让博弈论告诉你什么时候去购物

现在不是去杂货店，补充食品储藏室，买新鲜牛奶和鸡蛋的时候。然而，我需要补充我的食物供应。那么，我应该走了。等等，其他人都是这样想的吗？然后每个人都会去。“我不应该去。”但到那时，每个人都会这么做，商店就会空无一人。我该走了。我好像陷入困境了。

一种方法是应用博弈论。2001年，电影“美丽心灵”上映。根据西尔维娅·纳萨的书改编，它记录了数学家、经济学家和密码学家约翰·纳什的一生，他是纳什均衡的创新者，博弈论的创始概念，数学建模的研究领域，以确定可能的结果和人们如何做出决定。我打赌你玩过石头，布，剪刀。但你有没有想过是否有获胜的策略？嗯，博弈论是一个研究领域，可以搜索，有时还能找到获胜的策略。获胜是一个强有力的词-实际上你找到的是你无法改进的策略。对于石头、布和剪刀，你会使用混合策略(意思是你可以是随机的)，在三分之一的时间里把每一个选择都扔出去。

事实证明，决定是否去杂货店，以及何时去杂货店，是W.Brian Arthur在1994年用博弈论解决的-他只是不知道而已。他根据圣达菲的一家酒吧在周四晚上举办了一场流行音乐活动，解决了他所说的El Farol酒吧的问题。这个问题假设有100个人，他们不知道其他人会做什么。在这个问题中，如果超过60人(60%)出现，有限空间里的过度拥挤将导致一个不愉快的夜晚。如果客人呆在家里，他们会过得更愉快。然而，如果到场的人不到60人，与会者去的时间会比呆在家里好。如果他们想去，但如果酒吧太拥挤了就不去了。他们需要做出决定。下面是双人El Farol酒吧问题的收益网格。

听起来很耳熟。如果杂货店很拥挤，我不想去。事实上，我想与社会保持距离，并确保我会有六只脚，四面都是我自己。为了将El Farol酒吧问题转化为决定我的流行病购物问题的形式，我需要一些信息。希望费米估计(一种使数学问题在数量级内的包络方法)能让我大致正确，并使这些数字的粗糙程度变得平滑。

首先，我需要两个关键数字：如果我去杂货店，我会对有多少人感到舒服，有多少人想去杂货店，我的第一个假设是，购物者希望遵守社交距离，既然如此，每个人在店内可以接受的最大人数将是相同的，就像El Farol酒吧的问题一样，如果超过60人出现，没有人会玩得开心。为了找到那个关键数字，我从自己周围6英尺半径开始计算圆的面积，大约是113英尺的平方。

下一步，我需要找到商店的面积。我在互联网地图上测量轮廓；但等等，这些杂货店有很大的储藏区，还有很多过道和固定装置。我需要从整个商店的占地面积中减去它们。幸运的是，消防法规的占用限制已经将这些因素考虑在内。通过使用商店的占地面积和消防法规的占用限制，我们可以确定商店的最高占用人数为650人。例如，在我去购物的家乡弗吉尼亚州，他们从2015年开始使用国际建筑规范(International Building Code)。它建议商业建筑的地板上每人60平方英尺(约合60平方米)。如果将这个数字转换为每人113平方英尺(约合113平方英尺)，那么与社会疏远的入住率约为345人。下面是用于确定商店的社交距离占用负载的计算。

SQFT/OLF(乘员荷载系数)=OL(乘员负荷)(OL X OLF)/OLF‘=OL’(650*60)/113=345。

第二个关键数字是和我去同一家商店的人数。这个数字有点棘手，但幸运的是谷歌地图可以估计一个地点的受欢迎程度。这不是一个非常准确的数字，但我会在最受欢迎的时间使用正常的最大负载，目前的受欢迎程度约为60%。我最终有390个人有兴趣去。

博弈论的混合策略解决方案是通过选择相等的概率(P)来确定去酒吧的收益(X)和呆在家里的收益(Y)。满足方程式：

x(1-p)-yp=0(想去的人数)p=(最大人数)。

对于N人版本，每个人都有相同的收益：P(最多最大数量)=yy+x。

然而，如果个人收益，从而个人概率，形成µ=p的概率分布，收益不必相等，因为每个人都可以确定他们在大流行期间购物的价值有多大。换句话说，如果购物者偏离了他们的策略，分布就会改变。如果我们对其他购物者采取理性的混合策略，只要他们的个人赔率在概率分布之内，我们平均就会得到相同数量的购物者。

当我88%的时间去商店的时候，解这些方程式会让我采取一种混合的策略。这是一个很高的概率，但我还是决定使用随机数生成器。弹出Wolfram Alpha(一个数学求解Web应用程序)并插入rand(0，1)，这是一个输出介于0和1之间的随机数的函数，得到的是.366(或36.6%)，低于.88(88%)的p。这意味着是时候去购物了，因为我们去购物的概率是88%，而低于0.88的数字意味着我们应该去购物。大于.88的数字会指示我们待在家里。

我希望他们的分布是扁平的，因为只有扁平分布才可以使用0.88以下的数字，任何低于0.88的数字都表示我们应该去购物。但去商店的需求即将改变，因为我们是基于这样一个事实，即购物的受欢迎程度随着一天中的时间而变化。

随着大流行的继续，我们都在努力弄清楚什么时候轮到我们使用我们如此习惯的资源和服务。我认为，我们中的许多人已经将重点从我们的需求转向我们的健康，转向我们的健康如何影响他人的健康。我们每个人都能做出越好的决定，世界各地紧张的政府的决策负担就会越小。我们可以在数学和博弈论的一点帮助下，学会明智地应用好的建议。

我最终使用模型的结果做出了我的决定，那就是去商店。我不相信人们会试图忽略这个问题，我的观察是，大多数人在遵循疾病控制与预防中心和特别工作组的指导方面做得很好。因此，我收集了我的流行病购物工具包，包括面罩、乳胶手套、消毒湿巾和洗手液，然后前往商店。这个模式奏效了。这家商店并不太拥挤，所以我可以在保持推荐的社交距离的同时买到我需要的东西。

看起来El Farol酒吧的问题是大流行期间购物的合适模式。通过使用这种方法，结合来自谷歌地图的可用信息来衡量商店的规模和受欢迎程度，人们可以对最佳购物时间进行建模。虽然这里的重点是在大流行期间购物，但任何可能有点厌恶人群的人都可以在下一次补充食品杂货时使用这种方法。

托马斯·F·伯森(Thomas F.Bersson)是一名研究系统工程师，也是弗吉尼亚大学的兼职教授。他住在弗吉尼亚海滩。

乔纳森·S·伯松(Jonathan S.Bersson)应用数学建模。他曾就读于加州大学戴维斯分校和路易斯维尔大学。他住在肯塔基州的路易斯维尔。