，使用离散指数)。Java标准、[25].NET框架方法System.Math.Pow[26]和Python[27][28]也将0视为1。一些语言记录了它们的求幂运算对应于C数学库中的幂函数；Lua[29]和Perl的**运算符[30]就是这种情况(其中明确提到0**0的结果与平台相关)。
SageMath将b0简化为1，即使没有对b施加约束。它将0 0简化为1，但不会简化其他x的0 x。[需要引用]。
枫叶区分整数0，1，.。以及相应的浮点数0.0，1.0，.。(通常表示为0.，1.，.)。如果x的计算结果不是数字，则x 0和x 0.0的计算结果分别为1(整数)和1.0(浮点数)；另一方面，0 x的计算结果为整数0，而0.0 x的计算结果为0。如果基数和指数都为零(或求值为零)，则如果指数为浮点数0.0，则结果为浮点型(未定义)；以整数为指数时，0 0的求值结果为整数1，而0的求值结果为0。0表示浮点数为1.0。[需要引用]。
即使没有对b施加约束，Macsyma也会将b 0简化为1，但会发出0 0的错误。对于x>；0，它将0 x简化为0。[需要引用]。
MATHEMICAL将整数区分为精确数字，将浮点数区分为近似数字。它将b0简化为1，即使没有对b施加约束，也不会简化0x，并且将00简化为"；不确定"；。[31][31]。
PARI/GP还区分整数和浮点类型：当指数0是整数类型时，表达式(如0^0或0.^0)被简化为1。[32]当指数不是整数类型时，PARI/GP将x^n视为超越函数e nx{\displaystyle e^{n\log x}}，因此0^0。生成域错误。[33][33]。
Stata将0 0{\displaystyle 0^{0}}评估为1{\displaystyle 1}，但官方文档中没有对此行为的引用。
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一些教科书没有定义数量0，因为当x减小到0时，函数x0和0x有不同的极限值。但这是个错误。如果二项式定理在x=0，y=0和/或x=−y时有效，我们必须对所有x定义x0=1。二项式定理太重要了，不能被任意限制！相比之下，函数0x非常不重要"；。罗纳德·格雷厄姆；唐纳德·努斯；奥伦·帕塔什尼克(1989-01-05)。"；二项式系数"；。“具体数学”(第一版)。“艾迪森·韦斯利·朗曼出版公司”，第162页。ISBN电话：0-201-14236-8。
马利克，南卡罗来纳州；阿罗拉，萨维塔(1992)。数学分析。纽约：威利。第223页。ISBN电话：978-81-224-0323-7。通常，在两个函数的极限都存在的情况下，当x=a时，φ(X)/ψ(X)的极限等于分子除以分母的极限。但是，当两个限制都为零时会发生什么呢？然后除法(0/0)变得没有意义。像这样的情况被称为不确定形式。其他这样的形式是∞/∞、0×∞，∞−∞、0 0、1∞和∞0。
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