数学家测量多项式中的排斥力

在物理世界中，物体经常以有序的方式相互推开。想想看，在磁场的影响下，铁屑形成的对称图案，或者是正在练习社交距离的参观者的均匀间隔。

当数学家观察数字线时，他们看到的是同一类型的趋势。他们看着表示正负计数的刻度线，感觉到一种将它们保持在相等间距的数值力量。这就好像，就像拥有广阔领地的美洲狮一样，整数之间的距离不能超过1个单位。

数字线的间距是整个数论领域中发现的现象的最基本的例子。它在研究素数和不同类型方程的解之间的关系时突然出现。数学家可以通过量化它们之间的作用力来更好地理解这些重要的值。

“具有数论意义的事物往往会相互推开。多伦多大学的雅各布·齐默曼(Jacob Tsimerman)说：“这就是排斥原理。”“我们试图获得排斥原理，并利用它们来获得各种其他结果。”

数论中的许多重要工作都与排斥原理影响多项式、系数集合和升幂变量的方式有关。几十年来，数学家们一直试图确定在这种情况下斥力的确切大小。

在12月下旬发布在网上的一份证明中，多伦多大学的韦塞林·迪米特罗夫(Vesselin Dimitrov)最终做到了这一点。

剑桥大学的Péter Varjú在电子邮件中说：“这真的很壮观。”“Vesselin的想法是全新的，而且很漂亮。”

迪米特罗夫解决的问题，被称为Schinzel-Zassenhaus猜想，是关于多项式的值的几何的。它预测，当你画出某些值时，它们会以精确的方式展开，看起来就像是在相互推开。迪米特罗夫的工作精确地量化了这种扩散，证明了猜想是正确的。它还提供了对数字似乎遵守的规律的新见解。

齐默尔曼说：“根据我们对代数数字的理解，这一结果在地面上插上了一面旗帜。”

在研究多项式时，数学家特别感兴趣的是它们的“根”，即使多项式等于零的变量的值。一个多项式的根和它的次数一样多，也就是它的最大指数的值一样多。因此x 2−4有两个根(2和−2)，而x 5−7 x 3+2 x 2−4 x−9有五个根。

数学家想知道多项式的根是如何相互联系的。例如，当绘制图形时，某些多项式的根正好落在正多边形的顶点上-它们以精确的几何长度分开。数学家感兴趣的是寻找根之间其他更微妙的几何关系。

“你能拿到什么样的图案？你能得到一些图案吗，或者这些图案有没有什么限制？“。剑桥大学的伊曼纽尔·布鲁拉德(Emmanuel Breuillard)说。

迪米特罗夫解决的问题涉及到一族特别重要的表达式的根，称为割圆多项式。这些多项式不能分解成更小的多项式，但你可以用它们来构建其他多项式-它们就像多项式周期表中的元素。第一个也是最简单的割圆多项式是x−1，第二个是x+1，第十个是x4−x3+x2−x+1。然而，与元素周期表不同的是，割圆多项式的列表是永远不变的。

分圆多项式的根遵循一种非常特殊的几何模式。要查看它，请从空的复平面开始，在该平面中，x轴绘制实数，y轴绘制虚数。然后在原点周围画一个半径为1的圆。这是单位圆。分圆多项式的根都在这个圆上。它们有着一个优雅的名字：“团结之根”。

但是大多数多项式都是非割圆的，它们的根也不是单位根。这几乎是你能想出的任何系数、变量和指数的组合。

1965年，Andrzej Schinzel和Hans Zassenhaus预测，割圆多项式和非割圆多项式的根的几何形状有非常特殊的不同。取任何第一个系数为1的非分圆多项式，画出它的根。有些人可能落在单位圈内，有些人就在单位圈内，还有一些人在单位圈外。Schinzel和Zassenhaus预测，每个非割圆多项式必须至少有一个根在单位圆之外，并且至少有一段最小距离。

或者，用排斥力来表述辛泽尔-扎森豪斯猜想，它预测，非割圆多项式的最小根-可能落在单位圆内-有效地将其他根推到单位圆之外，就像磁铁相互推开一样。

布鲁亚德说：“你可以把一个多项式的根想象成带负电的粒子，它们相互排斥，随着距离的增加，力会衰减。”

Schinzel-Zassenhaus猜想甚至精确地定义了排斥力应该有多大。“它说有一种非常精确的、可量化的感觉，即根不可能都离单位圆很近，”齐默尔曼说。

这个猜想的主要预测有一种物理方程式的感觉。它说，每个非割圆多项式都应该至少有一个根在单位圆之外，距离等于一个常数除以多项式的次数。该常量的精确值不是关键的，所以为了举例，假设它是0.1。如果我们有一个23次的非分圆多项式，这个猜想预测它在单位圆之外至少应该有一个根1/23。

这是一个强有力的论断，但几十年来，数学家们只设法证实了猜想预测的较弱版本。

Schinzel和Zassenhaus自己证明了每个非分圆多项式在单位圆外至少有一个1/4的根，提升到多项式的次数(1/4d)。由于分母中指数的存在，这个距离比猜想的距离小得多。

在接下来的三十年里，数学家们对辛泽尔和扎森豪斯的工作进行了一系列的改进，但进展仍然不完整。数学家认为正确的距离应该是一个尺寸，但他们只能证明它至少是某个较小的尺寸。数学家们根本不知道辛泽尔-扎森豪斯猜想有多难解，他们甚至假设它完全可以解决。

迪米特罗夫在电子邮件中说：“在找到解决方案之前，人们永远不会在一开始就知道(问题的)解决方案会变得多么简单或复杂。”

通常，当一个突出的数学问题长期悬而未决时，这是因为数学家只是缺乏解决它所需的技术。尽管你可能梦想着飞向月球，但除非有人发明火箭，否则你是不会到达那里的。

但事实证明，这个问题是不同的。“这项技术至少已经有40年的历史了，”齐默尔曼说。

迪米特罗夫把一个关于多项式的根的大小的问题转化为一个关于与一个被称为幂级数的相关但不同类型的数学对象相关的值的大小的问题。幂级数就像一个多项式，只是有无限多项。

芝加哥大学的弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari)在电子邮件中说：“就像数学中经常发生的那样，关键的洞察力/突破是将两个看似不同的问题联系起来。”

数学家习惯于在多项式和幂级数之间轻松地移动，并利用其中一个的性质来建立另一个的性质-但在迪米特罗夫之前的数学家们并没有想过用这种对应来解决辛泽尔-扎森豪斯猜想(Schinzel-Zassenhaus Conjection)。

为了证明他想要证明的关于多项式的东西，迪米特罗夫需要相关的幂级数有一个特定的、本质的性质：所有的系数都需要是正整数或负整数(所以没有分数)。当迪米特罗夫开始这项工作时，没有明显的方法来保证这一点会发生。

但在2019年11月，迪米特罗夫在“浏览代数组合学的几本书和几篇论文”时，意识到有一种方法可以拼凑出几个众所周知的定理，从而在非割圆多项式及其幂级数之间产生正确的关系。他取了一个非割圆多项式，找出它的根，把这些根提升到不同的幂，乘在一起，然后取那个乘积的平方根。然后，最后，基于这个平方根，他可以构造一个具有本质性质的幂级数。

迪米特罗夫说：“我们取该产品的平方根，这对我来说是一个令人惊讶的把戏。”这一切都是如此出人意料和有益，以至于迪米特罗夫称这一事实是一个“小小的奇迹”。这使得他的证据中的下一步成为可能。

迪米特罗夫证明了幂级数的系数是整数。它们在某种意义上总是“大”的--它们必须至少是1。正因为如此，与幂级数相关的其他值--它的“汉克尔行列式”--也必须很大。通过一系列仔细的论证，他证明了如果系数是整数，并且Hankel行列式很大，那么他开始的非割圆多项式的根之一也一定是大的。证明的大部分工作都是在严格地证明这种联系。

“暗示系数不小意味着迪米特罗夫在寻找什么，这是相当微妙的。这不是直接推断出来的，“比萨Scuola Normen Superiore的翁贝托·赞尼尔(Umberto Zannier)说。

迪米特罗夫证明了所有非分圆多项式的根必须至少是log2除以单位圆外多项式的次数的4倍，即(Log2)/(4d)。迪米特罗夫的结果符合Schinzel和Zassenhaus的预测，即距离是某个常数除以多项式的次数的函数。他找到了一种新颖的方法来组合数学家手头上已经有的工具，从而做到了这一点。

赞尼尔说：“他发明了完全隐藏的证据模式。”“这些碎片已经被证实了，但这些碎片所依据的理论与辛泽尔-扎森豪斯毫无关系。”

迪米特罗夫的证明解决了数论中关于多项式中出现的模式的主要问题之一。未来的工作可能会调整迪米特罗夫提出的比率。确切的值可能是分子中的log3，分母中多项式次数的5倍。但是对于数学家来说，常量的精确数值只是一个技术问题。比例是最重要的，从这个意义上说，迪米特罗夫准确地证实了辛泽尔和扎森豪斯的预测。

Breuillard说：“这个结果非常清脆，这是可能的最好结果。”“不会有比现在更好的了。”

更正：2020年5月14日，本文的前一个版本错误地陈述了Schinzel-Zassenhaus猜想的一个含义。这篇文章已作了相应的修改。