分形几何不是自然界的几何

近年来，分形学的壮丽世界被揭示出来。有些分形图像与自然形态非常相似，以至于伯努瓦·曼德尔布罗特的假设，即分形几何学是自然物体的几何学，已经被科学家和非科学家所接受。本论文批判性地检验了曼德尔布罗特的假说。首先分析了分形的概念。分析表明，分形是无穷无尽的几何过程，而不是几何形式。分形与无理数的比较表明，前者在本体论和认识论上比后者更有问题。因此，本文认为，正确理解分形的概念与将分形结构归结于自然物体是不一致的。此外，从经验上看，所谓的分形图像不符合曼德尔布洛特的假设。承认分形几何可以作为一种有用的粗略近似，但这一事实与自然形态的物理理论无关。

曼德尔布洛特的假设。首先分析了分形的概念。分析表明，

反驳曼德尔布洛特的假设。承认分形几何学是可以使用的。

作为一个有用的粗略近似，但这一事实与。

近年来，分形学的壮丽世界被揭示出来。一些分形。

是如此的伟大，以至于似乎有可能解释这种现象的起源或原因。

“在文献中可以找到不计其数的例子。例如，参见Benoit Mandelbrot(1983)The Fracfal。

“自然几何学”(纽约：W.H.弗里曼)和H.。Peitgen和D.Saupe主编(1988)，“科学”

曼德布洛特在“自然的分形几何”中称这些几何为‘欧几里得’。此名称可能是。

自然形态，著名的形象是目前它所能提供的一切。这就是。

在这样的基础上，人们不能非常明确地定义哪些类型的问题可能会有趣。

基于各种模型，并将结果相互比较，并与现实世界进行比较。

曼德尔布洛特的假设。他似乎也相信它有潜力成为。

他称之为“分形物理学”。6本论文批判性地考察了这两种情况。

卡达诺夫认为，分形物理学正在等待诞生。让我做得更多。

很精确。曼德尔布洛特的假设是，在空间中可以找到分形

混沌系统)。我想争辩说，这个假设在空间上基本上是错误的。

有关科学家对这一问题的看法的一个例子，见R.F.Voss和M.F.Barnsley在。

曼德尔布罗特假说的使用见于拉里·肖特(1991)的“分形图像的美学价值”，

“英国美学杂志”31,342。肖特认为自然界有一个微不足道的分形几何。在这件事上，他。

遵循曼德尔布洛特在Benoit Mandelbrot(1981)的“定标限制和定标形状：一个有用的”一书中的观点。

视觉艺术和自然科学的区别，莱昂纳多14，45。

4H。尤尔根斯，H。Peitgen和D.Saupe(1990)“分形的语言”，科学5c美国版263，

利奥·P·卡达诺夫(Leo P.Kadanoff)，(1986)“分形：物理学在哪里”。T‘，物理至&；y，2月6日，引述自

使用具有时间元素的分形，因为它们嵌入在相空间中。

弄错了。它是以所谓的分形图像为基础的。但其中一些会产生。

在某些情况下可用作自然空间形式的有用近似值。但是，如果它。

原则，不应将后者的性质视为前者的标志。

曼德尔布洛特首创的“分形”这个名字表示一种几何形状，这与“分形”没有什么不同。

“行”。分形的概念不能用诸如以下的基本概念来定义。

从某种意义上说，分形本身就是一种几何类型，与。

实体7这组分形可以分成几个族。就像这组线一样。

‘有关此几何体的详细信息，请参阅K.Falconer(1990)Fractal Geometry(New York：Wiley)。

由于曼德尔布洛特的假设涉及到所有种类的分形，所以分形的概念。

线条的定义很难把握，因为纯粹的长度没有宽度和深度。

一条线作为一个极限概念。掌握分形要困难得多。为了。

出于下面给出的原因，我选择定义分形，或者查看必要的和。

还不是一个普遍接受的分形一般概念的定义。然而，

分形，只要它符合这个普遍的协议，但一个人是有义务的。

对于有限复杂的形式，即具有有限数量细节的形式，比

只要它们的复杂性是有限的。它特别重要的是在非常有限的范围内。

分形几何定义中使用的小尺度。另一方面，非分形。

*有关各种类型的讨论，请参阅Falconer，Fractal Geometry；Peitgen和Saupe，The Science。

细节的概念不是原始的，似乎可以归结为非分形几何的概念。

‘“在选择这个定义时，我大体上同意曼德尔布罗特的观点。这相当于他对。

分形，作为分形维数大于其拓扑维数的一种形式；参见Mandelbrot，The。

营养学的分形几何学，pp。15和361以上。我觉得“无限复杂”这个词更具指示性。

分形的本质。有关各种分形维数的介绍和解释，请参阅

例如，《分形几何》中的福尔科纳选择将分形定义为维特根斯坦家族。

‘*特别是在各种分形维数的定义中；参见Falconer，Fracfal Geometry，pp。

只能用于分析有限复杂的表单。出于这些原因，我更喜欢。

分形的特征。从表面上看，如果一个表单有无限多个细节，那么它的规范就是。

当然，实际上，只有在有限时间之后获得的有限数量的数据才能。

将会被呈现。这样得到的图像不是分形，而是一个中间阶段。

在通往分形的无限路径上。无论流程是否被视为。

“头”是可以得到的，但这些单独属于与整体不同的类别，

“尾巴”的本体地位是现实主义与反现实主义的核心问题。

辩论。人们可以通过提到无理数的名字来指代它，例如‘D2’，

‘rc’或‘e’，从这个意义上说，它与某个实体有关。另一方面，这些。

由无限长的随机数字序列组成。这个子集越大。

无论是否可以指定，数字都存在。无法指定数字。

“这个定义不是循环的，尽管乍一看似乎是这样。同意，分形几何学是。

为分析预先已知的表单而开发的(尽管不是通过名称。

“分形”(Fractals)，曼德尔布洛特(Mandelbrot)首创)。但是，一旦给定了几何图形，就可以将其属性用于

与分形的类比很有启发性。一方面，人们可以指的是某些。

提到他们的名字，比如“曼德尔布洛特集”或“冯·科赫”

曲线‘。另一方面，生成描述这些实体的数字数据。

与无理数的逻辑相同，第二个子集更大。

与无理数的情况一样，第一个子集的分形可以通过。

直截了当。即使在这种间接模式下，也不能引用随机子集的分形。

无理数。事实是，分形首先也是最重要的，是一种几何。

在空间中，无论它是真实的还是虚构的，欧几里得的还是其他的，以及任何数量的维度。

因此，它被认为是同时存在的。无理数可以认为是无理数。

希腊人通过它的表述发现了2的平方根的无理性。

作为单位正方形的对角线。然而，当检查分形时，人们面对的是一个实体。

即，一方面生成几何对象，另一方面，生成。

通过一个基本上没完没了的过程。不可能一下子把所有的东西都类比地呈现出来。

这些事实并不构成困难。分形同时存在于思想领域。

通向分形的中间阶段可以说是同时存在的，但是这些，

时间和地点，而不是在柏拉图式的思想领域。根据难以捉摸的性质

在分形中，已经很难理解为什么有人会说自然物体。

柏拉图主义。参见R.Penrose(1989)“皇帝的新思想”(纽约：牛津大学出版社)，第页。

“柏拉图主义在分形地位方面的优势可以用来作为。

柏拉图主义。然而，这也不是彭罗斯在“皇帝的新思想”中的论点。

事实上，我现在要争辩说，作为一个经验性的事实，没有理由。

假设自然物体有分形几何。曼德尔布洛特的假说建立在。

与分形有关。由于这个原因，我不把这些图像称为‘分形图像’，

当你说这样的形式类似于自然形式时，你并不涉及

分形算法的无限远程输出，但输出到前面的图像。

眼睛。那幅图像不是分形，因为它的复杂性是有限的。它是一种中间体。

在通往分形的道路上走上舞台。有几个分形族，其特征是。

模仿的成功对于每个家庭来说是不同的，因为它与。

就是这样。第一类是L-系统。这些是植物发育的模型，

因此也可以用来合成逼真的植物图像。“。它们的变体。

系统可以用作生成自仿射类型(To)的分形的算法。

为了飞蛾的成长。“。此方法生成的表单的定义包括

‘%ee P.Prusinkiewicz和J.Hanan(1989)Lindenmayer系统，分形与植物，课堂讲稿。

见Peitgen和Saupe，“分形图像的科学”，第114页后第16~和16d版。

有关电解的模型，见福尔科纳著，“分形几何”，第p页。267-272。可以看到蛾子的生长。

转化成已知的有机形态模式。*‘复杂的朱莉娅和曼德尔布洛特集。

事实上，它们可以被视为通向分形的中间阶段。事实上，

参见C.A.Pickover(1986)的“生物形态：生物形态的计算机显示”(1986年)。

“数学反馈循环”、“计算机图形论坛”(3美元13)和A.K.杜尼(1989)的“计算机”。

*“比较Pickover第314页和315页图片的不同比例。‘生物形态：计算机

参见Peitgen和Saupe，第114页之后的“分形图像、封面和彩板的科学”。

有限尺度上的自仿射(或自相似)。难怪，那么，

与自然相似，因为它们是在分形的道路上的阶段，而不是在尖顶上。

自我亲和力的一个范例是有限元的形象。一小部分。

破坏了自然的印象。为了比较真实蕨类和分形中的细小。

缩放时，需要放大。分形的放大不是使用辅助工具完成的。

关于放大镜，因为这样的动作会暴露纸张的细节或。

通过在整个页面上绘制原始图像的一部分来完成。是不是结果

有真正的放大效果，用放大镜观察蕨类，

或接近物体。但事实并非如此。就天然蕨类而言，人们可以。

很少有蕨类植物是自仿射的鳞片。但是关于分形蕨类，这是。

不可能，因为所有的比例看起来都是一样的。我们不知道自己是不是在观察。

一厘米或一埃的刻度。没错，这就是自我亲和力的效果。

但是，这并不是一种自然的效果。因此，所谓的分形图像。

与蕨类相似是因为它们的复杂性是有限的，因为它们是自仿射的。

只有有限数量的音阶。换句话说，它们与应有的自然形态相似。

这一事实肯定没有逃过曼德尔布罗特和他的支持者的眼睛。

23例如，见Peitgen and Saupe，the Science of Fractal Image，第32页，p‘之后。114.。

这些图像是用来描绘风景的。“。在每幅图像中，无论它们是。

看得见。最大的可见比例在统计上是无效的，因为人们只能看到较小的。

它的一部分，比如一座山。中等的鳞片，其中只有几个是。

图像的图像。更小的比例是不可见的，因此对。

在离地面一毫米的空中，这一景观看起来就像是从。

由于它们的有限复杂性，即由于它们不是分形。其他所谓的分形

A5这类景观的例子可以在前面的佩特根和索普，Fracrul Image的科学中找到。

第114页之后的封底和彩板，J.Feder(1988)Fractals(纽约：正压送纸出版社)，

彩色盘子。有关可以生成分形的统计自相似算法的讨论，请参见。

26例如，在曼德尔布洛特，自然的分形地质雕像，在第C9页的彩板上，“月亮”是。

分维为2.2，地球为2.5。正确选择尺寸的作用和过程。

可以在Peitgen and Saupe，the Science of Fractal Image，彩色图板11-13和Mandelbrot，

“自然界的分形几何”，pp。264-267和C14号牌。改变随机函数的效果。

‘*曼德尔布罗特最后一部分的照片，自然的分形几何，证实了这一点

自然，或者说根本就不是分形。因此，经验数据不能证实。

同意，没有一种自然形式实际上是分形，这一事实不需要阻止人们。

分形是分形的近似值，在同样的意义上，绘制的直线是。

将近似分形称为“分形”，其意义与将近似分形称为“分形”的意义相同。

行‘行’，同时记住一个人的头脑中的近似值？按顺序。

为了回答这一反对意见，让我们看看如何进行这样的近似。

物理空间到抽象空间的某一点，具有一定的适用性和方便性。

几何体和坐标系。自然形态是天选中的几何形态。

自然对象要映射到抽象空间，在该抽象空间中，它被归于。

由此得到的不是自然物体的自然形态，而是抽象的几何形态。

抽象空间中的形式，以对象为基础，添加了无限多的细节。

当对象的最小细节小于它时，它可能会被证明是有用的。

事实证明，这很方便，因为它能够描述形式的一般特征。

适用于自然形态的。为了方便起见，可以将其应用于。

29自然形式概念的这种表述并非没有问题，但目前已经足够了。

参见汉斯·赖欣巴赫(1957)“时空哲学”

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