几年前，我和一班四、五年级的学生一起工作。他们的老师已经开始了一个关于分数的单元，并对将分数与现实世界的上下文联系起来很感兴趣。“没问题，”我告诉她。
我们的计划是我给她上一堂课，她会观察，然后我们再去看看。我将重点与学生讨论小数部分的命名，分数的标准符号，以及等价性。
我向同学们展示了我带到课堂上的六瓶装饮料，并谈到一瓶是六瓶装的六分之一，两瓶是六分之二，三瓶是六分之三，以此类推，直到六分之六就相当于整个六罐装。学生们似乎对此很满意，我在黑板上写下了分数：1/6、2/6、3/6、4/6、5/6、6/6。
我们还谈到三个瓶子是六盒装的一半，3/6和1/2是相等的分数，因为它们都描述了六盒的相同数量。我录下了这个：3/6=1/2。
我问他们在我喝了4瓶之后，6罐装的酒会吃掉多少，他们很容易地回答了4/6。我用数字表示：1/6+1/6+1/6+1/6=4/6。
我问我喝了4瓶后，6罐装的啤酒还剩多少，他们很容易地回答了2/6。我用两个公式表示：6/6-4/6=2/6 1-4/6=2/6。
我接着讲了一个不同的背景--一盒12支铅笔。我们谈到一支铅笔是盒子的1/12，两支铅笔是2/12，三支铅笔是3/12，依此类推。我在黑板上写下了这些分数：1/12/2/12 3/12/4/12/5/12/6/12/7/12/8/12/9/12/10/12/11/12/12/12。
铅笔盒给了我们一个方法来讨论1/2的另一个等价分数，这一次是6/12。我说的是12/12代表整个盒子里的铅笔：6/12=1/2 12/12=1
我问，“如果我给五个学生每人一支铅笔，我会送出多少支铅笔？”然后他们很容易回答，我用数字记下：1/12+1/12+1/12+1/12=5/12。
我问5/12代表盒子的一半还是不到一半，他们一致认为不到一半。我又录了一遍：5/12<；1/2。
我问了其他几个问题，每个问题都用数字记录下来。这一切都进行得很顺利。
然后我遇到了一个障碍，这个班的学生们分成小组坐着，然后我让学生们注意到一张桌子上坐着两个男孩和一个女孩。我问他们桌上的学生中女生占多大比例。我突然举起手来，我让他们用耳语的声音异口同声地说出分数的三分之一。我在黑板上写了三分之一。
布拉德注意到他隔壁的桌子上也坐着两个男孩和一个女孩。克劳迪娅评论说：“所以如果你把这两张桌子放在一起，那么六分之二是女孩。”
艾迪生的手猛地举了起来。“我能上来把它写成分数吗？”他问。我同意了。艾迪生走过来，在黑板上写道：1/3+1/3=2/6。
我目瞪口呆。艾迪森说得对，坐在两张桌子上的学生中有六分之二是女生。但是爱迪生写的加法方程式是不正确的。当学生将分子和分母组合起来加分数，并认为加1/3和1/3就是答案2/6时，这是每个老师的噩梦。但我并不认为爱迪生应用了这个错误的程序。我不太清楚他到底在想什么。
为了争取时间，我请艾迪生解释他写的东西。他说，“与布拉德同桌的每三个人中就有一个是女孩，也就是三分之一。玛歌的桌子也是一样的。所以，如果你把他们放在一起，那么所有六个孩子中有两个是女孩，也就是六分之二。“。其余的学生都点点头。
很难边想边教！我静静地站着，想了一会儿下一步该做什么。
为了打破沉默，我对全班同学说：“当你想分数的时候，重要的是要把注意力集中在整体上。”
再想了一会儿，我又回到了两张学生桌的上下文中。我对艾迪生说：“我看你在考虑把两张桌子放在一起。”他点点头。因此，坐在两张桌子旁的那群学生一共有六名学生。他又点了点头。“然后布拉德、萨曼莎、杰克、玛戈、罗比和麦克斯各占那组的六分之一，就像每瓶水占整个六罐装的六分之一一样。”又一次点头。而且因为1/6+1/6等于2/6，所以对我来说，6人中有2/6是女孩是有道理的。“。我在黑板上写道：1/6+1/6=2/6。
似乎没有一个学生担心爱迪生所写的1/3+1/3似乎会产生与我所写的1/6+1/6相同的答案。现在我大汗淋漓。
我又试着解释“让我们只看一张桌子，”我建议。“有三个学生--布拉德、萨曼莎和杰克。布拉德在排行榜上代表的比例是多少？“。学生们轻而易举地回答了三分之一的问题。“杰克代表的分数是多少？”他们又回答了三分之一。“桌子上的男生占多大比例呢？”他们回答了2/3。我在黑板上艾迪生写的内容下面写道：1/3+1/3=2/6 1/3+1/3=2/3。
“嘿，”艾迪生说。“三分之一加三分之一，你得到了不同的答案.”