全天候数学

在时钟刻度盘上，你可以找到从1到12的数字--但稍微改变一下，你能用不同的方式写下这些数字吗？

答案是肯定的。例如，您可以使用总和、乘积或乘幂将其写为或。如果您喜欢这个数字，您也可以通过使用天花板函数来编写，该函数从上面用最接近的整数近似。表达数字的可能性是无限的，哪一个是最好的取决于个人的喜好。一般说来，您可以通过以您最喜欢的方式写信来制作您自己的专用数学钟。

如果你正在寻找一些非常奇特的东西，你可以用欧拉的身份来表达，用数字，和虚数：

或者，如果您喜欢巴塞尔问题，您可以将其显示为的正倍数的平方的所有倒数之和，以获得更具体的结果，您可以选择从到的任意数字，并仅使用此数字和数学符号在时钟表盘上表示数字(下图提供了一些示例)。

更一般地，只使用任何给定的实数和数学符号就可以将整数从写到。这是因为我们总能找到适合这个数字的表达式。事实上，对于最多为的正实数，取天花板函数(即从上面取整数近似值)就足够了。对于大于我们可以写为的底函数的任何实数(即从该数的次根开始取整数近似值)，可以用对数恒等式进行检查。

最后，负数可以用绝对值变为正数，因此可以使用阶乘恒等式。

市面上有很多数学钟，表盘上有各种各样的表达式。偶尔，你会发现某些序列的前十二项，而不是从到的数字。例如，您可能有前12个斐波纳契数：

另一种选择是写下一个等式，这样所需的数字就是唯一的解，例如，用

一些数学钟显示的方程有多个解，但从到到的整数中只有一个解。一般来说，当心数学时钟中的数学误差(例如，不是真的)！

然而，一切都被允许玩数字的乐趣。我们要求你制作自己的数学钟，但如果你需要一些灵感，这里有一些例子。

在下面的图片库中，你可以找到各种数学钟，还有从到写数字的不同方式。您可以打印出其中的一个图像并将其用作时钟刻度盘(例如，您购买了一个带自定义刻度盘的时钟)，或者您也可以简单地将选定的数字表达式放置在时钟上方或周围。你也可以买一些可以写字的钟，这样你就可以在闲暇时更换你的数学钟。

将任意十进制数字固定到，然后使用仅涉及该数字和一些算术运算的简短表达式显示所有整数到。我们使用基本的算术运算，取幂，取平方根。

这里有一个7点钟的例子。下面给出了1、2、3、4、5、6、8和9的示例(请注意，对于数字5、6和7，我们只使用基本的算术运算)。

可以仅使用数字、、按此顺序精确一次地将所有整数从写入到。我们使用基本的算术运算，取幂，取平方根，取阶乘(自然数的阶乘，由表示，定义为从到到的所有自然数的乘积)，然后应用下限函数(该函数近似于实数与下面最接近的整数)。

可以仅使用数字、基本算术运算和下限/天花板函数和(这些函数分别与下面和上面最接近的整数近似实数)将所有整数从写入到。

仅使用欧拉数、基本算术运算、取幂、取平方根以及应用下限/上限函数和，就可以将所有整数从写入到。