研究生解决数十年来的康威结问题
2018年夏天，在一次关于低维拓扑和几何的会议上，丽莎·皮奇里洛(Lisa Piccirillo)听说了一道不错的数学小题。对于她在德克萨斯大学奥斯汀分校(University of Texas，Austin)研究生时开发的一些技术来说，这似乎是一个很好的试验场。
“我不允许自己在白天做这道题，”她说，“因为我认为它不是真正的数学。我以为这是我的家庭作业。“。
这个问题是问康威结--一个由传奇数学家约翰·霍顿·康威在半个多世纪前发现的纠结--是否是一个更高维的结的一部分。“滑度”是纽结理论家最先提出的关于高维空间中的纽结的自然问题之一，数学家们已经能够回答所有有12个或更少交叉点的数千个纽结--只有一个除外。康威结有11个十字路口，几十年来一直对数学家嗤之以鼻。
一周后，皮奇里洛给出了答案：康威结不是“薄片”。几天后，她会见了德克萨斯大学奥斯汀分校的教授卡梅隆·戈登(Cameron Gordon)，并不经意地提到了她的解决方案。
“我说，‘什么？’现在就送到年鉴去了！‘“。戈登说，他指的是该学科的顶级期刊之一--“数学年鉴”。
“他开始大喊大叫，‘你为什么不更兴奋一些呢？’”现在是布兰代斯大学博士后研究员的皮奇里洛说。“他有点吓坏了。”
戈登说：“我认为她没有意识到这是一个多么古老和著名的问题。”
皮奇里洛的证明发表在二月份的“数学年鉴”上。这篇论文，再加上她的其他工作，让她获得了麻省理工学院(Massachusetts Institute Of Technology)的终身教职邀请，这份工作将于7月1日开始，距离她完成博士学位只有14个月。
康威结的巧妙问题之所以出名，不仅仅是因为它已经解决了多久。切片结为数学家提供了一种探索四维空间奇怪性质的方法，在这种空间中，二维球体可以打结，有时会以无法平滑的方式皱巴巴地打结。印第安纳大学名誉教授查尔斯·利文斯顿(Charles Livingston)说，细度“目前与四维拓扑学中一些最深层次的问题有关”。
波士顿学院(Boston College)的约书亚·格林(Joshua Greene)说，“这个问题，康威结是否是薄片，一直是围绕纽结理论一般领域的许多现代发展的试金石。”在皮奇里洛大学读本科时，她负责监督皮奇里洛的毕业论文。“看到我认识这么久的人突然把剑从石头上拔出来，真的很令人欣慰。”
我们大多数人认为一个结存在于一根有两个末端的绳子上，而数学家认为这两个末端是连接在一起的，所以这个结是不能解开的。在过去的一个世纪里，这些打结的环帮助照亮了从量子物理到DNA结构以及三维空间拓扑的各种学科。
但是，如果我们把时间作为一个维度，我们的世界是四维的，所以很自然地会问，在四维空间中是否有相应的结理论。这不仅仅是把我们在3D空间中的所有结都放到4D空间中去的问题：由于有四个维度可以移动，任何打结的环都可以在第四维空间中相互移动的情况下解开。
要在四维空间中创建结对象，需要一个二维球体，而不是一个一维循环。就像三维空间提供了足够的空间来构建打结的环，但没有足够的空间来解开它们一样，四个维度为打结的球体提供了这样的环境，数学家们在20世纪20年代首次构建了这种球体。
在4D空间中很难想象一个打结的球体，但首先考虑3D空间中的普通球体会有所帮助。如果你切开它，你会看到一个没有打结的环。但是，当您在4D空间中切片一个结球体时，您可能会看到一个结的环(或者可能是一个未结的环或几个环的链接，具体取决于切片的位置)。你通过切开一个打结的球体可以打出的任何结都被称为“切片”。有些结不是切片的-例如，被称为三叶结的三交叉结。
格林说，切片结“在纽结理论的三维和四维故事之间提供了一座桥梁”。
但有一条皱纹为四维故事增添了丰富性和独特性：在4D拓扑中，对于切片的含义有两种不同的版本。在20世纪80年代初的一系列革命性发展中(这为迈克尔·弗里德曼(Michael Freedman)和西蒙·唐纳森·菲尔兹(Simon Donaldson Fields)赢得了两枚奖牌)，数学家们发现，4D空间不仅包含我们直观想象的平滑球体，它还包含无处不在的皱缩球体，以至于它们永远无法熨平。哪些结是切片的问题取决于您是否选择包含这些皱巴巴的球体。
莱斯大学的雪莉·哈维(Shelly Harvey)说：“这些都是非常、非常奇怪的物体，某种程度上是通过魔法存在的。”(皮奇里洛是在2018年哈维的演讲中第一次了解到康威打结问题的。)。
这些奇怪的球体不是四维拓扑的缺陷，而是一种特征。“拓扑学切片”而不是“平滑切片”的结--意思是它们是一些皱巴巴的球体的一片，但不是光滑的--允许数学家构建普通四维空间的所谓“异国情调”版本。从拓扑的角度来看，这些四维空间的副本看起来与普通空间相同，但已经不可挽回地皱缩了。这些充满异国情调的空间的存在使第四维度有别于所有其他维度。
格林说，细度问题是对这些充满异国情调的四维空间的“最低维度的探测”。
多年来，数学家们发现了各种各样的结，这些结在拓扑上是切片的，但不是平滑的。然而，在有12个或更少交叉点的结中，似乎没有任何交叉点--可能除了康威结。数学家可以通过12个或更少的交叉点计算出所有其他结的切片状态，但康威结却躲过了它们。
康威上个月死于冠状病毒，他以对数学的一个又一个领域做出有影响力的贡献而闻名。他第一次对绳结感兴趣是在20世纪50年代，当时他还是个十几岁的孩子，他想出了一种简单的方法，基本上列出了11个十字路口的所有绳结(之前的完整清单只列出了10个十字路口)。
清单上有一个结很突出。格林说：“我认为，康威意识到它有一些非常特别的地方。”
康威结，后来被称为，是拓扑切片-数学家们在20世纪80年代革命性的发现中意识到了这一点。但他们无法判断它是否是平滑切片。他们怀疑它不是，因为它似乎缺少一种被称为“丝状”的特征，而这种特征通常是平滑的切片结所具有的。但它也有一个特点，使它对任何试图表明它不是平滑切片的尝试都是免疫的。
也就是说，康威结有一种兄弟姐妹--也就是众所周知的突变体。如果你在纸上画康威结，剪下纸的特定部分，把碎片翻过来，然后重新连接它的松散的末端，你就会得到另一个被称为木下-寺坂结的结。
问题是，这个新结正好是光滑切片的。由于康威结与光滑的切片结关系密切，它设法欺骗了数学家用来检测非切片结的所有工具(称为不变量)。
格林说：“每当有新的不变量出现时，我们都会试着将其与康威结进行对比测试。”“就是这个顽固的例子，似乎不管你想出什么不变量，它都不会告诉你这个东西是不是切片。”
皮奇里洛说，康威结“位于这些不同工具的盲点交叉口”。
杨百翰大学(Brigham Young University)的数学家马克·休斯(Mark Hughes)创建了一个神经网络，它使用节点不变量和其他信息来预测细度等特征。对于大多数节点，网络会做出明确的预测。但是关于康威结是否是光滑切片的猜测呢？对半分。
利文斯顿说：“随着时间的推移，它成了我们无法处理的死结。”
皮奇里洛享受着纽结理论所需要的视觉直觉，但她并不认为自己主要是一个纽带理论家。她在一封电子邮件中写道：“真的是(三维和四维形状)让我兴奋，但对这些东西的研究与纽结理论有很深的联系，所以我也做了一些这方面的工作。”
皮奇里洛在波士顿学院的教授之一埃莉森达·格里斯比(Elisenda Grigsby)说，当她第一次开始在大学里学习数学时，她并不是一个“标准的金童数学神童”。相反，吸引格里斯比眼球的是皮奇里洛的创造力。“她非常相信自己的观点，而且一直如此。”
皮奇里洛遇到了关于康威结的问题，当时她正在思考除了突变之外，两个结可以通过另一种方式联系在一起。每个结都有一个相关的四维形状，称为其轨迹，这是通过将结放在一个4D球的边界上，并沿着这个结在球上缝一种帽子来实现的。戈登说，一个结的痕迹“以一种非常强烈的方式编码那个结”。
不同的结可以有相同的四维轨迹，数学家已经知道，可以说，这些轨迹兄弟姐妹总是有相同的切片状态-要么都是切片，要么都不是切片。但是皮奇里洛和艾莉森·米勒(现在是莱斯大学的博士后)已经证明，对于所有用于研究细腻的结不变式来说，这些痕迹兄弟姐妹并不一定看起来是一样的。
这将Piccirillo引向了一种证明Conway结不是切片的策略：如果她能为Conway结构造一个迹兄弟，也许它会比Conway结更好地与其中一个切片不变量合作。
构建痕迹兄弟姐妹是一件棘手的事情，但皮奇里洛是一位专家。“这就像是我在做的一个行业，”她说。“所以我就回家去做了。”
通过巧妙的曲折组合，皮奇里洛成功地构建了一个复杂的结，它与康威结具有相同的痕迹。对于那个结，一个叫做拉斯穆森s不变量的工具表明它不是光滑的切片-所以康威结也不可能是光滑的。
戈登说：“这是一个非常好的证据。”他说，没有理由期望皮奇里罗构造的结会屈服于拉斯穆森的s不变量。“但是它起作用了，…。令人惊叹的是。“。
格林在一封电子邮件中写道，皮奇里洛的证据“符合难以捉摸的结果的简短、令人惊讶的证据的模子，该地区的研究人员能够迅速吸收、钦佩并寻求推广-更不用说想知道为什么花了这么长时间才得出结论。”
格林说，打结痕迹是一种经典的工具，已经存在了几十年，但皮奇里洛比其他任何人都更深刻地理解了这一工具。他说，她的工作向拓扑学家表明，结的痕迹被低估了。“她捡到了一些工具，上面可能有一点灰尘，”他说。“其他人现在也在效仿。”