一个巨大的定理：有限单群的分类(2006)

本文是2006年普罗大众类新作家奖的获得者。

1981年2月，有限单群的分类完成。丹尼尔·戈伦斯坦(Daniel Gorenstein)如是写道，他是这一分类背后的程序监督人：毫无疑问，这是纯数学所见过的最不同寻常的定理之一。

它本应该是现代数学的里程碑，但它没有在更广泛的媒体上引起太多关注，甚至在这个学科内也有许多人持怀疑态度。原因是其证据的神秘性和争议性。它长达10,000多页，散布在500篇左右的期刊文章中，作者来自世界各地，超过100名，这是史无前例的，也是历史上最长的。

在一定程度上，怀疑论者被证明是正确的：随后发现了证据方面的问题。迈克尔·阿施巴赫(Michael Aschbacher)和斯蒂芬·史密斯(Stephen Smith)花了七年时间，又花了两本书才解决了最大的。2004年，在此之后，Aschbacher写道，据我所知，[我们论文]的主要定理填补了原始证明中的最后一个空白，因此(目前)分类定理可以看作是一个定理。

对于这样一部开创性的当代数学作品来说，令人惊讶的是，今天世界上没有人完全理解整个证明。对它有最好整体看法的人是戈伦斯坦，他于1992年去世。戈伦斯坦作为团队的教练-努力证明这个巨大的定理。正是他，在1972年芝加哥的一系列研讨会上，提出了一个大胆的想法，将自20世纪50年代以来出现的各种不同的研究思路，并将它们转变为一个协调一致的分类计划。

那么，这个令人震惊的定理是什么，它需要如此巨大的长度和复杂性的证明？什么是有限单群？对它们进行分类意味着什么？在这篇文章中，我将试图阐明这些问题，但首先我们需要后退几步。

数学常常从具体到一般。我们从一个有趣的物体开始，例如一个立方体。你可以对立方体进行很多观察，但数学家可能会把重点放在它的组成上：它是一个三维实体，有平坦的二维表面，在直线边和顶点(角)相交。这样的物体称为多面体。然后您可能会注意到，立方体是一个相当特殊的多面体：所有面都具有相同的形状，所有边都具有相同的长度，并且每个顶点处都有相同的数量相交。这样的多面体叫做正多面体。

所以从立方体开始，我们发现了一种更一般类型的物体，正多面体，我们的立方体现在只是其中的一个例子。另一个例子是四面体，它有四个三角面。

这种从具体--立方体--到一般--正多面体的概念--的运动，是抽象的过程。抽象是数学思维的核心，没有抽象就没有数学。它的重要性有两个原因。

第一个是精确性：如果你正在研究一个关于一类数学对象的问题，那么通过精简它们的逻辑本质，剔除所有让人分心的噪音，问题的核心通常会变得更加清晰。因此，找到问题的答案可以变得容易得多。

第二个优势是力量：如果你已经证明了一些关于正多面体的东西，那么你已经证明的东西对每个多面体都是自动适用的，无论它是立方体、四面体，还是你从来没有听说过的某个多面体。

数学家的所有想法都是通过这个抽象过程得出的，没有一个比一个群体的想法更重要了。

从任何整数，比如x，你可以通过加上它的负数-x得到0。

这三个直截了当的观察给出了抽象群体定义的味道。本质上，组是一组对象(在这种情况下是整数)，加上一种组合两个对象以获得第三个对象(在这种情况下是加法)的方式，因此：有一个特殊对象，当与任何其他对象组合时，使另一个对象保持不变(让我们称这个特殊对象为0)；

对于您的集合中的每个对象，总是有另一个对象，因此这两个对象的组合使我们回到0。

要给出一个准确的定义不需要更长的时间，但稍微更具技术性。请参阅Plus文章“团队的力量”。大多数学生在第一次看到这些时，不是被它们的深度和深刻性所打动，而是被它们的平庸和明显所打动。那么，他们掌握着数学中这样一个核心概念的关键，那就更加不同寻常了。此轴穿过立方体的相对面。您可以将其绕此轴旋转90度、180度和270度，而不会更改其外观。这种类型有三个不同的轴，总共有9次旋转，使立方体保持不变。

那么，在从整数中抽象出来并提出了组的概念之后，还有什么其他的例子呢？可以毫不夸张地说，在数学中，群体无处不在。它们有有限的和无限的两种。上面讨论的整数给了我们一个无限的群，因为它们有无穷多个。不过，本文主要关注的是有限群。

立方体可以为我们提供一个有限群的例子：不是立方体本身，而是它的旋转集合。如果我推动一根针穿过立方体的中间(穿过两个相对的面的中心，或两个相对的边的中心，或穿过两个相对的顶点)，那么我可以围绕这个轴旋转立方体，这样一些或所有的面就可以互换位置。除非您已经为面、边或顶点添加了标签，否则立方体在这样的旋转后看起来不会改变。

此轴通过立方体的相对边。您可以将其绕此轴旋转180度，而不会更改其外观。这种类型有6个不同的轴，总共有6次旋转，使立方体保持不变。

立方体所有可能的此类旋转的集合形成一个组：如果先执行一次旋转，然后再执行第二次旋转，则组合相当于执行第三次旋转(这不是立即明显的)；有一次旋转根本不做任何事情(即不动立方体)；当您执行了任何旋转后，您可以通过向后旋转(或向同一方向旋转，以使总旋转角度达到360度)返回到起始位置。

不难看出，有24个不同的旋转：9个对应于轴穿过两个相对的面，6个对应于轴穿过两条边，8个对应于轴穿过两个顶点，还有一个微不足道的旋转不会影响它。这24个旋转称为旋转组的元素。因此，立方体的旋转形成了一个有限的群，而不是整数的群，它是无限的。

此轴通过立方体的相对顶点。您可以将其绕此轴旋转120度和240度，而不会更改其外观。这种类型有四个不同的轴，总共有8次旋转，使立方体保持不变。

当然，我们不一定非得从一个立方体开始。对于每个正多面体，都有一个有限的旋转群。事实上，数学充满了几何结构，比我们的正多面体抽象得多。尽管如此，它们通常有与它们相关联的自同构组，这些自同构组与它们的关系(粗略地说)与旋转组与立方体的关系相同。

如果抽象为数学家提供了他们的研究对象，那么他们试图证明的定理往往是相反的：从一般到具体。他们试图对这些抽象的对象进行分类，也就是说，给出一个详细而详尽的列表，列出所有符合定义的对象。

例如，从立方体的例子中得出正多面体的概念之后，就有了相应的分类定理(古希腊人已经知道了)。它规定每个正多面体必须是柏拉图立体之一：四面体、立方体、八面体、十二面体或二十面体。

这不再只是一个例子列表，每个柏拉图立体都是一个正多面体的事实只有一半的意义。另一半是没有其他正多面体。

这正是许多数学领域的研究人员绝对想要证明的定理。因此，有限群理论家们已经取得了令人羡慕的结果。然而，他们的分类并不适用于所有有限群的类，只适用于一个特别重要的子类。

简单群的定义是技术性的，但概念很简单：就像素数是一个不能分解成两个更小的数的数一样，如果一个群不能分成两个更小的群，那么它就是简单的。

举个例子，让我们回到我们的立方体，想象一下我们用一根烤肉串穿过了两个相对的面的中点。我们可以将立方体绕此轴旋转90度、180度或270度，而不更改其外观，也可以不对其进行任何操作。这四个旋转，什么都不做，旋转90度，180度和270度，是我们旋转组24个元素中的4个。

然而，正如您可以很容易地查看的那样，它们本身也形成了一个较小的群体。按顺序做其中的两个旋转，比如说先旋转90度，然后旋转180度，相当于做另外两个旋转中的一个，在本例中是270度旋转。这就是无所事事的微不足道的轮换。如果你做了一个旋转，比方说90度旋转，那么跟随它的是另外四个旋转中的一个，在这种情况下是270度旋转，让你回到开始的地方。所以这四个旋转一起满足了我们定义一个群的三个特征。

因此，立方体的完整旋转组包含位于其中的较小组。从本质上讲，虽然精确的定义更具技术性，但简单的组是不能以这种方式拆分成更小的组的组。也许从分类中可以学到的一个教训是，数学家在给事物命名时应该更加小心！

单群的重要性源于1889年左右证明的Jordan-Hölder定理。它告诉我们，正如所有的分子都是由原子构成的，所有正整数都是由质数构成的，所以所有的有限群都是由有限的单群构成的。一旦你理解了有限单群，你就会对所有的有限群都了解很多。

就像正多面体的情况一样，有限单群的分类提供了所有有限单群的完整列表。然而，有一个不同之处：这一次列表是无限的；有无限多个截然不同的有限单群。

但是，尽管它们的数量是无限的，数学家们还是很好地理解了它们。给出了18个有限单群无限族的精确刻画。这些定义是高度技术性和微妙的，但本质上它们是从具有某些几何结构的自同构群的族中获得的。它们是我们正多面体的旋转群的抽象类似物。

在这十八个家庭之上，还有二十六个个体群体，也就是所谓的零星群体。其中最大的一个被称为怪物，在808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 Elements中占有一席之地！

现在我们明白了有限单群的分类是怎么说的：每个有限单群要么属于18个家族中的一个，要么是26个零星群中的一个。

当分类公布时，一些人匆忙得出结论，认为有限群论已经走到了尽头。但今天，许多数学家仍在该地区工作。他们在干什么呢？

他们正在做的一件事就是简化证明。虽然分类的陈述在一系列数学领域中已经非常有用，但一个没有人理解的浩瀚而又令人费解的证据对任何人来说都是毫无用处的。真正的风险是，如果这些技术在证明变成容易理解的形式之前就被遗忘了，那么，用戈伦斯坦的话说，它将逐渐消失在生活中的数学世界中，深埋在被遗忘的期刊尘土飞扬的页面中。

因此，目前有几个项目正在进行中，以巩固和简化部分证明。也许最重要的是由戈伦斯坦与理查德·莱昂斯和罗纳德·所罗门一起发起的，现在仍在进行中：制作一份自给自足的、精简的第二代校样，完全写在一个地方。这一点在美国数学学会出版的一系列书籍中得到了证实。预计它们的数量将在12份左右，总篇幅为3000-4000页。在写这篇文章的时候，到目前为止已经出版了6本。

有限群理论的第二个主要主题是有限群的扩张问题。如果简单的基团类似于原子，那么值得注意的是，当元素周期表第一次发表时，化学还远远没有完成。化学家们想了解原子如何结合形成更大的分子。那么，在有限群的情况下，共价键和离子键的等价性是什么呢？可以建造的复合结构有什么限制？对这个问题的完整回答将构成对所有有限群的分类。但目前，这并不被认为是一个可行的目标。总而言之，这似乎是难于理解的困难。然而，可拓问题的各种实例形成了许多数学关注的焦点。

有限群就到这里吧。那么无限群呢？在那里做类似的事情可行吗？再说一次，可能不是完全笼统的：无限的群体以令人眼花缭乱的各种形式出现。但这使得一些数学家开始寻找无限群的温和子类，这可能适合于这种分析。目前这一领域的许多研究成果都依赖于模仿有限单群分类中使用的强大技术。

理查德·埃尔维斯(Richard Elwes)在1997年至2001年期间在牛津大学学习数学，然后在利兹大学攻读模型理论(数理逻辑的一个分支)博士学位，并于2005年11月完成。在德国弗莱堡进行了6个月非常愉快的博士后研究后，他现在回到了利兹生活。除了研究和教授数学，他喜欢写从政治到恐怖片的一系列主题，并为获得2006年Plus新作家奖的普通公众类别而感到绝对高兴！