在量子力学中，一个重要的发现是，我们并不总是有可能精确测量两个物理观测值，这就是海森堡的一般测不准原理。
我们可能已经从高中或大学的物理课程中学到了海森堡一般测不准原理的一个特例，即某些粒子的位置被确定得越精确，它的动量从初始条件就越不能准确地预测，反之亦然。在这种情况下，两个物理观察量是位置和动量。
形式上，海森堡的一般测不准原理指出，两个任意厄米算符在给定状态下的方差的乘积总是大于或等于其交换器期望值的平方。在公式中：
其中$\mathbb{V}_{\psi}(\Omega_1)$和$\mathbb{V}_{\psi}(\Omega_2)$使用我上一篇文章中的符号，$[\Omega_1，\Omega_2]$称为$\Omega_1$和$\Omega_2$的换位器，$[\Omega_1，\Omega_2]=。
在这篇博文中，我想给出海森堡一般测不准原理的一个数学证明。
我们将使用以下四个定理和性质来证明海森堡的一般测不准原理。
柯西-施瓦茨不等式指出，对于内积空间的所有向量$u$和$v$，确实。
所有向量$u$和$v$的内积的虚部，$\text{Im}\BIG(\Langu，v\Rangle\BIG)$可以计算为
假设$u=a1+b1i$和$v=a2+b2i$，其中$a1$、$a2$、$b1$和$b2$是实(列)向量。
对于熟悉三角形并知道复数的极坐标表达式的人来说，这应该是非常简单的。我们将跳过这里的正式证明。
如果A是Hermitian$n$x$n$矩阵，则对所有$u，v^{\素数}\in\mathbb{C}$。我们有。
由于$\Delta_{\psi}(\ommega)=\omega-\langle\omegga\rangle_{\psi}i$和$\omegga$是厄米算子，因此$\Delta_{\psi}(\ommega)$也是厄米算子。基于方差的定义，利用厄米特性质，我们进一步得到。
我们将柯西-施瓦茨不等式应用于海森堡一般测不准原理的左侧，
在海森堡的一般测不准原理中，换位子$[\Omega_1，\Omega_2]=0$表示为$\Omega_1\Omega_2=\Omega_2\Omega_1$和$\Omega_1\Omega_2|\psi\Rangle=\Omega_2\Omega_1|\psi\Rangle$。这意味着如果$[\Omega_1，\Omega_2]=0$，则两个连续测量$\Omega_1\Omega_2$和$\Omega_1\Omega_2$之后的系统状态相同。否则，如果$[\Omega_1，\Omega_2]\NEQ 0$，则系统在两个连续度量$\Omega_1\Omega_2$和$\Omega_1\Omega_2$不相同后处于状态。如果换向器$[\欧米茄_1，\欧米茄_2]=0$，海森堡的一般测不准原理表明，$\欧米茄_1$和$\欧米茄_2$所测量的两个物理观测值在精度上是没有极限的。
在海森堡一般测不准原理的其他表述中，有时我们会看到“同时性”这个词。如何理解海森堡一般测不准原理中的同时性？给定的测量会改变系统的状态，在时域上几乎不可能达到绝对的同时性，在这种情况下，同时性是什么意思？这里的同时是指测量顺序$\Omega_1$和$\Omega_2$不会改变最终的观测结果，因为我们努力使它们同时进行，而且不可能控制这两个测量的确切顺序。简而言之，同时只意味着$[\欧米茄_1，\欧米茄_2]=0$。
如海森堡一般测不准原理不等式左侧所示，如何测量系统状态的物理可观测值的方差？在量子力学中，测量改变了系统的状态。我们将需要创建大量系统状态的克隆。一旦测量了系统状态，就应该将其丢弃，并且不再用于测量物理可观测对象。对同一系统状态的测量意味着对系统状态克隆的测量，而不是对确切的系统状态的测量。
海森堡的一般测不准原理能以如此简单的方式推导出来，这是相当令人惊讶的。不幸的是，我的大学物理课程老师从来没有拿出证据来证明这一重要原则。