高等数学106个术语总结

数学语言与自然语言的不同之处在于，它的目标是准确而明确地传达抽象的、逻辑的概念。因此，它配备了一套专门的符号和词汇表-每个符号和词汇表都有自己的通用性和形式性水平。

在这些术语中，有一个特定的子集是独一无二的基础性术语，并且适合我们的追求：更高级的数学术语。粗略地说，这些是一组专门的术语，即使不是全部，也属于以下大部分类别：

简而言之，这些术语对大多数人来说都是通俗易懂的，但仍然让我们得以一窥非微型化数学的世界-以及它们的实践者的行为和思维方式。事实上，在接下来的文章中，我们已经列出了106个这样的术语，并对它们的定义、例子、相关性和含义进行了一些深入的探索。

所以，如果你已经准备好潜入这个被称为数学的迷人世界，那么让我们开始吧！

(如果您正在寻找本词汇表中包含的全部106个术语的简明表述，那么您可能会发现以下更高级的数学术语思维导图既有趣又有用。)。

下载4页的高等数学术语记忆图高等数学术语的权威词汇表-从抽象的胡言乱语，初等证明到奇点，以及101+更多。单击以发布推文。

提取某些数学对象的基本结构、模式或属性的过程，目的是将这些发现推广到更广泛的对象类别。例如，这些措施包括：

起初，抽象可能看起来有点不吸引人，因为它对认知的要求更高，而且与现实世界的现象缺乏联系。然而，它经常被证明是一个领域扩大适用性的不可或缺的力量-以及领域之间的某种统一。

范畴论的口语化术语(致力于范畴概念和数学结构形式化的数学学科)，或与之相关的方法和论证。

由于数学的不同分支处理满足范畴定义的不同数学结构，范畴论可以被视为一种统一的数学理论-其结果适用于广泛的学科。

具体地说，如果一个命题来自抽象的废话，那么它意味着它的论据更多地与其对象的基本范畴结构有关-而不是与发现它的领域有关。由于这种论据本质上往往是高度抽象和冗长的，因此也被称为“广义抽象无稽之谈”或“广义抽象无稽之谈”。

无意或故意使用符号的行为，这种方式在句法上并不完全正确，但它简化了论述，使段落更容易理解。例如，有人可能会说：

“$\mathbb{R}$是分布式的”-而不是“$(\mathbb{R}，+，\Times)$是分布式的。”

“$3$是可微的”-而不是“由规则$x\mapstto 3$为所有实数$x$定义的函数是可微的。”

“$a+b+c=c+b+a$”-而不是“$(a+b)+c=(c+b)+a$”。

在上下文和假设清楚且很好理解的情况下，滥用记数法通常是无害的(如果实际上不是可取的)。然而，在其他情况下，情况可能并非如此，可能相当于对符号的滥用-这在数学上是失礼的(例如$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}$).的情况

一系列定义明确的计算机可执行指令，用于解决一组特定的可计算问题。它接受有限数量的初始输入，在每次操作中明确地处理它们，然后在有限的时间内返回其输出。数学中的一些算法示例包括：

本质上，创建算法是为了简化特定问题的解决方案寻找过程，尽管它也可以消除过程中思考和理解的必要性。对于一系列本质上是准算法的更广泛的指令，有时会使用术语“一般过程”(与算法一样，它也可能涉及一些启发式或递归元素)。

一种方便的副词，与它在英语中的用法相似，但可以根据上下文的不同而具有特定的含义。例如：

“集合中的几乎所有元素”通常指的是“集合中除了有限/可计数的元素之外的所有元素。”

“几乎没有整数”通常意味着“只有有限的整数子集”。

“一个属性几乎在任何地方(在度量空间中)都成立”，通常表示“集合中除了度量零的子集之外的所有地方”。

“事件几乎肯定会发生”通常意味着“事件的概率为1，即使它不包括所有可能的结果。”

“事件几乎从不发生”通常意味着“事件的概率为0，即使它确实包含一些可能的结果。”

在这里，请注意，“几乎”并不一定意味着例外情况是“小”的，因此人们完全有理由声称“几乎所有的实数都是超然的”-或者“飞镖几乎从来不会落在棋盘的圆周上”。

源于德国的一个术语，意思是“工具在工件上的初始放置”(维基百科)，在数学中用来指为启动问题解决过程而做出的最初的、额外的数学假设-但这些假设后来也被证实是实际解决方案的一部分。数学中的一些ANSATZ示例包括：

假设微分方程/递归方程解呈指数形式(指数形式)。

假设线性方程组的解可以用特定的向量(特定解的平方)来表示。

打个比方说，使用ansatz就好比通过首先建立一个框架来绘制一幅图画，因为如果它成功了，那么这个框架可以在以后作为ansatz重用，但是如果它不成功，那么它通常会被丢弃，并被标记为失败的实例。

附在数学形容词X后面的副词，用以表明某事是“X没有什么限制或约束”。例如：

任意大的函数是能够假定大于任何固定的实数选择的值的函数，而不考虑后者的大小。

一个任意小的正序列是一种能够取值小于任何固定选择的正实数的序列，而不考虑后者的“微小”。

任意长的级数是其成员数量可以超过任何自然数选择的级数，而不考虑后者的大小。

一般来说，“任意”是数论和数学分析中的一个基本术语，也可以出现在涉及某种形式的次数和排序的其他主题中(例如，多项式环)。

不要错误地认为“任意”意味着“无限”！如果说有什么不同的话，那就是“任意地”通常带有一种“在有限的领域内不受约束”的感觉。

一个形容词，用来指没有任何特定标准或约束的选择(例如，任意整数、集合的任意除法、序列的任意排列)。它对应于术语“any”和逻辑量词$\forall$，并暗示找到它的短语中的一般性元素(例如，语句$P$适用于任意$n\in\mathbb{N}$)。

公理，也被称为公设，是被假设为不真实的数学前提，与定义一起构成数学理论的基础。

一般说来，公理可以分为逻辑公理和非逻辑公理。逻辑公理是关于数学的逻辑部分的公理(例如，$[A\right tarrow(B\wedge-B)]\right tarrow-A\，$)，而非逻辑公理是关于理论本身的性质的公理(本质上可能是不言而喻的，也可能不是不言而喻的)。

例如，欧几里得几何学的五个公理中最著名的(非逻辑的)公理平行公理规定：

如果一条直线段与两条直线相交，这两条直线在同一侧形成两个内角，且内角之和小于两个直角，则这两条直线如果无限期延伸，则在角之和小于两个直角的那一侧相交。

就像一个人可以从公理开始并朝着它的结果前进一样(即，理论化的一个主要组成部分)，一个人也可以把一系列知识倒退到它的公理上(这个过程被称为公理化)。

在很大程度上，知识体系是由多个公理(即公理系统)构成的，而不是单一的公理。在这种情况下，应格外小心，以确保系统是一致的(即不会产生矛盾)。数学中一些著名的公理系统包括，其中包括：

高度主观的概念，对应于对数学的纯粹性、抽象性、简单性、深刻性或有序性的审美反应。例如，最常被认为是美丽的方程式之一是欧拉的同一性，它说：

由于每个人对数学的审美感知不同，其他术语-如“优雅”、“启迪”、“令人振奋”或“有趣”-也被使用。然而，也有人争辩说，什么是优雅或有趣的往往不同于数学中的美，美更多地与内容有关-而不是它的呈现。

一种奇特的说法“只需看一看”，或者“只需最少的推导、计算或背景就可以得到结果”。例如，有人可能会说：

在讲座和教育课本中，诸如“通过检查”或“很容易证明”之类的短语经常被用来简化主题的陈述-以及邀请其他人验证他们的工作(其中一些很可能涉及一些繁琐的计算)。

源自词根“canon”的形容词，意为标准惯例或典型代表。然而，当它附加在一个名词上时，它的意思可能会略有不同。例如：

正则证明是已经被接受为标准的、传统的证明的证明(例如，欧几里得关于素数无穷大的证明)。

规范定义是被认为是最自然的采用目的的定义(例如，偶数是可被2整除的数)。

标准映射是从对象的定义中自然产生的映射，它往往是最具结构保持性的映射(即从一个群到它的诱导商群的自然同态)。

规范形式被认为是对象的最简单表示，并且允许以唯一的方式标识该对象(例如，$[0]$是余数为0的整数集-当除以某个自然数时)。

由简单的法则和初始条件支配的明显随机无序和不规则的状态。与流行的用法相反，混沌行为是确定性的，对其初始输入很敏感-从这个意义上说，初始条件的微小变化可能会导致大不相同的结果(例如，蝴蝶效应)。

更广泛地说，混沌系统的数学研究被称为混沌理论-一个将动力系统理论与现实世界中的广泛应用(如天气预报、道路交通、金融市场、电路)相结合的跨学科领域。

唯一定义数学对象的一组条件，从某种意义上说，它在逻辑上等同于对象的定义，但与对象的定义不同。在这种情况下，物体被认为具有这些条件的“特征”。例如：

等边三角形定义为有三条等边的三角形。但它也可以被描述为以某种方式将某个30-60-90三角形翻倍而成的三角形。

可逆方阵被定义为具有逆的方阵，尽管它也可以表征为具有非零行列式的矩阵。

自然指数函数通常被定义为以$e$为底的指数函数，尽管它也可以表征为赋值为$\displaystyle x\mapsto\lim_{n\to\infty}\Left(1+\frac{x}{n}\right)^n$的函数。

一般而言，特征描述倾向于提供对对象本身的性质的额外洞察力，如果有人选择的话，甚至可以用作对象的另一种定义。

与其他词语结合使用的一个术语，指的是完成证明或解决数学问题的过程-以逻辑和顺序的方式从一个部分跳到另一个部分。例如：

当一个人试图通过从一个角度到另一个角度来解决几何问题时，我们称之为追角。

当一个人试图通过从一个索引到另一个索引来证明涉及多个索引的对象的索赔时，我们称他是在追逐索引(或参与索引争夺战)。

当一个人试图通过从一种关于元素的陈述转到另一种陈述来证明集合论主张时，我们说他是在追逐元素。

当人们试图通过追踪交换图中的元素来证明某些态射的性质时，我们称其为追图。

更广泛地说，术语“追逐”也可以应用于其他常见的对象，如方程和积分-尽管这种用法在数学界往往不太常见。

要闭合且有界的集合或空间的性质(例如，闭合区间、矩形)或其其他推广(例如，紧性的开覆盖定义)。

一般说来，紧性是拓扑学、分析学和代数几何中的一个重要概念，因为这些领域中的许多性质经常被认为是等价的-或者作为它的结果(例如，Bolzano-Weierstrass定理、极值定理、Heine-Borel定理)。

一个非常重要的数学陈述，被怀疑是真的，但其证明或反证仍在等待中(即使支持证据可能是压倒性的)。21世纪一些最著名的猜想包括：

从历史上看，一个猜想可以通过三种方式解决：如果证明了，它通常会变成一个定理。如果被证明是错误的，它就会自动变成一个错误的猜想。在从公理证明猜想既不能证明也不能反驳的情况下(就像连续体假设和平行公设的情况一样)，人们可以选择采用它(或否定它)作为系统的另一个公理-并从那里开始工作。

存在主义主张的证明(即形式为“There Existes…”的主张)。其通过直接构造权利要求中指定的对象来导出其有效性。这将与非推定证据形成对比，后者证明了同样的主张，但从未构建过上述对象。

例如，“有一个超过1,000,000,000,000,000的素数”这句话可以建设性和非建设性地证明--方法如下：

如果索赔是通过展示一个既是素数又大于1,000,000,000,000的数字来证明的，那么这个证明就是推定的。

如果通过证明相反的情况不可能发生来证明该主张(例如，通过矛盾证明)，则该证明被认为是非构造性的。

一般说来，建构性和非建构性证明都是建立存在主义主张的有效方式，尽管后一种方法有时可能被视为缺乏足智多谋的迹象，确实是建构主义者拒绝的方法-他们选择以稍微严格的方式解释存在主义量词。

给定形式为$P\right tarrow Q$的蕴涵，语句$\neg Q\right tarrow\neg P$称为它的逆定，并且在逻辑上等价于蕴涵本身。例如：

“如果$f(X)^2$，则$f(X)^2\ge 4$”的反定式是“如果$f(X)^2<；4$，则$f(X)<；2$”。

“所有的合成整数都是奇数”的对立式是“所有的偶数都是素数”。

由于蕴涵在逻辑上等同于它的对立式，这往往导致人们通过证明它的对立式来证明一项陈述。事实上，当对立式的真实性比蕴涵本身的真实性更容易确定时(如证明“如果$n^2$是奇数，那么$n$就是奇数”)，这种方法(也被称为对位证明)特别有用(例如“如果$n^2$是奇数，则$n$是奇数”)。

给出形式为$P\right tarrow Q$的含义，语句$Q\right tarrow P$称为它的反面。例如：

“如果$f(X)\ge 2$，则$f(X)^2\ge 4$”的反义词是“$f(X)^2\ge 4$，则$f(X)\ge 2$”。

“所有的合成整数都是奇数”的反义词是“所有的奇数整数都是合成的”。

与对立式的情况不同，相反的事实通常独立于蕴涵本身的事实，尽管两者通常被认为是相互联系的-原因很简单，如果一个传达充分，那么另一个将传达必然性，反之亦然。

一种陈述，其有效性可以很容易地从先前更值得注意的陈述中推断出来，但其重要性在本质上往往是次要的。例如：

语句“$|x-y|\le|x|+|y|$”可以看作是三角形不等式的推论。

“一个三次多项式至少有一个实根”这句话可以看作是代数基本定理(以及复根出现在共轭对中的事实)的推论。

一般来说，推论与引理相似，因为两者往往都是次要的，而不同的是，与引理不同的是，推论往往专注于结果的结果-而不是通向结果的垫脚石。

反驳普遍声明的示例(即，形式为“for All…”的声明)。。例如，“$2^{p}-1$对于所有素数$p$都是素数”的说法是错误的，因为当$p=11$时，我们得到：

在这种情况下，由于$p=11$也是伪造索赔的最小示例，因此它也被称为索赔的最小反例。更广泛地说，使用最小反例的反证因其简单性和信息量而更受欢迎-因为它可以为人们提供更好的洞察力，了解如何修改语句的条件，从而排除例外情况。

深刻的结果-或深刻的定理-是一种数学陈述，其证明需要一种全新的思维方式，或者一套远远超出阐述该主张所需概念的方法和技术。它经常使用与该领域不同的数学机器，而且通常没有初等的证明。例如：

众所周知，$Mathbf$的不合理性是一个深刻的结果，因为它的证明需要在实际分析中进行大量的发展，而不是简单地诉诸$\pi$的定义或仅靠非理性来解决。

代数的基本定理通常被认为是一个深刻的结果，因为即使它可以用多种方式证明，它的每一个证明都总是依赖于实数的分析完备性-这是一个本质上非代数的概念。

在某些情况下，一个深刻的结果也可能带有开创性或有影响力的内涵。例如，田径奖牌获得者和。

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