圆形填料

跳转到导航跳转要在几何学中搜索，圆填充是研究给定曲面上(大小相等或不同)的圆的排列，使其不会发生重叠，并且不会在不产生重叠的情况下放大圆。排列的相关堆积密度η是圆圈覆盖的表面的比例。可以将其推广到更高的维度--这就是所谓的球体填充，它通常只处理相同的球体。

虽然圆在欧几里得平面上的最大堆积密度相对较低，为0.9069，但它不是可能的最低密度。最差的形状打包到平面上是未知的，但平滑的八角形的堆积密度约为0.902414，这是已知的任何中心对称凸形中最低的最大堆积密度。[1]诸如星形的凹形的堆积密度可以任意小。

通常被称为圆填充的数学分支涉及任意大小圆的填充的几何和组合学：这些引起保角映射、黎曼曲面等的离散类似物。

在二维欧几里德空间中，约瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)于1773年证明了密度最高的圆的格子排列是六边形排列，即圆的中心排列在一个六边形的格子上(交错排列，就像蜂窝一样)，每个圆被另外6个圆包围。对于直径为D的圆，该排列的密度为。

ηh=(3π4 D 2？3 3 2 D 2)=π3 6≈0.9069.。{\displaystyle{\Begin{Alignment}\eta_{h}&；=\Left({\frac{3\pi}{4}}D^{2}\div{\frac{3{\sqrt{3}{2}}D^{2}\right)\\&；={\frac{\pi{\sqrt{3}{6}}\约0.9069。

D也是第一个图形中六边形的边。上述比例中的第一项3π4D2{\displaystyle{\frac{3\pi}{4}}D^{2}}是所有圆和被六边形包围的部分圆的面积之和。第二项3 3 2 D 2{\displaystyle{\frac{3{\sqrt{3}{2}}D^{2}}是六边形本身的面积。

发现等圆的六边形堆积可以填满分数。π12≈0.9069{\fRAC{\pi}{\sqrt{12}\约0.9069}的面积-这是卡尔·弗里德里希·高斯在1831年证明的周期性包装的最大面积。[3]后来，阿克塞尔·图(Axel Thue)在1890年提供了第一个证据，证明这是最优的，表明六边形格子是所有可能的圆形填充中密度最高的，无论是规则的还是不规则的。然而，一些人认为他的证明是不完整的。第一个严格的证明归因于LászlóFejes Tóth在1940年。[2][4]。

在另一个极端，Böröczky证明了刚性堆积圆圈的任意低密度排列是存在的。[5][6]

基于飞机的11个均匀平铺，有11个圆形填料。[7]在这些填料中，每个圆可以通过反射和旋转映射到其他圆。六边形的空隙可以用一个圆填充，十二角的空隙可以用7个圆填充，形成3-均匀的填料。具有这两种间隙的截断三角形瓷砖可以作为4-均匀填料填充。缓冲六角形瓷砖有两种镜像形式。

一个相关的问题是确定被约束在给定曲面内的相同交互点的最低能量排列。汤姆森问题涉及球体表面相同电荷的最低能量分布。Tammes问题是这方面的推广，处理最大化球面上圆之间的最小距离。这类似于在球体上分布非点电荷。

在休闲数学中，简单有界形状的包装圆是一种常见的问题。容器壁的影响很重要，六角形填料通常不是最优的，对于较少的圆圈。

还有一系列问题允许圆的大小不均匀。一种这样的扩展是找出具有两个特定大小的圆的系统(双星系统)的最大可能密度。只有九个特定的半径比允许紧密堆积，这是当接触的每一对圆与另外两个圆相互接触时(当线段从接触的圆心绘制到圆心时，它们将对曲面进行三角剖分)。[7]对于所有这些半径比，已知对于具有该半径比的盘的混合物，实现最大可能的堆积分数(高于尺寸均匀的盘的堆积分数)的紧凑填料是已知的。[9]所有9种填料都比均匀三角形填料密度高，一些没有紧密填料的半径比也是如此。[10]。

还已知，如果半径比大于0.742，则二元混合物不能比大小均匀的盘包装得更好。[8]还得到了在这种二元包装中可以以较小比率获得的密度的上界。[11]。

正交幅度调制的基础是在相位-幅度空间内将圆圈打包成圆圈。调制解调器将数据作为二维相幅平面中的一系列点进行传输。点之间的间距决定了传输的噪声容限，而外接圆直径决定了所需的发射机功率。当码点星座位于有效圆打包的中心时，性能最大化。在实践中，次优的矩形填充经常被用来简化解码。

圆圈包装已经成为折纸设计中必不可少的工具，因为折纸人物上的每个附属物都需要一圈纸。[12]罗伯特·J·朗(Robert J.Lang)利用圆包装的数学开发了计算机程序，帮助设计复杂的折纸人物。

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