在数学中，通常需要一张好的地图才能找到答案
15世纪末，莱昂纳多·达·芬奇(Leonardo Da Vinci)勾勒出了一种类似于现代直升机的飞行器的草图。今天，达芬奇的“空中螺丝钉”显得别出心裁，超前于时代。虽然该装置本身太重而不能飞行，但其背后的想法是合理的，这些想法最终使现代直升机得以飞行。首先，技术必须经过多个世纪的进步。
数学家往往与达芬奇处于同样的境地：他们有远大的梦想，但数学知识可能还不够先进，无法实现这些梦想。
例如，取决于你问的是谁，现在的数学家解决黎曼假说(数学中最著名的悬而未决的问题)的机会几乎与达芬奇建造真正能飞的机器的机会一样多。
多伦多大学的雅各布·齐默曼(Jacob Tsimerman)说：“到目前为止，还没有提出一种处理黎曼假说的策略，这甚至是不可信的。”
但是，尽管在达芬奇的时代，功能版本的空中螺丝必须等待，但在数学上，什么是可能的，什么是不可能的，通常是不清楚的。
有时候，一个问题可能看起来毫无希望，只是让数学家意识到解决方案的要素一直隐藏在人们的视线之内。这就是Vesselin Dimitrov最近对一个名为Schinzel-Zassenhaus猜想的问题的证明所发生的事情，Quanta在我们的文章“数学家测量多项式中的排斥力”中介绍了这一猜想。
数学家长期以来一直未能证明这一猜想，许多人认为需要一项新的数学发明才能实现这一猜想。但迪米特罗夫找到了一种新的方法来结合存在了40多年的技术，从而解决了这个问题。
齐默尔曼说：“数学家有时过于急于排除我们可以解决问题的可能性。”“数学真的很难，人们有时会忽略一些东西。”
那么，数学家如何知道问题目前是不可能的，还是真的很难呢？显然，没有明确的方法来判断，所以他们只能依靠线索。而问题遥不可及的最大暗示就是很多人都没能解决这个问题。
另一种判断方法是看一个问题是否与另一个问题相似。如果数学家解决了一个问题，就会增强他们的信心，相信他们可以解决另一个看起来类似的问题。
牛津大学的詹姆斯·梅纳德(James Maynard)说：“有些问题自然是相互关联的，你有一些技术可以在它们之间传递。”如果你已经想好了如何做一张桌子，你可能会合理地怀疑你可以做一把椅子。
但有些问题看起来与任何已解决的问题完全不同。例如，数论领域中最大的两个悬而未决的问题是孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。它们看起来很相似，但它们也有别于数学家们设法证明的任何其他东西。
梅纳德认为它们是一对岛屿-一个偏远的群岛。他们距离数学知识的海岸很远，这意味着需要一项重大发现才能到达那里。
“你需要一个更成熟的想法来穿越大洋，”他说。
但哥德巴赫和孪生质数之间的相似之处表明，它们可能都屈服于同样的想法。梅纳德说：“我相信我们可以同时解决这两个问题，即使它们看起来离我知道如何用我的数学技巧到达的任何一个岛屿都很远。”
有时，数学家已经学到了足够多的知识，可以知道他们不知道的东西。孪生素数和哥德巴赫猜想都是关于素数的问题。目前，数学家缺乏一种万能的方法来确定一个整数是有奇数个还是偶数个素数因子。如果他们不能区分具有偶数个素数因子的数字和具有奇数个素数因子的数字，那么他们自己就不能可靠地识别素数-因为所有的素数都有奇数个素数因子。这称为奇偶校验问题。
“在这些事情上你可能是错的，但我真的认为奇偶问题是阻碍哥德巴赫或孪生素数的主要因素。梅纳德说，如果你能做到这一点，我认为你就在解决“这两个问题”的道路上走得很好。
然而，在其他时候，甚至不清楚需要什么才能解决一个问题--这只是数学家显然做不到的。黎曼假设是这样的。这是一个关于质数分布的问题，这完全是个谜。
哈佛大学的柯蒂斯·麦克马伦(Curtis McMullen)表示：“我很难推测黎曼假说将如何解决，但我认为承认我们不知道是很重要的。”
当问题离地图如此之远，以至于数学家们甚至无法想象如何去解决它们时，挑战不仅仅是想出一艘更好的船--而是拿出一张更好的地图。如果你不知道一个岛在哪里，再多的聪明才智也不会把你带到那里。但一旦你找到了它，你可能会发现一条令人惊讶的路线，它会把你带到它的海岸。
这就是21世纪最著名的数学结果-格里戈里·佩雷尔曼(Grigori Perelman)2003年对庞加莱猜想(PoincaréConjection)的证明，该猜想是关于确定三维形状何时等同于三维球体的问题。这个问题困扰了数学家一个世纪。然后在20世纪80年代初，威廉·瑟斯顿将庞加莱猜想放在一个更广阔的理论版图中--从那里，数学家们开始发现新的方法来研究它。
麦克马伦说：“我认为我们受阻的原因之一不是因为我们没有正确的技术，而是因为问题没有放在正确的概念框架中。”“改变后的问题暗示了改变后的技术。”
换句话说，如果一张新地图显示了一条通往目的地的令人惊讶的海上路线，你可能会想到建造一艘船。
然而，也不能保证问题就能得到解决。例如，某个猜想表明π的数字是均匀分布的，因此数字0-9总体上以相同的频率出现。实验计算支持了这一猜想，但数学家们不知道如何证明这一点-而且他们可能永远也不会。
麦克马伦说：“这个猜测很有可能是真的，但它的真相可能是一个很难通过纯逻辑得出的意外。”
不幸的是，对于数学家来说，许多关于基本数学现象的猜想--包括质数的基本行为--可能无法解决。
麦克马伦说：“有大量的问题是真实的，因为它们可能应该是真实的，而我们可能永远不会知道它们的答案，因为我们看到的现象没有逻辑的解释。”“对于公众来说，这几乎就像是一个秘密，我们可以很容易地写下数百道数学题，而这些题几乎肯定在接下来的一千年里永远也解不出来。”
考虑到所有这些不确定性，数学家们致力于发展一种意识，即他们有机会使用数百年来可用的技术来解决哪些类型的问题。
梅纳德说：“对于如何将这些想法结合在一起，以及如何使用现有技术的一些组合，对你有一个高度发达的直觉是很重要的。”
梅纳德这样做的一种违反直觉的方式是，留出时间提醒自己，为什么现有的技术对数学最大的悬而未决的问题没有奏效。
他说：“我经常在周五下午只想着直接解决一些著名的问题。”“这不是因为我认为有一种现实的方法来解决问题，而更多的是因为我认为理解看似合理的技术在哪里失败对我来说很重要。”
当然，即使是关于数学中可能发生的事情的最仔细的直觉也会遗漏一些东西--也许很多东西。证明这一点的最好证据是，像迪米特罗夫这样的证明使用较老的数学工具出人意料地解决了难题，这并不少见。
对于数学家来说，这有时是所有结果中最好的一种。毕竟，当人类最终弄清楚如何制造直升机时，这在20世纪初无疑是一项成就。但想象一下，如果达芬奇一直都有制造这样一台机器的技术，那该有多有诗意。
梅纳德说：“有时这可能会更令人兴奋，因为数学界很好地理解的技术最终可能比人们欣赏的更强大。”