当你第一次学习复数时，你会发现它们给了你解决以前不可解的方程的方法。经典的例子是方程x^2+1=0，如果你只使用实数，它没有解，但是对于复数，它有解x=i和x=-i。
作为一个喜欢想象一切事物的物理现实的人，这总是给我带来相当大的困难。方程x^2+1=0可以看作是告诉你方程y=x^2+1的抛物线在哪里与x轴相交的方程。
只有方程y=x^2+1的抛物线不与x轴相交。如果我们的复数解是可信的，那么它与点(i，0)和(-i，0)中的x轴相交，但我肯定看不到我的图上的这些点。他们在哪里？
大概有一大堆具有复杂坐标的点，这些点是各种东西相遇的地方，它们看起来不像相遇的地方。这些点一定在某个地方，一定是与我在真实平面上看到的图形有某种关联的某个地方。但是这个地方在哪里呢？
嗯，大约一周前，我终于找到了复杂的点所在的地方！
(在这一点上，我需要澄清几件事：这完全是我自己编造的。我不是从别人那里学到的，也不是从阅读别人的作品中学到的。我不会虚荣到相信以前从来没有人想到过这一点，但到目前为止，我还没有在谷歌中找到任何与我相似的搜索词。如果你以前听说过它，我很想知道！)。
这个想法是这样的：在真实平面的每个点上，都有相当于真实平面的复杂的点连接在一起。连接到实点(a，b)的复点都是形式(a+ci，b+di)。也就是说，两个坐标的实部是(a，b)。我把它们想象成一个平面，x轴表示我们添加到x坐标的虚部，y轴表示我们添加到y坐标的虚部，实点本身在这个平面的中心。
我将把这个连接到点(a，b)的平面称为“(a，b)处的iPlane”。在上图中，我在(3，2)处的iPlane中显示了几个点。我把它涂成了粉红色，这样你就能看出它不是普通的真飞机，正如你在上面看到的，我通常是涂成白色的。
当我说“连接”时，我是指字面上的意思--我确实想象iPlane在物理意义上被连接到点上，就像在这里的照片中，它们处于不同程度的扩散：
当然，真实平面中的每个点都有自己的iPlane，因此复杂平面作为一个整体看起来更像这样：
这就是复杂的点所在。复点(3+i，5-2i)位于附着于实点(3，5)的iPlane中；复点(2i，-6+7i)位于附着于实点(0，-6)的iPlane中；复点(i，0)和(-i，0)均位于附着于实点(0，0)的iPlane中。
如果展开适当的iPlane并将其展平，使其位于真实平面的顶部，则更容易看到它们。当然，你不会想做整个平面；你只想要一个足够大的切片，这样你就能看到你想要的点在哪里。此外，我想象iPlane是透明的，这样你就可以透过它看到真实的飞机-因此在所有物理模型的照片中都有玻璃纸。
在下图中，位于(0，0)处的iPlane切片被展平以显示点(i，0)和(-i，0)。
这个Geogebra小程序允许你输入一个复杂点的坐标，它会向你显示它所在的iPlane以及iPlane所在的真实位置。试一试，感受一下这里正在发生的事情。
那么，为什么我会对这个想法如此非常兴奋呢？这一切都与当你计算出复杂的点时会发生什么有关，这些点是一些熟悉的图形的一部分。到目前为止，我已经考虑了很多关于直线和抛物线的问题。我需要一段时间才能把它全部写出来，所以我会把这些话题留到后面的博客文章中去写。
这篇文章发表在ISN'；t Maths Cool？上，是关于数学思维和标记复数、平面、数学的想法。为固定链接添加书签。
[…]。复杂的点在哪里：iPlane概念简介[…]。
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[…]。代数，我没想到会从他的帖子里分析太多。然而，当我深入研究大卫的作品“复杂之处在哪里”时，我感到很舒服。他的字写得很清楚。我可以遵循他的逻辑，和他一起思考，“[…]。
当我看到“我有过的最伟大的数学想法”时，我想我没有祈祷去理解它。我所做的证明了你对问题和解决方案的理解，以及你如此清晰地表达出来的能力。
这篇帖子激发了我很多想法，我试图在这里把它们浓缩成一些连贯的东西。我通过我们在K-12州使用的“数学实践标准”的镜头来看待你的“有史以来最伟大的想法”。更广泛的想法正在观察和对比数学家(比如你！)。以及学校数学经常是什么样子。
您已经发明了一种可视化R^4的方法，即在R^2的每个点上都附加一个R^2，因此在某种意义上，R^2的切线束就是R^2的切线束。不过，您是如何将其具体化的，这是相当巧妙的！
理解函数(实变量或复变量)的另一种方法是使用映射图。对于二次函数(具有实数或复数系数)，二次方程的根由从源复平面中的点到目标平面中的点0+0i的箭头可视化。例如，请参阅我使用Geogebra https://www.geogebra.org/m/JZYgq4Mx#material/aYeGJpS4和MD所做的工作，以可视化地解决https://www.geogebra.org/m/CX32kuXG#chapter/274869.中的线性方程和二次方程