对数的九个性质：理论和实例

给定实数$x$，初等代数中的挑战之一是将$x$表示为另一个数字$b$的幂(称为基数)。更具体地说，我们感兴趣的是找到一个编号$\Box$，以便：

事实证明，这个问题-至少是目前的粗暴形式-需要首先解决，然后才能进行任何有意义的讨论。例如：

如果基数为负，则其幂不必定义得很清楚(例如，$\displaystyle(-e)^{\frac{1}{2}}$)。

如果基数是$\DisplayStyle 1$，那么它的任何幂都只有$1$，在这种情况下，它不可能生成任何不是$1$的数字。类似的说法也适用于基数等于0美元的情况。

出于这些原因，在权力确定的背景下，习惯上要求基数$b$为正数-这不等于$1$。虽然在这一假设下，任何$b$的幂都必然是正的，但它也会-在这种设置下-任何一个正数都可以以一种独特的方式表示为$b$的幂。也就是说，只要$x$是正数，就会有一个唯一的数字$\Box$(称为指数)，这样：

在这种情况下，我们将简单地将$\Box$称为$x$的对数(以$b$为底)。换句话说，对数基本上是当我们将一个数字表示为幂，然后从这个幂中取指数时发生的事情-它给我们提供了一个数字相对于所讨论的底数的大小。

例如，当我们试图将数字$64$表示为$2$的幂时，得到的结果是$64=2^6$。仅此一项就表明，$6$是$64$-1相对于底数$2$的对数。

就记数法而言，以$b$为底的$x$的对数由$\log_b x$表示，$x$也称为对数的自变量。将$\log_b x$视为函数时，$\log_b x$定义在所有正数上-只要基数$b$有效(即，$0\displaystyle b>；0，b\ne 1$)。

首先，我们首先注意到，无论基本$b$的值是多少，我们总是有：

$\displaystyle\log_b 1=0$(因为$0$是需要增加$b$以产生$1$的数字)。

$\displaystyle\log_b b$=1$(因为$1$是需要增加$b$才能产生$b$的数字)。

$\displaystyle\log_b\frac{1}{b}=-1$(因为$-1$是生成$\displaystyle\frac{1}{b}$所需的数字$b$)。

因为这些结果几乎是立竿见影的，我们将简单地将它们称为平凡的对数恒等式。

此外，由于$\log_b x$代表与$x$成指数的数字，因此根据定义，我们也有：

因为通过检查可以看到，$x$正是指数化为$b^x$的数字。

例如，由于$\displaystyle\log_2 53$是$2$需要增加才能产生$53$的数字，因此我们有$\displaystyle 2^{\log_2 53}=53$。同样，由于$\displaystyle 10^{-\pi}$是$10$的幂，指数为$-\pi$，因此我们可以推断$\displaystyle\log_{10}\Left(10^{-\pi}\right)=-\pi$。

作为指数函数$\displaystyle 10^x$的逆数，以$10为底的对数函数-也称为最常见的对数-通常由$\log_{10}x$、$\log x$或简称$\lg x$表示。常见的对数是我们非常感兴趣的，主要是因为十进制数系统在世界各地的各种文化中都很流行。

请注意，在较早的科学课本和一些高等数学教科书中，$\logx$也可以指(通常是)以$e$为底的自然对数。

在计算数字的常见对数时，通常将对数的十进制表示分为两个部分：整数部分(又名，特征)和小数部分(又名，尾数)。在计算时，通常会将对数的十进制表示分成两部分：整数部分(又名，特征)和小数部分(又名，尾数)。本质上的特征告诉我们，原始数字有多少位数，尾数暗示了这个数字接近其10美元的下一个幂的程度。这些事实使普通对数成为确定异常大(或小)数字的数量级的一个特别方便的工具。

例如，为了计算数字$50！$(即$50\x\cdots\x 1$)的大小，我们继续计算它的对数，结果是：\[\log(50！)\约64.483\]，这意味着$50！\约10^{64.483}=$10^{64}10^{0.483}\约$10^{64}\CDOT3.04$，这意味着$50！$是一个$65$位数，以。尾数$0.483美元揭示了其余的关于数字本身的信息。

把信息带回家吗？没有必要把一个数字全部写出来，就能算出它的大概大小！

作为指数函数$2^x$的逆函数，二进制对数函数$\log_2x$在计算机科学领域中被广泛使用，这主要是因为计算机以位(即以$0$或$1$为可能的值的数字)来存储信息。

与以$10为底的$$中的情况类似，可以使用二进制对数来计算正整数在二进制表示中的位数。此外，二进制对数还被用来计算出一棵二叉树的深度，甚至是某些计算机算法所需的运算量(这属于一个被称为算法时间复杂度的话题)。

在计算机世界之外，音乐理论中也使用二进制对数来概念化音符的高度，这是基于这样的基本观察：将音符提高八度可以使音符的频率增加两倍。在音乐理论中，二进制对数也是用来概念化音符的高度的，这是基于这样的基本观察：将音符提高八度可以使音符的频率增加两倍。因此，通常可以方便地将频率比的二进制对数设想为一个较小的音乐音程。

在一些涉及超越函数更严格发展的教科书中，基数$\displaystyle e$对数函数-也被称为自然对数，$\log_e x$或简称$\ln x$-有时被定义为倒数函数$\frac{1}{x}$与x轴从$1$到$x$之间的面积(因此称为自然)。

在这个定义下，可以证明$\ln x$的逆正好是自然指数函数$e^x$，从而得出自然对数的以下标准定义：

给定正数$x$，则$\ln x$表示需要提高$e$才能变为$x$的数字。

与数字$10$不同-由于十进制的流行，数字$\Displaystyle e$是出人意料地经常出现在各种数学论述中的特殊常量之一-无论选择哪种数字系统。因此，数学家倾向于认为基数$e$比基数$10$更自然-尽管一些杰出的应用科学家和工程师在不同场合提出了不同意见。…。

实际上，为了说明科学界这些新的智力偏见的范围，这里有一个来自维基百科的有趣的描述，内容是关于对数符号的历史发展历史：

因为以10为底的对数对计算最有用，所以工程师通常在表示log10(X)时简单地写下“log(X)”。另一方面，数学家在表示自然对数的loge(X)时写下了“log(X)”。今天，这两种符号都找到了。由于手持式电子计算器是由工程师而不是数学家设计的，所以习惯上它们遵循工程师的记法。因此，根据自然对数的意思写成“ln(X)”的记数法，可能已经被电子计算器这项发明进一步普及了，这项发明使得“普通对数”的使用变得不那么常见。

除了前面介绍的三个最流行的对数函数外，还可以使用其他有效的底数来定义对数。在实践中，通常使用对数的目的是将大数(即大于$1$)压缩成较小的数，因此基数越大，对数就越小。

然而，这只是故事的一部分，因为我们到目前为止遇到的所有对数函数的基数都超过了1美元的数字(即大基数)。事实上，在基数严格在$0$和$1$之间(即小基)的情况下，对数函数的图形会出现倒挂。事实上，与标准对数函数从$-\infty$增加到$\infty$相反，小基数对数函数实际上随着参数的增加从$+\infty$减少到$-\infty$。

幸运的是，在实践中，我们很少需要求助于这种对数函数。正如我们稍后将看到的那样，随着基本规则的改变，每对对数函数几乎相距一个倍数，因此在应用和方程/不等式求解方面，这三个标准对数通常足以让事情继续进行。

由于对数允许将指数标度映射为线性标度，因此当涉及到如何沟通数量可能呈指数级增长或指数级萎缩的数值变量时，它成为一个至关重要的概念。为什么？因为如果我们只取这个变量的对数，我们实际上就是把这个变量变成了人们所说的对数标度。

虽然对数标度似乎是一个高度理论性的概念，但如果采用得当，它可以帮助我们更好地解释/理解自然界中发现的数量惊人的现象。范围从声音的响度、地震的震级到溶液的酸度和音高：

在一架调性相同的钢琴中，钢琴中的每个键都可以被设想为其相对声音频率的二进制对数，这样，每当我们在钢琴上按下更高的键，我们实际上就是将声音频率增加了一个固定的因子($\displaystyle\sqrt[12]{2}$，准确地说是$\displaystyle\sqrt[12]{2}$)。

在化学中，溶液的酸度是用pH来测量的，pH被定义为氢离子浓度的负对数。这基本上意味着，当pH值增加1美元时，氢离子的浓度就会下降10倍，从而导致酸性大大降低。

在地震学中，可以用里氏震级来量化地震的严重程度，里氏震级本质上是地震波振幅(相对于阈值振幅)的对数，因此里氏震级的数字每增加1美元，地震的严重程度就增加10倍。

在声学中，声音的响度通常用分贝(DB)来量化，分贝是1/10的分贝(B)，后者是声功率的对数(相对于听阈)。实际上，这意味着每增加10分贝(相当于1B)，声源的声功率就会增加10倍。

虽然并不是所有的对数刻度都有相同的基数，但人们可以将对数这样的概念-最初是一种纯粹的计算设备-劫持到一个统一的抽象框架中，将自然界中发现的各种看似无关的现象串联在一起，这一事实说明了人类思维的力量，进而说明了数学原理发明和发现之间的细线。

对数在旧时代-在计算机或计算器发明之前-是一种如此强大的计算工具，其原因之一在于，人们总是可以利用对数的某些性质来减少与其个别成分相关的复杂论点-而且这样做与所讨论的基数无关。在过去，对数是一种强大的计算工具，在计算机或计算器发明之前，人们总是可以利用对数的某些性质来减少与其个别成分相关的复杂论点。在下面，我们将列出五个这样的性质，它们分别与对数的乘积、倒数、商数、幂函数和平方根有关。

给定乘积$xy$和底数$b$，我们能找到关于$x$和$y$对数的$xy$的对数吗？结果是，答案完全是肯定的，稍微检查一下就会发现$\logx+\logy$就是我们要找的数字。怎么会这样？因为这是需要增加$b$才能达到$xy$的数字：

这一事实-乘积的对数可以归结为其成分的对数和-产生了通常被称为乘积规则的性质。

特别是，当基数为$10$时，Product Rule可以转换为以下语句：

例如，要测量类似$365435\cdot 43223$这样的数字的近似大小，我们可以采用常见的对数，然后应用乘积规则，得出以下结果：

\BEGIN{ALIGN*}\LOG(365435\cdot 43223)&；=\LOG 365435+\LOG 43223\\&；\约5.56+4.63\\&；=10.19\END{ALIGN*}。

这表明$\DISPLAY STYLE$365435\cdot 43223$是一个接近$\DISPLAY STYLE$10^{10.19}$\约为$1.55(10^{10})$的数字。

仅在满足前提条件时应用产品规则。例如，我们不能做的一件事是将$9$分解为$-1$和$-9$，并声称$\ln 9=\ln(-1)+n\ln(-9)$。

因为等式在默认情况下是双向的，所以我们也可以从右到右使用它，而不是使用从左到左的乘积规则来破坏乘积，从而将对数和转化为乘积。例如：

\BEGIN{ALIGN*}\LOG 25+\LOG 4=\LOG(25\CDOT 4)=\LOG 100=2\END{ALIGN*}。

然而，不利的一面是，由于对数默认情况下只将正数作为参数，因此将对数及其属性应用于函数或方程可能会显著限制其可行性范围。例如，虽然函数$x^2$定义在所有实数上，但一旦我们取对数并应用乘积规则，所产生的等式仍然适用-但现在仅适用于正数：

这很好地提醒人们，任何基于对数的代数技术-无论是求解对数方程、求解对数不等式还是对数微分-都应该考虑到这一潜在的限制。

我们知道每个正数都有一个乘法倒数(即倒数)，那么或许也有一条求倒数的对数的捷径？在这一点上，答案又是响亮的是肯定的。要了解原因，假设给我们一个正数$x$，那么根据Product Rule，我们有：

\BEGIN{ALIGN*}\LOG\LEFT(x\\CDOT)\FRAC{1}{x}\RIGHT)&；=\LOG x+\LOG\LEFT(\FRAC{1}{x}\RIGHT)\END{ALIGN*}。

惊喜！我们刚刚发现了倒数法则，即要找出倒数的对数，我们只需将原数的对数取反即可。

因此，我们不必从头开始计算$\displaystyle\frac{1}{512}$的二进制对数，而是转过头来执行以下操作：

现在乘积规则和倒数规则都已就绪，让我们看看将它们应用于正数$x$和$y$的商会发生什么情况：

\BEGIN{ALIGN*}\log\Left(\frac{x}{y}\Right)&；=\log\Left(x\cot\frac{1}{y}\Right)\\&；=\log x+\log\Left(\frac{1}{y}\Right)\\&；=\log x-\log y\end{Align*}。

对啰!。我们刚刚证明，商的对数正好是原始对数之间的差-这一性质通常被称为商规则。

例如，与从头开始计算$\displaystyle\frac{2}{e}$的自然对数不同，我们可以应用商规则，并获得以下结果：

\BEGIN{ALIGN*}*\ln\LEFT(\frac{2}{e}\RIGHT)=\ln 2*-\ln e=\ln 2-1\END{ALIGN*}。

就像幂规则的情况一样，我们也可以从右到左使用商规则，而不是破商，从而将差变成商。例如：

\BEGIN{ALIGN*}*\LOG 45-\LOG 9=\LOG\LEFT(\frac{45}{9}\RIGHT)=\LOG 5\END{ALIGN*}。

这就解释了为什么在自然科学中，一个量经常用对数标度来表示，而不是通过取所述量与参考点之间的比率的对数来表示。

至于一个数的整数次方的对数，我们首先注意到一个数被提升到$0$的情况：

在将一个数字提升到正整数$n$的情况下，可以通过重复应用乘积规则来获得对数：

\BEGIN{ALIGN*}\log(x^n)&；=\log\下括号{x\Left(x\cdots x x\right)}_{n\text{Times}}\\&；=\下括号{\log x+\，\dots+\log x}_{n\text{Times}}\\&；=End{ign*}。

在将数字提高到$-n$形式的负整数的情况下，乘积规则和倒数规则的混合就可以了：

\BEGIN{ALIGN*}\log(x^{-n})&；=\log\Left[\Left(\frac{1}{x}\Right)^n\Right]\\&；=n\log\Left(\frac{1}{x}\Right)\\&；=-n\log x\end{Align*}。

无论哪种方式，我们刚刚展示了，当一个数字被提升到整数次方时，得到的对数也会被该幂精确地重新缩放。这一有趣的发现将导致对数的一个重要性质，被称为幂规则。

正如一些人可能预期的那样，权力规则本身就是一个非常强大的属性。首先，它允许我们从对数的自变量中提取指数，从而归一化可能非常巨大的显示样式/最小的数字(例如，$\displaystyle\log_2(3^{15})=15\log_2(3^{15})=15\log_2$)，相反，幂规则还可以用于将指数推入对数的自变量中，从而产生潜在更简单的表达式(例如，$\displaystyle 3\ln 5=\。

在应用电源规则之前，请确保满足前提条件。例如，虽然$\ln(x^8)$定义在所有非零数上，但等式$\ln(x^8)=8\ln x$只有在$x>；0$时才成立。但是在这种情况下，问题可以通过绝对化$x$来解决，从而产生等式$\ln(|x|^8)=8\ln|x|$。

与乘积规则和商规则的情况类似，幂规则可以用基本$10$来解释如下：

当一个数字被幂时，得到的数字的大小恰好等于原始数字的大小-乘以该幂。单击以发布推文。

为了在求根的对数时找到一些捷径，我们首先观察到，对于所有正整数$n$，幂规则规则的应用表明：

太棒了！这表明，要计算出$n$次根的对数，我们所要做的就是将原始数字的对数除以$n$-这一见解导致了对数的另一个重要性质，即所谓的根规则：

与幂规则非常类似，根规则不仅因为它能够从对数中拔出根(如$\displaystyle\log(\sqrt[12]{6})=\frac{\log 6}{12}$)，而且还因为它能够从无到有地创建根(如$\displaystyle\frac{\ln 2}{5}=\ln(\sqrt[5]{2})$)。

当一个数字是根值时，最终产生的量值将精确地按问题根值的程度进行重新调整。

当我们将幂规则和根规则组合在一起时，对于形式为$\displaystyle\frac{m}{n}$($m\in\mathbb{Z}，n\in\mathbb{N}$)的任何有理数，我们都会得到：

\BEGIN{ALIGN*}\log x^{\frac{m}{n}}&；=\log\Left[(\sqrt[n]{x})^m\right]\\&；=m\log(\sqrt[n]x)\\&；=\frac{m}{n}\log x\end{ign*}

事实上，这无非是广义权力规则的一个特例：

这可以通过证明$p\log x$确实是基数$b$需要提高到的指数来证明-以产生$x^p$：

最后，下面是一个示例，说明了我们到目前为止看到的对数的所有与自变量相关的属性：

\BEGIN{ALIGN*}\LOG\LEFT(\frac{5^3\cdot\sqrt[4]{15}}{10^{66}\cdot e^{\pi}}\right)&；=\log\Left(5^3\cdot\sqrt[4]{15}\right)-s\log\Left(10^{66}\cdot e^{\pi}\right)\\&；=\Left[\log 5^3+\log\sqrt[4]{15}\right]-\Left[\log(10^{66})+\log(e^{\pi})\ri。

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