为什么傅立叶变换如此重要？

$\Beginggroup$每个人在讨论信号处理时都会讨论傅里叶变换。为什么它对信号处理如此重要？它告诉我们关于信号的什么信息？

它是只适用于数字信号处理，还是也适用于模拟信号？

$\结束组$。

$\Begingroup$最近在Math.SE上重新开始了一场关于傅立叶变换的讨论，我认为这个网站上的人们可能会觉得其中一些是值得的，甚至可能想要参与其中。$\endgroup$-Dilip Sarwate。

$\BEGINGROUP$cf.。这个答案有很好的历史背景。傅立叶级数至少可以追溯到托勒密的周天文学。增加更多的偏心率和本轮，类似于给傅立叶级数增加更多的项，就可以解释天空中物体的任何连续运动。$\endgroup$-1菌血症。

这是一个相当广泛的问题，确实很难准确指出为什么傅立叶变换在信号处理中很重要。我们能提供的最简单的答案是，它是一种极其强大的数学工具，允许您在不同的领域查看信号，在不同的领域内，几个困难的问题变得非常容易分析。

它几乎无处不在，几乎在工程和物理科学的每一个领域，都是出于不同的原因，这使得缩小一个原因变得更加困难。我希望，看看它的一些导致它被广泛采用的特性，加上一些实际例子和一点历史，可能会帮助人们理解它的重要性。

要理解傅立叶变换的重要性，重要的是退一步，欣赏约瑟夫·傅立叶提出的傅立叶级数的威力。在坚果壳中，区域$\mathcal{D}=[-\pi，\pi]$上的任何周期函数$g(X)$可积可表示为正弦和余弦的无穷和

$e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$.。函数可以分解为其组成频率(即所有频率的正弦和余弦)的想法非常强大，并构成了傅立叶变换的主干。

傅里叶变换可以看作是上述傅里叶级数到非周期函数的扩展。为完整和清楚起见，我将在这里定义傅里叶变换。如果$x(T)$是连续的可积信号，则其傅立叶变换$X(F)$由下式给出。

首先，也是最重要的，信号的傅里叶变换告诉您信号中存在的频率和比例。

例如：你有没有注意到，当你在通话过程中按下每个号码键时，每个数字键的声音都不同，而且每个型号的电话听起来都是一样的？这是因为它们每个都由两个不同的正弦组成，这两个正弦可以用来唯一地识别按钮。当你用手机输入组合来导航菜单时，对方知道你按了什么键的方式是通过对输入进行傅立叶变换并查看存在的频率。

除了一些非常有用的基本性质使所涉及的数学变得简单之外，它在信号处理中具有如此广泛的重要性的其他一些原因是：

傅立叶变换的幅值平方，$\vert X(F)\vert^2$立即告诉我们信号$x(T)$在特定频率$f$有多少功率。

根据Parseval定理(更一般的Plancherel定理)，我们有$$int_\mathbb{R}\vert x(T)\vert^2\dt=int_\mathbb{R}\vert X(F)\vert^2\df$$，这意味着信号中所有时间的总能量等于所有频率上变换的总能量。因此，变换是能量守恒的。

时域中的卷积等价于频域中的乘法，即给定两个信号$x(T)$和$y(T)$，则如果

对于离散信号，随着高效FFT算法的发展，几乎总是在频域实现卷积运算比在时域实现卷积运算更快。

与卷积运算类似，互相关也很容易在频域实现为$Z(F)=X(F)^*Y(F)$，其中$^*$表示复共轭。

通过能够将信号分割成它们的组成频率，人们可以很容易地通过取消它们的贡献来选择性地屏蔽某些频率。

例句：如果你是一个足球迷，你可能会对2010年南非世界杯期间持续不断的呜呜祖拉声感到恼火，这种嗡嗡声几乎淹没了所有的评论。然而，呜呜祖拉拥有~235 Hz的恒定音调，这使得广播公司很容易实施陷波滤波器来切断令人不快的噪音。[1]。

时域中的移位(延迟)信号表现为频域中的相变。虽然这属于基本属性类别，但这是实践中广泛使用的属性，特别是在成像和层析成像应用中，

当波在非均匀介质中传播时，它会根据波在介质中传播速度的变化而减速和提速。因此，通过观察预期和测量到的相位变化，可以推断出多余的时间延迟，进而告诉你介质中的波速发生了多大变化。当然，这是一个非常简单的外行解释，但却构成了断层成像的基础。

傅立叶变换理论适用于信号是连续的还是离散的，只要它是好的并且是绝对可积的。所以，是的，只要信号满足这个标准，ASP就使用傅里叶变换。然而，在ASP中，可能更常见的是讨论拉普拉斯变换，它是一种广义的傅立叶变换。拉普拉斯变换定义为。

优点是不一定像傅立叶变换那样局限于良好的信号，但变换仅在特定的收敛区域内有效。它被广泛用于研究/分析/设计LC/RC/LCR电路，而这些电路又用于收音机/电吉他、瓦瓦踏板等。

这几乎是我现在所能想到的全部，但是请注意，再多的写作/解释也不能完全捕捉到傅立叶变换在信号处理和科学/工程中的真正重要性。

$\结束组$。

$\BEGINGROUP$给出了一些使用FT及其性质的现实世界应用的很好的答案。+1.$\endgroup$-1黄金均值。

我并没有说傅立叶变换是第一个，只是说它很强大。请注意，泰勒级数并不是组成频率的展开式。例如，$\sin(\alphax)$的泰勒级数约$$是$\alphax-\alpha^3x^3/3！+\alpha^5x^5/5！\ldots$，而$\sin(\alphax)$的傅立叶变换是$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$(给定或取一些归一化因子)。后者是正确的频率表示，所以我不确定这里是否适合与泰勒级数进行比较。$\endgroup$-Lorem Ipsum。

$\Begingroup$当我开始阅读此回复时，不知何故，我知道@Yoda在我向下滚动查看它到底是谁之前写下了它=)$\endgroup$-1 phon。

$\Begingroup$详细说明#3：卷积是将滤镜应用于图像时所做的操作，例如平均滤镜或高斯滤镜(虽然您可以对非线性滤镜进行傅立叶变换)。$\endgroup$-1 Jonas。

彼得·K的观点真的很关键。信号可以相对于许多不同的碱基来表示。正弦和余弦是LTI系统的特征函数，所以它们是特殊的。$\endgroup$-nnibot。

$\Begingroup$Lorem Ipsum的伟大答案遗漏了一件事：傅立叶变换将信号分解成组成复数的指数：

简而言之，如果一个系统$H$是线性的，并且是时间不变的，那么它对复指数的响应将是一个具有相同频率但(可能)不同相位的复指数，$\φ$，和振幅$A$，-并且振幅可以是零：

$\结束组$。

$\Begingroup$@Peter K我认为，遵循关于答案(学术)正确性的选择哲学，你的答案应该被整合到由Lorem Ipsum提供的上述答案中，尽管Lorem Ipsum被用户选为96分的答案，但它缺乏这一非常重要的观点。$\endgroup$-1 FAT32。

$\Begingroup$@Peter很抱歉以此请求打扰您，但您是1)版主，2)您的名字与您的波束成形标签一起出现在活动用户列表中。你能给出一个简短的意见吗？Math.SE的这个帖子在这里会不会很受欢迎？我不确定DSP.SE、Math.SE还是EE.SE中哪一个最有可能帮助那个提问者。我正在考虑迁移(作为Math.SE版主我可以做到)。$\endgroup$-Jyrki Lahtonen。

$\egingroup$@peter K.，请重新打开问题，地址是：dsp.stackexchange.com/Questions/37468。我把它修好了。谢谢。$\endgroup$-1罗伊。

$\BEGINGROUP$Peter(为什么有些人可以用@接近，有些人不能？这个选项在哪里？)，似乎有人打开了它。谢谢。$\endgroup$-1罗伊。

由于其线性时间复杂度(具体地说，是FFT的时间复杂度)，它的速度很快(例如，对于卷积很有用)。我会争辩说，如果不是这样，我们很可能会在时域做更多的事情，而在傅立叶域做的更少。

为了给出一个具体的例子说明它是如何工作的，假设您将两个多项式相乘，$a_0x^0+a_1x^1+\ldots+a_nx^n$和$b_0x^0+b_1x^1+\ldots+b_nx^n$。

如果您要幼稚地执行此操作(使用箔片方法)，您将需要大约$n^2$算术运算(给定或取一个常数因子)。

然而，我们可以做一个看似平凡的观察：为了将两个多项式相乘，我们不需要压制系数。取而代之的是，我们可以简单地在(足够的)点数处计算多项式，对评估的值进行逐点相乘，然后进行插值以返回结果。

这有什么用呢？毕竟，每个多项式都有$n$项，如果我们用$2n$点来计算每个多项式，仍然会导致$\\约n^2$运算，所以它似乎没有什么帮助。

但是，如果我们做得正确，它就会发生！如果我们在正确的点上求值，那么一次在多个点上计算一个多项式比在这些点上单独求值要快。正确的分数是什么？

事实证明，这些都是团结的根源(即所有复数$z$，使得$z^n=1$)。如果我们选择在单位根处计算多项式，那么很多表达式都将是相同的(因为许多单项式将被证明是相同的)。这意味着我们可以只做一次他们的算术，然后重复使用它来计算所有其他点的多项式。

我们可以做一个非常类似的过程，通过点的插值，得到结果的多项式系数，只需使用单位根的倒数。

这里显然跳过了很多数学运算，但实际上，FFT基本上就是我刚才描述的算法，用来计算和插值多项式。正如我所展示的，它的用途之一是用比正常少得多的时间来乘多项式。结果证明，这节省了大量的工作，将运行时间降低到与$n\logn$成正比(即线性)，而不是$n^2$(二次)。

因此，能够使用快速傅立叶变换来执行一个典型的运算(如多项式乘法)要快得多是什么使它有用，这也是为什么人们现在对麻省理工学院稀疏快速傅立叶变换算法的新发现感到兴奋。

$\结束组$。

$\Beginggroup$什么是线性时间复杂度？我不会否决这个答案，但我不认为它会给这个关于傅立叶变换的讨论增加任何有价值的东西。$\endgroup$-Dilip Sarwate。

$\egingroup$@DilipSarwate我怀疑他在用它作为O(n*log(N))的简写。$\endgroup$-1吉姆·克莱。

$\Begingroup$@DilipSarwate：吉姆是对的。它与(离散的)傅立叶变换有关。如果没有FFT，您的傅立叶变换将花费与输入大小的平方成比例的时间，这将使它们的用处大大降低。但是使用FFT，它们花费的时间与输入的大小成比例(乘以其对数)，这使得它们更有用，这加快了大量计算的速度。另外，这可能是一本有趣的读物。$\endgroup$-n用户541686。

$\BEGINGROUP$您应该提到为什么它很快。它的速度在哪里，我们为什么要关心它的速度？$\endgroup$-1Cyberman。

$\BEGINGROUP$我认为这个答案是合理的。应该解释一下，除了其他人的回答中解释的所有好的特性之外，FFT还允许它成为实时应用程序中的一种可行的方法。$\endgroup$--Andrey Rubshtein。

除了彼得的答案之外，还有另一个原因也与本征函数有关。$e^{kx}$是微分算子$\frac{d^n}{dx^n}$的本征函数。这就是为什么可以使用傅立叶变换(对应于纯虚数$k$)和拉普拉斯变换(对应于复数$k$)来求解微分方程。

由于$e^{kx}$是卷积算子和微分算子的特征函数，这可能是LSIV系统可以用微分方程表示的原因之一。

编辑：事实上，微分(和积分)运算符都是LSIV运算符，请看这里。

$\结束组$。

$\Begingroup$本帖子中的其他一些答案对傅立叶变换的定义和性质进行了很好的数学讨论；作为一名音频程序员，我只想提供我个人的直觉，说明为什么它对我很重要。

傅立叶变换使我能够回答有关声音的问题，这些问题很难或不可能用其他方法来回答。它使难题变得容易。

录音包含一套三个音符。音符是什么？如果随着时间的推移将录音保留为一组振幅，这不是一个容易的问题。如果你随着时间的推移将录音转换成一组频率，这真的很容易。

我想改变录音的音高而不改变其持续时间。我该怎么做呢？这是可能的，但不容易做到，仅仅通过操纵输入信号的幅度。但是，如果你知道构成信号的频率，那就很容易了。

这段录音是包含语音还是包含音乐？仅使用基于振幅的方法很难做到这一点。但是，基于傅立叶变换及其族，几乎所有时候都有很好的解决方案可以猜测出正确的答案。

几乎每一个你想问的关于数字录音的问题都可以通过使用离散版本的傅立叶变换来变换录音而变得更容易。

实际上，每个现代数字音频设备都严重依赖于与傅里叶变换非常相似的功能。

再说一次，请原谅高度非正式的描述；这只是我个人关于为什么傅立叶变换很重要的直觉。

$\结束组$。

$\Beginggroup$嗨，约翰，我有一个愚蠢的问题。我想计算TWA(osha.gov/pls/oshaweb/…)。从我们在工作场所录制的声音来看，如果我在分析音频文件时使用傅立叶变换，我想知道是否可以更精确地测量这个值。$\endgroup$-侯赛因·萨沙尔。

$\Beginggroup$除非已校准麦克风和录音环境，否则不会。$\endgroup$-1 johnwbyrd。

$\BEGINGROUP$其他人给出了很好的、有用的答案。只要想一想一些信号：你只关心它的频率(和它们的相位)，而不是时域。我不知道这是最终的还是完整的答案，但这只是傅立叶变换有用的另一个原因。

当你有一些信号时，它可以由无限(或接近)的频率组成，这取决于你的采样率。但是，事实并非如此：我们知道大多数信号的频率是最少的，或者我们正在以足够高的速率进行采样。

如果我们知道这一点，为什么我们不能使用它呢？这就是压缩传感领域所做的事情。他们知道最有可能的信号是误差最小、频率最低的信号。因此，它们将相对于我们的测量和傅里叶变换的幅度的总体误差最小化。

几个频率的信号通常有一个最小的傅立叶变换，或者大部分是零(也就是他们在压缩感测中所说的稀疏)。例如，一个频率的信号仅具有作为变换的增量函数。

在这里，我们要做的就是最小化误差(第一组$||\cdot||$)和最小化傅立叶变换(第二组$||\cdot||$)。在这里，我们有。

你可能还记得奈奎斯特说过，你必须以两倍的最高频率测量，才能获得良好的表现。这是假设你的信号中有无限的频率。我们可以渡过这个难关的！

压缩感测领域可以重构在某些域中大部分为零(或稀疏)的任何信号。嗯，这就是傅立叶变换的情况。

$\结束组$。

傅立叶变换的主要意义在于系统分析。我们宇宙的主要成分是真空，真空是场的基本线性和时不变的载体：不同的场通过将各自的矢量相加而叠加，无论你何时重复某些场的应用，结果都是一样的。

因此，许多也涉及物理物质的系统在很好的近似下表现为线性的、时不变的系统。

这样的LTI系统可以用它们的脉冲响应来描述，而对任何时间分布的信号的响应都可以通过将信号与脉冲响应卷积来描述。

卷积是一种交换和结合运算，但在计算和概念上也相当昂贵。然而，函数的卷积通过傅里叶变换映射成分段乘法。

这意味着，经过傅立叶变换后，线性时不变系统及其组合的性质得到了更好的描述和处理。

因此，像频率响应这样的东西对于描述许多系统的行为是很有特色的，并且变得对描述它们很有用。

快速傅立叶变换与傅立叶变换几乎但不完全不同，因为它们的结果并不能真正合理地解释为傅立叶变换，尽管它们在理论上是坚定的。只有在讨论具有变换间隔周期的采样信号时，它们才完全对应于傅立叶变换。特别是，周期性标准几乎总是不能满足。

有几种技术可以解决这个问题，比如使用重叠窗口函数。

然而，FFT在做正确的事情时可以用来做离散时间卷积，而且它是一种有效的算法，使得它在很多事情上都是有用的。

人们还可以将基本的FFT算法用于数论变换(它在离散数域而不是复杂的实数域中工作)，以便进行快速卷积，就像乘以大数或多项式一样。在这种情况下，基本上对于任何输入，频域和白噪声都是无法区分的，并且在您这样做之前没有有用的解释。

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