数学成人的长除法

(顺便问一下，您对这本指南的内容相当熟悉吗？如果是这样的话，您可能会发现这份全面的摘要工作表既有挑战性又很有用。)。

下载本指南的11页摘要工作表(算术版)，我们通常希望将一个数字$n$表示为另一个(非零)数字$d$的块。当这种情况发生时，我们说的是用$n$除以$d$，其中$n$称为被除数，$d$是除数。

一般而言，给定被除数$n$和除数$d$，对于某个整数$q$和某个数字$r$，我们可以将$n$表示为$dq+r$，虽然$n$可以有许多$dq+r$表示，但只有一个这样的表示，其中$0\le r<；|d|$。

特别地，在被除数和除数都是整数的情况下，这个结果被称为除法定理，但是即使它们不是整数，下列定理仍然适用于一般情况：

$q$是上述$dq+r$表示中的唯一整数，称为商。

$r$-这是上述$dq+r$表示中的唯一数字-称为余数。

找到这两个数字的行为被称为欧几里德除法，或者更通俗地说，是余数除法。

所以这里暗示的是，被除数和除数通常是固定的数字，而中期商/余数可以根据我们所处除法的阶段而变化。此外，还包括：

公式$\displaystyle\frac{n}{d}=q+\frac{r}{d}$称为除法的分数表示。

(可以肯定的是，还有混合分数$\displaystyle q\，\frac{r}{d}$，尽管当我们超出整数时，这样的符号通常更容易混淆。)。

当然，也有除法的图形表示--我们将在一些关于除法程序的初步理论之后讨论。

当然，除法定理是一个巧妙的逻辑，它保证在欧几里得除法方案中，商和余数存在并且是唯一的。然而，它并没有为我们提供多少线索，告诉我们应该如何在实践…中找到这些数字。

但是，这正是我们感兴趣的主要话题-欧几里得除法-发挥作用的地方。

简而言之，这些是有限的递归过程，通过迭代减法求出商和余数。它们往往通过重复扣除股息来运作-通常是一系列的跳跃-直到股息变得小于除数本身。

当这种情况发生时，这个过程就结束了--最后一个临时商和余数是原始欧几里得除法的答案。

给定一个被除数$n$和一个(非零)除数$d$，我们将通过将$n$(或其绝对值)减去$d$-整数次(比如$q_1$)来开始该过程。这将导致临时余数$r_1$，并且除法的临时代数表示如下：\[n=d q_1+r_1\]

此时，如果$0\le r_1<；|d|$，则除法过程结束。如果不是，我们将继续相同的过程，将$r_1$(或其绝对值)减去$d$-另一个整数次(比如$q_2$)。这将导致下一个中间余数$r_2$，以及除法的下一个代数表示：\[n=dq_1+dq_2+r_2\]。

如果我们明智地选择阶段商，使得$|r_i|$在每个阶段至少减少$1$，那么在有限次迭代(比如$m$)之后，我们将保证生成一个中间余数$r_m$，使得$0\le r_m<；|d|$。当这种情况发生时，我们最终的代数表示将变为：\BEGIN{ALIGN*}n&；=dq_1+\cdots+dq_m+r_m\\&；=d(q_1+\cdots+q_m)+r_m\end{ALIGN*}此时，除法过程将结束，产生$q_1+\cdots+q_m$和$r_m$作为商，余数为$n。

这里，请注意，无论$n$和$d$是否为整数，过渡商都必须始终保持为整数-并且是$n$、$d$、$q$s、$r$s中唯一必须满足该要求的商。

不过，对于本指南，我们将把自己限制在$n$和$d$都是整数的情况下，并查看由此产生的除法方法和途径。这些方法包括长/短划分方法、分块方法、自由形式方法-以及其他图形较少的划分方法。

由于除法的概念是建立在自然数的基础上的，所以我们首先从那里开始，并说明一些涉及到的主要方法是有意义的。一旦到了那里，我们将使用其他替代方法和途径慢慢扩展我们的工具集-以便也可以包括其他整数除法的场景。

如果你有一盘1529厘米长的带子，你想把它切成7厘米的小块，你能做多少块呢？在说了这么多，做了这么多之后，录像带还剩下多少呢？

嗯，正如您可能猜到的，这只不过是以下除法问题：$\Required{enclose}$\[7\Enclude{Longdiv}{1529}\]它可以通过使用传统的长除法解，或者-如果我们愿意-也可以用简略的短除法解。

正如您可能已经知道的，长除法过程包括设置除法表，以便在每个阶段，我们将通过尽可能多次地扣除被除数/中间余数来计算出商数的一位数。

例如，在本例中，由于$1529$可以被$7$$100$倍扣除，但不能被$1000$倍扣除，我们知道我们应该从查看$100$的数字倍数开始这个过程。

事实上，稍加检查便会发现，1,529元可扣减7元200元倍，但不能扣减300元倍。这将导致我们选择$200$作为我们的第一阶段商，这将依次产生以下tableau：\Begin{array}{r}200\\[-0.35em]7\Enclude{Longdiv}{1529}\kern{-0.15ex}\\[-0.3em]\下划线{1400}\\[-0.25em]129\end{array}，下面是这种方法的优点：因为我们已经确定$1529$可以被$扣除。这意味着我们肯定不会再将1529美元减去100美元或更多，剩下的就是专注于10美元的数字倍数。

事实上，稍加检查便会发现，129元-现在剩下的1,529元-可以减去7元10元的倍数，但不能减去20元的倍数。这将导致我们选择$10$作为下一阶段商，这又将导致以下画面：\Begin{array}{r}10\\[-0.35em]200\\[-0.35em]7\Include{long div}{1529}\kern{-0.15ex}\\[-0.3em]\下划线{1400}\\[-0.25em]129\\[-0.3em]\下划线{\phantom{1}70}。我们的记法有点不同寻常，因为数字堆积在极端，但这些数字存在的原因有几个-这一点将在接下来的几节中变得更加清楚。

但撇开这一点不谈，请注意，由于我们已经确定剩余的1529美元可以扣除7美元10美元倍，但不能扣除20美元倍，这意味着我们肯定不会再进一步扣除10美元倍或更多-1美元的数字倍数应该是我们下一步的工作。

事实上，用不了多久就会意识到，59美元-现在剩下的1529美元-可以被扣除7美元8美元倍，但不能扣除9美元倍。这将导致我们选择8美元作为下一阶段的商数，这又会将我们带到下一个画面：\Begin{array}{r}8\\[-0.35em]10\\[-0.35em]200\\[-0.35em]7\Enclude{Longdiv}{1529}\\[-0.3em]\下划线{1400}\\[-0.25em]129\\[-0.3em]\下划线{\phantom{1}70}\\[-0.25em。[-0.3em]\在此处给{56}\\[-0.25em]3\end{array}加下划线，请注意，由于我们已经确定剩余的$1529$可以扣除$8$倍，但不能扣除$9$倍，那么接下来剩下的$1529$必须小于除数本身。事实上，这也反映在我们最后的画面中。

但是，无论哪种方式，除法过程现在都即将结束，得到$200+10+8=218$作为商，$3$作为余数，以及除法的以下表示法：

现在，在上面的例子中，有两个有趣的特性。第一个更容易发现的事实是，每个阶段商的形式是一个前导数字后跟零(或不是零)，每个阶段前导数字的位置向右移动-永远不会重叠。

于是这个自然的问题就变成了：“这是否适用于每个阶段的所有长除法场景？”幸运的是，答案是肯定的，这是因为根据算法的性质，我们总是在每个阶段的最高可用位置选择最高的数字倍数。

正因为如此，我们通常更喜欢采用只用前导数字表示阶段商的惯例-并且从左到右这样做，就像我们在动态地写商数一样。

至于第二个特点，它与这样一个事实有关：由于阶商总是上述形式，我们经常在除号下面得到许多数字，它们的“有效数字”都在左边-后面跟着一串零。

虽然这些零在许多情况下可能是无害的，但随着股息的增加，它们也可以非常快地复合。正因为如此，我们通常喜欢完全省略这些零-同时保持这些数字的“有效数字”不变。

因此，如果我们考虑到上述约定来重做磁带问题(即商合并、省略零)，则除法Tableau的第一次迭代将变成：\Begin{array}{r}2\phantom{00}\\[-0.35em]7\enclosed{long div}{1529}\kern{-0.15ex}\\[-0.3em]\下划线{14\phantom{00}}\\[-0.25em]1。请注意，部分标记的数字在除号上方和下方的位置现在变得至关重要-因为它们现在只用“有效数字”标记。

事实上，默认假设这些数字的小数点与除数的小数点对齐，所以除号上方的2元实际上是200元，而下面的14元实际上是1400元。就这样，第二个画面出现了：\Begin{array}{r}21\phantom{0}\\[-0.35em]7\Enclude{Longdiv}{1529}\kern{-0.15ex}\\[-0.3em]\下划线{14\phantom{00}}\\[-0.25em]12\phantom{9}\\[-0.3em]\下划线{\phantom{1}7\phantom{0}}\\[。注意，我们已经在动态地合并舞台商了，这是一件很好的事情。跟往常一样，上面的21元实际上是210元，下面的7元实际上是70元。

然后,。还有最终版本的画面：\Begin{array}{r}218\\[-0.35em]7\Enclude{Longdiv}{1529}\Kern{-0.15ex}\\[-0.3em]\下划线{14\phantom{00}}\\[-0.25em]12\phantom{9}\\[-0.3em]\下划线{\phantom{1}7\phantom{0}}\\[-0.0em。-0.3em]\下划线{56}\\[-0.25em]3\end{array}如您所见，这种基于惯例的长除法程序既可能是好事，也可能是坏事。这是一件好事，因为它消除了许多不必要的零和重写，也是一种诅咒，因为它可以给人一种简单地处理小整数的错觉-而实际上通常情况恰恰相反。

因此，无论你是在学习方面还是在教学方面，一定要理解画面中每个部分标记的数字代表的是什么。仅此一项就可以避免许多误解，并消除将长除法视为一系列半有意义的算法仪式的看法。

虽然长除法的传统用法已经有了许多内置的速记，但还有另一种高度缩写的长除法，称为短除法-在这种形式下，中间余数与被除数数字一起标注为上标。

由于在这种情况下，导致临时余数的计算被完全省略，这使得短除法成为处理小欧几里得除法和一般欧几里得除法的一种名义上更优越的工具。

例如，如果我们改为使用短分割来重做上述磁带分割问题，那么我们的第一个画面将变成：\Begin{array}{r}2\phantom{^{1}29}\\[-0.30em]7\enclosed{long div}{15^{1}29}\kern{-0.15ex}\end{array}这里，注意上面的$2$表示$200$，上标$1$只是通知我们。

正如您可以猜到的那样，这种巧妙的表示法解决了使用长除法的传统用法的许多问题，因为不仅在任何给定阶段对中间余数的值几乎没有混淆，而且除号下面的部分标记的数字几乎也都消失了。

这样就出现了第二个画面：\Begin{array}{r}2\phantom{^1}1\phantom{^{5}9}\\[-0.30em]7\include{long div}{15^{1}2^{5}9}\kern{-0.15ex}\end{array}与长除法一样，这里的阶段商也在动态合并，剩下额外的上标$5$-。

此时，应该很清楚最终的画面是什么样子，但为了完整起见，这里是：\BEGIN{ARRAY}{r}2\phantom{^1}1\phantom{^{5}}8\phantom{^3}\\[-0.30em]7Array\\enclose{longdiv}{15^{1}2^{5}9^{3}}\kern{-0.15ex}}特别要注意最后的上标，$3$，现在正在成为除法的剩余部分-就像最上面的数字$218$现在也成为除法的商。

作为另一个示例，下面是除法$2689\div 13$的简短除法画面：\Begin{array}{r}2\phantom{^0}0\phantom{^8}6\phantom{^11}\\[-0.30em]13\include{long div}{2 6^{0}8^{8}9^{11}}\kern{-0.00ex}\end{array}特别要注意：

但无论是哪种情况，其中一种情况发生并不一定意味着效率低下。如果说有什么不同的话，那就是这些上标可以提供重要的线索，说明哪些数字完成了-以及下一个重点放在哪些数字上。

正如我们在上面看到的，长除法(基于速记或其他方式)喜欢“记录所有的制表符”，而短除法则倾向于什么都不跟踪--除了除号下面的商和中间余数。

因此，对于少数人来说，以“短”的方式做除法可以极大地减少误解和记号错误的机会。事实上，每个短除法画面看起来都比对应的长除法画面看起来更简单-包括只涉及一个迭代的画面！

(如果有什么不同的话，当余数是唯一需要的东西时，也可以完全省略商数位。这使得短除法对于例如模算术中的最小正剩余的计算特别有用。)。

然而，通常没有注意到的是，由于短除法中的数字遗漏更多，这可能会导致计算和记忆的负担从纸笔转移到一个人的心算能力上。

因此，随着股息和除数变得更大，会有一个时间点，在这个时间点上，“把标签留在脑袋里”可能会变成更多的负债，而不是资产。毕竟，仅仅因为一个方法在符号上很简单并不意味着它对所有情况都是最好的！

如果说有什么不同的话，那就是长除法和短除法都有一个很少被解决的微妙盲点-这与这两种算法都是贪婪的算法，都只在单个数字上进行优化有关。

虽然这可能表面上看起来不是很多，但它确实有利于某种形式的推理，而这种推理可能会反过来伤害我们。在接下来的内容中，我们将查看一些不受此类约束限制但因此失去系统性的方法。

在长除法和短除法中，程序是这样设置的，这样我们就可以根据商数字做出决定，并试着一次只写出一个。

虽然这有一个立竿见影的好处，一旦商数位被确定，它在整个过程中都会保持正确，但除此之外，没有什么理由说明为什么应该是这样的。

那么，如果我们允许自己更自由一点，欧几里德的划分会是什么样子呢？嗯，这就是像分块法这样的除法可以发挥重要作用的地方。

简而言之，分块方法是除法过程的最终体现，因为它包括重复地从一个数字中取一大块-而不太考虑商本身的位数。

为了举例说明，假设我们正在处理以下除法问题：\Begin{array}{r}4\Enclude{Longdiv}{5785}\end{array}首先，我们可能会看到我们可以将$5785$减去$4$至少$1400$次。这将导致我们选择$1400$作为我们的第一阶段商，这将产生以下表：\Begin{array}{r}1400\\[-0.35em]4\enclot{long div}{5785}\kern{-0.15ex}\\[-0.3em]\下划线{5600}\\[-0.25em]185\end{array}在这里，我们看到$185$-现在剩余的$5785$-可以进一步扣除。这将导致我们采用$45$作为下一阶段商，这将把我们带到以下画面：\Begin{array}{r}45\\[-0.35em]1400\\[-0.35em]4\Include{Longdiv}{5785}\Kern{-0.15ex}\\[-0.3em]\下划线{5600}\\[-0.25em]185\\[-0.3em]\下划线{180}\\[-0.25em]\下划线{180}\\[-0.25em]\下划线{180}\\[-0.25em]\下划线{5600}\\[-0.3em]\下划线{180}\\[-0.25em。应该清楚的是，大部分工作已经完成，尽管我们还有5美元的工作要做。也就是说，我们要做的就是做最后的润色，一切正常：\Begin{array}{r}1\\[-0.35em]45\\[-0.35em]1400\\[-0.35em]4\包含{long div}{5785}\Kern{-0.15ex}\\[-0.3em]\下划线{5600}\\[-0.25em]185\\[-0.3em]\下划线{180}\\[-0.25em]5\\[-0.3em]\下划线{。4}\\[-0.25em]1\end{array}此处，由于中间余数已经小于除数本身，我们可以安全地宣布过程结束，$1400+45+1=1446$和$1$分别是最后的商和余数。我们还可以加入分组的各种表述-如下所示：

正如我们所看到的，分块方法的独特之处在于它没有提供开箱即用的明确算法，但正因为如此，它可以比传统方法更好地促进关于除法本身的直观和自由的思维方式。

如果说有什么不同的话，那就是它甚至迫使我们在开始有效地使用和运用这种方法之前，获得强大的算术技能和对除法的真正理解。

因此，即使这样的方法对于计算机实现来说可能非常低效，但对于算术能力很强的人(或者那些只是渴望更多地了解数字模式的人)来说，这很可能是他们一直在寻找的缺失的方法。

到目前为止，我们已经了解了组块方法如何通过允许非标准阶段商来消除传统的基于数字的方法的僵化。但事实证明，分块方法本身也不是没有自己的限制。特别是：

它假定临时余数为0美元或更多，并且不允许存在负的临时余数。

它假定阶段商本质上是正的，并且不允许使用负的阶段商。

可以肯定的是，总是有可能辩称这些限制是出于善意，因为它们是基于我们对ph的概念和理解。

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