数学不变量帮助丽莎·皮奇里洛解决康威结问题

当丽莎·皮奇里洛破解了一个数十年来关于“康威结”的谜团时，她不得不克服这个结的神奇能力，欺骗数学家们设计的一些最强大的工具。这些工具被称为不变量，它们不仅构成了纽结理论的骨干，而且构成了许多数学领域的骨干，它们提取数学对象的基本特征，并检测两个对象何时彼此根本不同。

顾名思义，不变量是一个属性，它不会随着您更改对象的无关紧要的特性而改变(其中“无关紧要”指的是您在特定上下文中需要它做的任何事情)。不变量是对象的某些固有性质的升华，通常以单个数字的形式出现。

以拓扑学为例，设想用可伸缩的网覆盖一个球，该网将曲面划分为三角形和矩形等形状。当然，形状的数量将取决于您使用的网格，边和角的数量也是如此。但是数学家在几个世纪前就知道，这三个数字的某个组合的结果总是一样的：形状的数量加上角点的数量减去边缘的数量。

例如，如果您的网将球体划分为一个膨胀的四面体(具有四个三角形、四个角和六个边)，则此数字等于4+4−6=2。如果您的网改为形成足球的图案(总共有32个六边形和五边形、60个角和90个边)，您将再次获得32+60−90=2。在某种意义上，数字2是球形的固有特征。如果拉伸或扭曲球体，这个数(称为球体的欧拉特性)不会改变，因此这就是数学家所说的拓扑不变量。

如果改为将网包裹在甜甜圈曲面周围，则始终会获得0的Euler特征。在两个孔的甜甜圈上，你可以得到−2。曲面的欧拉特征属于一系列不变量，这些不变量也允许数学家探索更高维度的形状。它可以帮助拓扑学家区分难以可视化的两个形状，因为如果它们具有不同的欧拉特征，则它们不可能是相同的拓扑形状。

不变量也被用来研究15个拼图，这是一个经典的玩具，由编号为1到15的正方形瓷砖组成，你可以在4x4的网格中四处滑动。目标是将混合排列的瓷砖从左到右，从顶行开始，按数字顺序排列。如果您想知道某个特定的安排是否可解，有一个不变量可以给您答案。它根据两个数字的和输出“偶数”或“奇数”：将空白正方形带到右下角所需的幻灯片数量和数字顺序相反的拼贴对的数量(空白正方形表示拼贴16)。

每当您将瓷砖滑入空的正方形时，这两个数字都会切换奇偶(均匀或奇数)。所以它们和的奇偶性永远不会改变，这意味着它是滑动过程的不变量。对于求解的构型，这个不变量是偶数，因为两个数字都是零。因此，任何具有奇数不变量的配置都是完全没有希望的。

当谈到结理论时，区分结是一件棘手的事情，因为你可以仅仅通过移动环的线来使结变得无法辨认(数学家认为结发生在闭合的环中，而不是开放的线中，所以它们不能被解开)。在这里，不变量是必不可少的，数学家们已经想出了几十种提炼出结的不同特征的方法。但是这些不变量往往有盲点。

举个例子，一个叫做三色性的不变量。如果有一种方法可以将结图的线条涂成红色、蓝色和绿色，这样在每个交叉处，相交的三条线条要么都是相同的颜色，要么都是不同的颜色，那么结图就是三色的。数学家已经证明，即使你移动一个结的线束，它的三色(或缺乏)也是不变的。换句话说，三色系是结的固有特征。

被称为三叶草的三交叉结是三色的。但是“结”(没有实际结的环，即使它看起来纠缠在一起)不是三色的，它提供了一个即时的证据，证明三叶草不仅仅是伪装的结。但是，虽然三色能力使我们能够区分一些结和非结，但对于这个目的来说，它并不是一个完美的工具：三色的结肯定是打结的，但不是三色的结并不一定是解开的。例如，八字结不是三色结，但它是真正打结的。这个结落入了三色能力的盲点--就好像不变量在说，“据我所知，这个八字结还没有解开。”

康威结是约翰·霍顿·康威在50多年前发现的一种11个交叉的结，它非常善于欺骗不变结-特别是那些被设计来检测皮奇里罗感兴趣的质量的结，称为细度。Slicness表示节点是四维空间中某个平滑但打结的球体的一片。

赖斯大学的雪莉·哈维说：“每次有了新的不变量，人们就会关注康威结上会发生什么。”到目前为止，康威结已经落在了每一个不变的数学家用来研究细度的盲点上。

当皮奇里洛最终成功地证明康威结不是“切片”时，她不是通过设计一个新的不变量，而是通过找到一种聪明的方法来利用现有的称为拉斯穆森s-不变量的不变量来做到这一点。康威结愚弄了这个不变量和所有其他的不变量。但在她的论文中，皮奇里洛提出了一个不同的结，她可以证明它与康威结具有相同的切片状态。对于这个新纽结，拉斯穆森的s-不变量证明了它不是切片。因此，康威结也不能切开。

拉斯穆森的s-不变量是近几十年来发现的一系列与物理有关的纽结不变量之一。波士顿学院的埃莉森达·格里斯比(Elisenda Grigsby)说，数学家们花了一段时间才能吸收这些不变量所提供的东西。

Grigsby说，Piccirillo是“一群新的低维拓扑学家中的一员，他们从小就知道骨骼中的[这些不变量]”。“对我来说，这就是这篇论文令人兴奋的地方。