在禁闭期间，数学家们破解了一个顽固的几何谜语

3月中旬，数学家约书亚·格林(Joshua Greene)和安德鲁·洛布(Andrew Lobb)发现自己也处于同样的境地：当新冠肺炎疫情在门外蔓延时，他们被封锁并努力调整。他们决定全身心地投入到研究中来应对。

波士顿学院教授格林说：“我认为这场大流行确实是一种激励。”“我们每个人都认为最好依靠一些合作来维持我们。”

原始故事经广达杂志许可转载，广达杂志是西蒙斯基金会的一份编辑独立的出版物，其使命是通过报道数学以及物理和生命科学的研究发展和趋势来增强公众对科学的理解。

这两个朋友看的其中一个问题是一个百年几何悬而未决的问题的版本。

华盛顿和李大学的伊丽莎白·丹恩说：“这个问题很容易陈述，也很容易理解，但它真的很难。”

它开始于一个闭合的环-任何类型的曲线路径，在它开始的地方结束。Greene和Lobb研究的问题基本上预测，每条这样的路径都包含四个点的集合，这些点形成了任何所需比例的矩形的顶点。

虽然这个“矩形钉子问题”看起来像是高中几何学生可能会用尺子和指南针解决的问题，但它几十年来一直抵制着数学家们的最大努力。当格林和罗布着手解决这个问题时，他们没有任何特别的理由期待自己会过得更好。

格林说，在他从事的所有不同项目中，“我认为这可能是前景最暗淡的一个。”

但随着疫情的激增，在英国达勒姆大学(Durham University)和冲绳科学技术研究所(Okinawa Institute Of Science And Technology)工作的格林和洛布每周都会举行Zoom电话会议，并迅速获得了一连串的见解。然后，在5月19日，当世界部分地区刚刚开始重新开放时，他们以自己的方式出现，并发布了解决方案。

他们的最终证明-表明预测的矩形确实存在-将问题转移到一个全新的几何环境中。在这里，这个顽固的问题很容易产生。

布朗大学的理查德·施瓦茨说：“这有点奇怪。”“这正是解决这个问题的正确想法。”

矩形钉住问题是德国数学家奥托·托普利茨(Otto Toeplitz)在1911年提出的一个问题的密切分支。他预测，任何闭合的曲线都包含四个可以连接成正方形的点。他的“钉住方块的问题”仍然没有解决。

格林说：“这是一个没有人能够解决的老问题。”

要理解这个问题为什么这么难，重要的是要了解正方形钉问题所涉及的曲线类型，这对格林和洛布的证明也很重要。

这对解决了闭合曲线既连续又光滑的问题。连续意味着他们没有休息时间。平滑意味着它们也没有拐角。如果你拿着纸和笔坐下来，你可能会画出光滑、连续的曲线。格林说，它们“更容易拿到”。

光滑、连续的曲线与仅仅是连续但不平滑的曲线形成对比--托普利茨的方形钉子猜想中的特征曲线类型。这种类型的曲线可以有拐角-它们突然转向不同方向的地方。有很多角的曲线的一个突出例子是分形的科赫雪花，它实际上是由角组成的。科赫雪花和其他类似的曲线不能用微积分和相关方法进行分析，这一事实使它们特别难研究。

但是，格林和洛布解决的问题涉及平滑的曲线，因此是连续的。他们没有确定这样的曲线是否总是有四个点组成一个正方形-这个问题在1929年被解决了，用于平滑、连续的曲线-他们调查了这样的曲线是否总是有四个点组成的矩形，所有的“长宽比”，也就是它们的边长比。正方形的纵横比是1：1，而许多高清电视的纵横比是16：9。

矩形钉子问题的第一个重大进展是在20世纪70年代末赫伯特·沃恩(Herbert Vaughan)的一个证明中取得的。这一证明开启了一种思考矩形几何的新方法，并建立了许多数学家，包括格林和罗布，后来都采用了这些方法。

“每个人都知道这个证据，”格林说。“这是一种民间传说，也是你在休息室周围的午餐桌讨论中学到的东西。”

沃恩没有把一个矩形看作是四个连通的点，而是把它看作彼此有特殊关系的两对点。

设想一个矩形，其顶点从左上角开始顺时针标记为ABCD。在该矩形中，点对AC之间的距离(沿矩形的对角线)与点对BD之间的距离(沿另一对角线)相同。这两条直线段也在其中点处相交。

因此，如果您正在寻找闭合环上的矩形，一种追逐它们的方法是在其上寻找共享此属性的点对：它们形成具有相同中点的等长线段。要找到它们，重要的是要想出一个系统的方式来思考它们。

为了理解这意味着什么，让我们从更简单的东西开始。请走标准号码线。在上面选取两个点(例如数字7和8)，并将它们绘制为XY平面(7，8)中的一个点。也允许成对的相同点(7，7)。现在考虑可以从数字行中提取的所有可能的数字对(很多！)。如果要绘制所有这些点对，您需要填充整个二维xy平面。另一种表述方式是说XY平面“参数化”或有序地收集数字线上的所有点对。

沃恩对闭合曲线上的点对做了类似的事情。(就像数字线一样，它是一维的，只是它本身也是曲线。)。他意识到，如果你从曲线上取几对点并绘制它们-而不担心哪个点是x坐标，哪个点是y坐标-你就得不到平面xy平面。相反，你会得到一个令人惊讶的形状：莫比乌斯带，这是一个只有一边的二维表面。

在某种程度上，这是有意义的。要了解原因，请拾取曲线上的一对点并将其标记为x和y。现在，沿着曲线的一条圆弧从x移动到y，同时沿曲线的互补圆弧从y移动到x。在执行此操作时，您将移动曲线上的所有点对，以无序对(x，y)开始和结束。但是当你这样做的时候，你会回到你开始的地方，只是你的方向发生了翻转。这个由无序点组成的方向翻转环构成了莫比乌斯带的核心。

这个莫比乌斯条带为数学家提供了一个新的对象来分析，以解决矩形钉问题。沃恩用这一事实证明了每条这样的曲线至少包含四个形成矩形的点。

格林和洛布的证据建立在沃恩的工作基础上。但它也结合了几个额外的结果，其中一些是最近才有的。最终的证明就像一台精密的仪器，它恰好有正确的想法组合来产生他们想要的结果。

他们证据的首批重要成分之一出现在2019年11月，当时普林斯顿大学研究生科尔·胡格尔迈尔(Cole Hugelmeyer)发表了一篇论文，介绍了一种分析沃恩的莫比乌斯条带的新方法。这项工作涉及到一个称为嵌入的数学过程，在这个过程中，你把一个物体移植到一个几何空间中。格林和罗布最终将采用休梅尔的技术，并将其转移到另一个几何空间。但是要看他们做了什么，你首先需要知道他做了什么。

从一维线条开始。直线上的每个点都由单个数字定义。现在，将这条线“嵌入”到二维空间中--也就是说，只需将其绘制在平面上即可。

将直线嵌入XY平面后，其上的每个点将由两个数字定义，即指定该点在平面中确切位置的x和y坐标。给定此设置后，您就可以开始使用二维几何技术分析直线了。

Hugelmeyer的想法是为Möbius带做一些类似的事情，但是把它嵌入四维空间，在那里他可以用四维几何的特征来证明他想要的关于矩形的结果。

“基本上，你得到了你的莫比乌斯带，对于它的每个点，你要给它四个坐标。你在四维空间中给每个点一个地址，“罗布说。

Hugelmeyer创建这些地址的方式被证明对在曲线上找到矩形的总体目标特别有用。与邮寄地址一样，您可以想象他为曲线上的每个点分配一个州、一个城市、一个街道名称和一个街道编号。

为此，他从莫比乌斯带上的一个给定点开始，观察它所代表的原始闭合曲线上的两个点。然后他找到了那对点的中点，并确定了它的x和y坐标。这是四维地址中的前两个值(可以将它们想象为州和市)。

接下来，他测量曲线上两个原始点之间的直线距离。该长度成为四维地址中的第三个值(将其视为街道名称)。最后，他计算了通过两个原始点的直线与x轴相交的角度。该角度成为四维地址中的第四个值(将其视为街道编号)。这四个值有效地告诉您有关曲线上的点对的所有信息。

这个练习可能看起来很复杂，但它很快就给Hugelmeyer带来了红利。他拿起嵌入的莫比乌斯纸条，旋转它，就像你可以想象的那样，在你面前拿着一块木块，把它稍微向左扭动一下。旋转后的莫比乌斯带偏离了原件，因此两个副本相交。(因为旋转是在四维空间进行的，莫比乌斯带的两个副本重叠的确切方式很难想象，但在数学上很容易访问。)。

这个十字路口很关键。在莫比乌斯带的两个副本重叠的地方，您会发现原始闭合曲线上的两对点，它们构成了一个矩形的四个顶点。

首先，请记住，矩形可以被认为是两对共享一个中点并且相距相等的点。这正是分配给嵌入式Möbius条带上每个点的四维地址的前三个值中编码的信息。

其次，可以在四维空间中旋转Möbius条带，这样您只需更改每个点的四坐标地址中的一个坐标-就像更改一个街区上所有房屋的街道编号一样，但保持街道名称、城市和州不变。(对于更具几何性的示例，请考虑将块放在您面前并将其向右移动只会更改其x坐标，而不会更改y和z坐标。)。

Hugelmeyer解释了如何在四维空间中旋转Möbius条带，以便编码成对的点之间的中点的两个坐标保持不变，就像编码成对的点之间的距离的坐标一样。旋转只改变了最后一个坐标，即编码关于点对之间的线段角度的信息的坐标。

因此，莫比乌斯带的旋转副本和原始副本之间的交点正好对应于闭合曲线上的两个不同的点对，这两个点具有相同的中点和相同的距离。也就是说，交点正好对应于曲线上矩形的四个顶点。

这个策略，利用两个空间的交叉点来找到你要找的点，长期以来一直被用在解决正方形和长方形的钉子问题上。

“这些[空间]相交的地方就是你要找的东西的地方，”丹恩说。“所有这些方钉问题史上的证明，很多都有这个想法.”

Hugelmeyer在四维环境中使用了交叉点策略，并比他之前的任何人都从中获得了更多的东西。莫比乌斯带可以旋转0到360度之间的任何角度，他证明了这些旋转中的三分之一会产生原件和旋转后的复制品之间的交集。事实证明，这相当于说在一条闭合曲线上，您可以找到所有可能纵横比为三分之一的矩形。

格林说：“科尔意识到你应该考虑把莫比乌斯带放在四维空间中，并拥有你可以使用的四维技术，这要归功于科尔。”

同时，Hugelmeyer的结果颇具挑衅性：如果四维空间是解决问题的有效方法，为什么它只适用于三分之一的矩形呢？

格林说：“看在上帝的份上，你应该能拿到另外三分之二的钱。”“但是怎么做呢？”

甚至在被大流行封锁之前，格林和洛布就已经对矩形钉子问题感兴趣了。今年2月，洛布在冲绳科学技术学院主持了一次会议，格林出席了会议。两人花了几天时间讨论这个问题。之后，他们在东京观光了一周，继续交谈。

“我们没有停止谈论这个问题，”洛布说。“我们去餐馆、咖啡馆、博物馆，时不时地想一想这个问题。”

即使他们被限制在各自的家中，他们仍继续交谈。他们的希望是证明莫比乌斯带的每一次可能的旋转都会产生一个交点-这相当于证明你可以找到具有所有可能长宽比的矩形。

四月中旬，他们想出了一个策略。它涉及到将条带嵌入到一个特殊版本的四维空间中。使用普通嵌入，您可以随心所欲地放置嵌入对象。考虑一下在二维平面中嵌入一维闭环。可以做到这一点的方法的数量与在表格上放置字符串循环的方法的数量一样是无限的。

但是假设要嵌入循环的二维曲面有一定的结构。例如，想一想一张地图，上面有分层的箭头(称为矢量)，显示地球上每个点的风向和风速。现在，您有了一个二维曲面，每个点都有额外的信息或结构。

然后，您可以限制一维闭环需要嵌入到此地图上，以使其始终遵循嵌入到其上的箭头的方向。

施瓦茨说：“你的限制是，你要试着在这些矢量后面加上一条曲线。”现在放置那一圈绳子的方法要少得多了。

其他类型的几何空间使考虑其他类型的约束成为可能。在格林和洛布的工作中被证明是重要的一个被称为辛空间。

这种类型的几何设置最早出现在19世纪，当时人们研究的是像轨道行星这样的物理系统。当行星在三维空间中运行时，它的位置由三个坐标定义。但爱尔兰数学家威廉·罗文·汉密尔顿(William Rowan Hamilton)观察到，在行星运动的每一点，也有可能放置一个代表行星动量的矢量。

20世纪80年代，数学家弗拉基米尔·阿诺德(Vladimir Arnold)阐述了辛几何的数学研究。他明白，具有辛结构的几何空间比没有这种结构的几何空间更容易在旋转下相交。

这对Greene和Lobb来说是完美的，他们想要通过证明旋转的参数化Möbius带的副本也有很多相交来解决所有纵横比的矩形钉问题。因此，他们开始尝试将二维的莫比乌斯条带嵌入到四维辛空间中。

格林说：“从辛几何的角度看问题，这是一个关键的洞察力。”“这只是游戏规则的改变者。”

到4月下旬，格林和洛布已经确定有可能将莫比乌斯带以符合空间结构的方式嵌入到四维辛空间中。做完这些之后，他们就可以开始使用辛几何的工具了--其中很多都直接涉及到空间如何相交的问题。

“如果你能使[莫比乌斯带]遵循辛规则，你就可以利用一些辛定理，”洛布说。

格林和洛布在这一点上有信心，他们可以改进Hugelmeyer的结果-这意味着他们可以证明超过三分之一的所有旋转都会产生交集。这反过来意味着所有长宽比超过三分之一的矩形可以作为任何闭合曲线上的点找到。

“很明显，一旦我们有了这个想法，就会发生一些事情，”洛布说。

但他们的结果比他们预期的要全面得多，来得也快得多。其原因与一种叫做克莱因瓶子的古怪数学物体有关，在辛几何的背景下，它有一个重要的性质。

克莱因瓶子是一个二维的表面，看起来像一个现代主义的水壶。就像莫比乌斯带一样，它只有一个面，你可以把两个莫比乌斯带粘在一起就可以做一个。正如许多数学家所做的那样，任何你可以制作并放在桌子上的克莱因瓶子都会穿过它自己。没有办法将克莱因瓶子嵌入三维空间，这样它就不会自己相交。

施瓦茨说：“克莱恩的瓶子应该是一个表面，但要想从外到内，手柄必须撞穿瓶子。”

不过，情况并不总是如此。在四维空间中，可以嵌入克莱因瓶子，这样它就不会自己相交。第四个维度提供了额外的回旋余地，使克莱恩瓶子可以避开自己。这类似于两个人在一维线上朝对方走去，但在二维地板上走近对方的两个人可以很容易地转向让路。这与两个人在一条一维线上走向对方的方式类似，但在二维地板上走近对方的两个人可以很容易地转向让路。

今年5月，格林和洛布碰巧记得关于克莱因瓶的一个有趣的事实：它不可能嵌入到四维辛空间中，这样它就不会自己相交。换句话说，不存在不相交的克莱因瓶，它也符合辛空间的特殊规则。这一事实是证据的关键。“这是一颗神奇的子弹，”格林说。

原因如下。Greene和Lobb已经证明了在四维辛空间中以遵循空间规则的方式嵌入Möbius条带是可能的。他们真正想知道的是，莫比乌斯带的每一次旋转是否都与原始副本相交。

嗯，两条相互相交的莫比乌斯带相当于一个克莱因瓶子，它在这种类型的空间中相交。如果你旋转一条莫比乌斯带，这样旋转后的副本不会与原始副本相交，实质上你就产生了一个不相交的克莱因瓶子。但是，在四维辛空间中，这样的克莱因瓶是不可能的。因此，嵌入的莫比乌斯带的每一次可能的旋转也必须自身相交-这意味着每条闭合、平滑的曲线必须包含可以连接的四个点的集合。

..