拉普拉斯逆变换过程的突破

在科学文献中发表了许多拉普拉斯逆变换过程。这些过程在某些点对已知的拉普拉斯变换表达式求值，以近似在给定点的拉普拉斯变换的逆。

有一类方法，Abate-Whitt框架，其中拉普拉斯变换总是在相同的点处计算，与拉普拉斯变换的形式无关。Abate-Whitt方法，特别是Euler方法和Gaver方法，是非常流行和广泛使用的方法。我们的新方法，叫做CME，远远优于他们。

当处理概率分布时，CME方法是理想的选择。由于投篮过多和投篮不足的自由行为，它总是产生有效的概率。

假设我们有一个函数\(h\)。它在\(T)处的值可以表示为$$h(T)=\int_0^\infty\Delta(T-t)h(T)\，dt，$$其中\(\δ(T)\)是Dirac Delta函数。根据Abate-Whitt框架，δ(T-t)函数由包含\(n\)项的加权指数和来近似，即$$\Δ(T-t)\近似f_T^n(T)=\frac{1}{T}\sum_{k=1}^n\eta_k e^{-\frac{\beta_k}{T}t}。因此，$$h(T)=\int_0^\infty\Delta(T-t)h(T)\，dt\近似\int_0^\infty\frac{1}{T}\sum_{k=1}^n\eta_k e^{-\frac{\beta_k}{T}t}h(T)\，dt=\frac{1}{T}\sum_{k=1}^n\eta_k h^*。$$其中\(h^*(S)\)是\(h\)的拉普拉斯变换。

我们可以观察到，\(f_T^n(T)\)只是\(f1^n(T)=\sum_{k=1}^n\eta_k e^{-\beta_kt}\)的重新缩放版本。该函数的精确形式在拉普拉斯变换反演中起着非常重要的作用，这也是不同ILT方法的不同之处：Euler、Gaver和CME方法提供了不同的Eta_k系数和β_k指数。在Euler和Gaver方法中，获得这些常数的算法相对简单，但得到的(f1^n(T))函数也可以降到负值范围，这可能是反演拉普拉斯变换时产生过拍或欠拍的一个原因。在CME方法的情况下，确定系数是一个复杂的过程，还涉及数值优化步骤。然而，由此得到的(f1^n(T))(即集中矩阵指数分布的密度函数)总是非负的，并且是非常陡峭的(Diracδ函数的一个很好的近似)。此外，系数可以预先计算并存储在文件中，确定它们的复杂性既不会使ILT过程变慢，也不会使实现变得困难。

在下面的文章中，我们发表了一个猜想，在矩阵指数分布类中，余弦平方形式提供了最小的变异系数。这些集中ME分布的参数被确定到31级：[1]Ellteto，T.，S.RáCz和M.Telek。矩阵指数分布的最小变异系数。第二届马德里排队理论会议，西班牙马德里(2006年7月)。2006年。(下载)。

在接下来的一篇论文中，10年后，提出了一种基于数值优化的方法来获得95阶的CME分布参数。基于那么多的结果，我们有可能检查这些趋势。实验证明，CME分布或阶数的平方变异系数小于2/n^2，而Erlang分布的平方变异系数仅为1/n。很明显，非常集中的分布可以被创建为具有相对较少项数的指数函数的混合：[2]I.Horváth、O.Sáfár、M.Telek和B.Zambó。集中矩阵指数分布。欧洲绩效评估研讨会论文集，EPEW，2016年10月。(下载)。

我们认识到这些集中分布可以用来开发一种有效的拉普拉斯逆变换过程。相应的出版物是：[3]Illés Horváth、Zsófia Talyigás和Miklós Telek。一种无正负超调的最优拉普拉斯逆变换方法--基于积分的解释。理论计算机科学电子笔记，337：87--104,2018。第九届随机建模实际应用国际研讨会(PASM)论文集。(下载)

下一步是找到一种有效的算法来确定任何大阶(大于95)的CME分布的系数。这个算法已经发表在：[4]Gábor Horváth，Illés Horváth，Miklós Telek上。高阶集中矩阵指数分布。随机模型，2019年出版。(doi：https://doi.org/10.1080/15326349.2019.1702058)。

最后，在2019年，我们已经将所有的部件组合在一起，并在[5]Illés Horváth、Gábor Horváth、Salah Al-Deen Almousa和Miklós Telek中发布了整个过程以及对其属性的分析。利用集中矩阵指数分布的数值反拉普拉斯变换。绩效评估，2019年出版(doi：https://doi.org/10.1016/j.peva.2019.102067)。

如对方法或实现有任何疑问，请随时与我们联系：

该过程在数学、Matlab和IPython环境中的实现可从GitHub资源库下载。有一个单独的文件(iltcme.json)包含预计算出的CME分布参数。所有三种实现都在第一次加载此文件，并将其用于拉普拉斯逆变换。

数学实现还支持任意精度计算。笔记本中包含的演示演示了Gaver方法从提高精度中获益有多大，但在我们测试的所有功能中，机器精度的CME仍然是最好的。

在下面的演示中，您可以使用CME方法。您可以逆Laplace变换我们的测试函数之一，也可以是您自己的函数(表达式中还允许使用矩阵和复数，语法参见mathjs.org)。

该实现是标准的Javascript，结果由您的浏览器使用机器精度算法动态计算。如果要从比较中排除给定方法，请单击绘图图例。