最初被摒弃，表示理论现在是许多数学的核心。

当表示理论在19世纪末出现时，许多数学家质疑它的价值。1897年，英国数学家威廉·伯恩赛德(William Burnside)写道，他怀疑这种非正统的观点会产生任何新的结果。

悉尼大学教授乔治威廉姆森(Geordie Williamson)在2015年的一次演讲中表示：“基本上(伯恩赛德当时的意思)是，代表权理论毫无用处。”

一个多世纪以来，表示理论一直是许多最重要的数学发现的关键因素。然而，它的用处一开始仍然很难察觉。

德国凯泽斯劳滕技术大学的艾米丽·诺顿教授说：“现在似乎还不清楚这是不是一件合理的研究。”

表象理论是一种把复杂的物体用更简单的物体“表现”出来的方法。复杂的对象通常是数学对象的集合-例如数字或对称-它们彼此之间具有特定的结构化关系。这些集合称为组。更简单的对象是称为矩阵的数字数组，它是线性代数的核心元素。虽然组是抽象的，通常很难掌握，但矩阵和线性代数是基本的。

“数学家基本上知道关于矩阵的一切。这是为数不多的几门被彻底理解和理解的数学科目之一。“波士顿大学教授贾里德·温斯坦(Jared Weinstein)说。

要了解如何用矩阵表示组，有必要依次考虑每个对象。

首先，我们有小组。举个简单的例子，考虑等边三角形的六个对称：

三个反射对称(从每个顶点到对侧中点绘制的线)。

这六个对称形成了一个封闭的元素宇宙-一个群-它的正式名称是S3。它们形成了一个组，因为您可以将任意数量的它们以任何顺序应用于一行中的三角形，最终结果将与您只应用一个对称的结果相同。例如，反射三角形，然后将其旋转120度，就像只是执行了不同的反射一样，对顶点进行了重新排序。

“我先做一件事，然后再做另一件事。重要的是，结果仍然是三角形的对称性。“诺顿说。

数学家将两个对称的组合称为合成：来自组(反射)的一个动作与另一个(旋转)组合产生第三个(不同的反射)。你可以像数学家那样认为作文是一种乘法行为。

诺顿说：“我们喜欢把我们的操作看作乘法，尽管我不是在乘数；我是在乘法变换。”

如果您考虑非零的实数，这是最容易看到的，它们也构成了一个组。实数有一个身份元素-数字1。任何与1相加或相乘的实数都保持不变。您还可以按照您想要的任何顺序将实数的任意组合相乘，并且乘积始终是实数。数学家说，实数群在乘法下是“封闭的”，这意味着你永远不会仅仅通过乘法元素就离开这个群。

自从它们在19世纪30年代被发现以来，群已经成为数学中最重要的对象之一。它们编码关于质数、几何空间以及几乎所有数学家最关心的东西的信息。解决一个重要问题通常需要了解与之相关的特定群体。但是大多数群比等边三角形的对称群更难理解。例如，“李群”包含无限多个元素，而不是六个元素。

这就把我们带到了表示理论，它将有时神秘的群世界转化为线性代数的严密领域。

线性代数是对称为矢量的对象执行的简单变换的研究，矢量是有效定向的线段。这些对象由坐标定义，可以以矩阵、数字数组的形式显示。

当另一个矩阵应用于向量时，就会发生变换。例如，应用矩阵。

到一个给定的向量，将其拉伸2倍。这是一个“线性”变换的例子。

其他矩阵执行不同类型的线性变换，如反射、旋转和剪切。还有一个“单位”矩阵，它使一个向量保持不变(就像单位对称使三角形不变，数字1使其他实数不变一样)：

线性代数指定了这些转换背后的算术。矩阵可以进行乘法、加法和减法，就像我们对正数执行这些操作一样容易。

表示论根据一定的规则给群中的每个元素分配一个矩阵，从而在群论和线性代数之间架起了一座桥梁。例如，必须为组中的标识元素分配标识矩阵。分配还必须尊重组中元素之间的关系。如果反射乘以给定旋转等于第二反射，则分配给第一反射的矩阵乘以分配给旋转的矩阵必须等于分配给第二反射的矩阵。符合这些要求的矩阵集合称为组的表示。

凯泽斯劳滕技术大学的艾米丽·诺顿教授说：“现在似乎还不清楚这是不是一件合理的研究。”

表示法提供了组的简化图片，就像灰度照片可以作为原始彩色图像的低成本模仿一样。换句话说，它会“记住”一些关于团队的基本但必不可少的信息，而忘记了其余的信息。数学家的目标是避免纠结于一个组的全部复杂性；相反，他们通过观察当转换为线性变换的简化格式时它的行为方式来获得对其属性的感觉。

诺顿说：“我们不需要一次就看这个集团。”“我们可以看一看规模较小的代表作，同时仍能了解我们集团的一些情况。”

一个群几乎总是可以用多种方式表示，例如，当用实数填充矩阵时，S3有三种截然不同的表示：平凡表示、反射表示和符号表示。

数学家将给定群体的表示整理成一个表格--称为字符表--该表格汇总了关于该群体的信息。行指的是每个不同的表示，列指的是该表示内的重要矩阵：分配给组中的身份元素的矩阵，以及分配给组中的“生成”元素的矩阵，这些元素一起产生所有其他元素。表中的条目是一个称为每个矩阵的“迹线”的值，通过将矩阵左上角到右下角的对角线条目相加来计算。下面是S3的三个代表的字符表。

字符表提供了该组的简化图片。其中的每个表示提供的信息略有不同。数学家将表示法提供的各种观点结合在一起，形成对这个群体的总体印象。

诺顿说：“你有很多不同的表现形式，它们记着不同的事情，当你把所有这些信息放在一起时，你就会在某种意义上看到你的团队的万花筒般的画面。”

数学家可以立即识别上面的字符表是S3的字符表。但有时，同一字符表可以表示多个组-在处理简化时，这种程度的歧义是不可避免的。

在那些模棱两可的情况下，数学家可以使用额外的工具。一种是更改他们创建表示法的编号系统。上面的S3表示涉及到具有实数条目的矩阵，但是您也可以使用复数条目(其中每个数字都有一个实数部分和一个虚数部分)。事实上，大多数表征理论都是这样的。

一些最有成果的表示既不涉及实数，也不涉及复数。取而代之的是，他们使用矩阵，其中的条目取自微型或“模数”数字系统。这是时钟算术的真实世界，其中7+6环绕12小时时钟以等于1。具有相同字符表的两组使用实数表示法可能具有不同的具有模数表示法的字符表，从而使您可以将它们区分开来。

今天，表示理论是许多数学领域的中心工具：代数、拓扑、几何、数学物理和数论-包括席卷全球的朗兰兹计划。

威廉姆森在一次采访中告诉我：“这种表象理论哲学在20世纪下半叶吞噬了大量的数学。”

表示理论-特别是模表示-在Andrew Wiles具有里程碑意义的1994年费马大定理的证明中发挥了重要作用。问题是，对于形式为n+100亿的方程是否存在整数解。Wiles证明了当n>2时，不存在这样的解。粗略地说，他认为，如果解存在，将导致具有非常不寻常的性质的群(或“椭圆曲线”)。这些属性是如此不同寻常，以至于似乎有可能表明这个物体不可能存在。然而，直接证明它的不存在太困难了。取而代之的是，怀尔斯使用的是一族模表示，如果存在的话，这些模表示会附在组上。他证明了这族模表示不存在，这意味着群(或椭圆曲线)不存在，这意味着解也不存在。

这反过来意味着，在威廉·伯恩赛德(William Burnside)将表征理论斥为无用的大约100年后，它是可以说是20世纪最著名的证据的关键组成部分。

温斯坦说：“我想不出费马大定理的证明在什么地方不涉及表象理论。”

更正：2020年06月10日本文之前的一个版本没有明确规定，当你排除零时，实数只能在乘法下组成一个群。这篇文章已作了相应的修改。

铅图像：数学家可以更好地理解复杂对象的各个方面，比如这里可视化的李群，通过用更简单的概念来表示它们。推荐人：Jgmoxness