社会距离的数学是一堂几何课

球体包装似乎是一个只有数学家才会喜欢的话题。还有谁会为找到在平面上排列圆圈或在空间中排列球体的最有效方法而感到兴奋呢？

但是现在，全世界数以百万计的人都在思考这个问题。

在一定程度上，决定如何在社交距离的情况下安全地重新开放建筑物和公共空间，在一定程度上是一项几何练习：如果每个人都必须与其他人保持6英尺的距离，那么计算一间教室或一间餐厅可以坐多少人，就是一个在平面图中填入不重叠的圆圈的问题。

当然，COVID要面对的不仅仅是这个几何问题。但圆和球包装也起到了一定作用，就像它在化学中的晶体结构建模和信息论中的抽象信息空间中所起的作用一样。这是一个听起来很简单的问题，已经占据了一些历史上最伟大的数学家，今天仍在进行令人兴奋的研究，特别是在更高的维度。例如，数学家最近证明了将球体封装到8维和24维空间的最佳方法-这是一项优化手机中使用的纠错码或与太空探测器通信的关键技术。所以，让我们来看看当我们试图用最简单的形状填充空间时出现的一些令人惊讶的复杂情况。

如果你的工作包括将橙子装在盒子里，或者让学生在社交距离下安全就座，那么容器的大小和形状就是问题的关键部分。但对于大多数数学家来说，球体包装的理论是关于填满所有的空间。在二维中，这意味着用不重叠的相同大小的圆覆盖平面。

这里有一个在飞机上打包圆圈的例子。它可能会让你想起一箱汽水罐头的侧面：

您可以想象此图案在每个方向上重复，就像平面的平铺一样。圆圈之间的小间隙意味着飞机没有被完全覆盖，但这在圆圈填料中是意料之中的。相反，我们感兴趣的是飞机的覆盖率。这就是所谓的排列的“堆积密度”。

上面的排列称为正方形填充，原因很充分：我们可以将圆的中心想象为正方形的顶点。

这种瓷砖的对称性使我们的工作很容易。由于这些正方形以规则的方式覆盖整个平面，因此被圆覆盖的平面的百分比与任何一个正方形被圆覆盖的百分比相同。让我们仔细看看其中的一个正方形。

假设每个圆的半径为r，这意味着正方形的边长为2r。正方形的四个顶点中的每一个都被四分之一圆覆盖，因此每个正方形被覆盖的百分比就是一个完整圆的面积与一个正方形面积的比率：

每个正方形大约有78.54%被圆圈覆盖，所以根据我们的平铺论证，整个平面大约有78.54%被圆圈覆盖。这是方形包装的密度。(请注意半径r是如何从我们的答案中消失的：这是有意义的，因为无论圆有多大，正方形仍将包含四个四分之一圆。)。

现在，如果你曾经试图像这样把汽水罐堆在他们的侧面，结果却看着他们滑进缝隙里，你知道还有另一种方法可以在飞机上填满圆圈。

采用与我们上面所做的类似的方法，我们可以将此排列中的圆的中心想象为正六边形的顶点。

我们称之为六边形包装。这种安排似乎比方形包装更有效地填补了空白。为了验证，让我们比较一下它们的包装密度。就像正方形一样，六边形平铺在平面上，所以我们可以通过分析单个六边形来确定这种排列的堆积密度。

这个六边形有多少被圆圈覆盖？因为正六边形的内角是120度，所以在六边形的六个顶点中的每一个都有三分之一的圆。加起来是两个完整的圆，中间的一个等于三个。所以每个六边形都被三个圆圈覆盖。如果每个圆都有半径r，那就是总面积约3πr²。

这与六边形的面积相比怎么样？一个边长为s的六边形实际上是六个边长为s的等边三角形，每个三角形的面积为$LaTeX\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$，所以这个六边形的面积为6×$latex\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$=$LaTeX\frac{6 s^{2}\sqrt{3}}{4}$。因为我们包装的六边形边长是2R，所以它的面积是：

$LaTeX\frac{6 s^{2}\sqrt{3}}{4}$=$LaTeX{\frac{6(2 R)^{2}\sqrt{3}}{4}$=$LaTeX{\frac{24 r^{2}\sqrt{3}}{4}$=$LaTeX{6 r^{2}\sqrt{3}$。

因此，现在我们可以计算被圆覆盖的六边形面积的百分比(通过将三个圆的面积除以六边形的面积)：

$LATEX\FRAC{3\pi r^{2}}{6 r^{2}\sqrt{3}}$=$LATEX\FRAC{3\pi}{6\sqrt{3}}$=$LATEX\FRAC{\pi}{2\sqrt{3}}$=0.9069。

每个六边形大约90.69%被圆圈覆盖，这使得这种包装比正方形布置更有效。(请注意，正如我们预期的那样，圆的半径再次减小。)。事实上，没有比这更有效的安排了。

证明这一点并不容易：约瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis)、拉格朗日(Lagrange)和卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich)等著名数学家在18世纪末和19世纪初开始了这项工作，但这个问题直到20世纪40年代才完全解决，当时所有可能的安排-无论是规则的还是不规则的-都得到了严格的处理。花了这么长时间来处理二维问题，那里的事情相对容易可视化，这是对更高维度将会发生什么的警告。

在三维中包装球体是一个复杂得多的问题，尽管它确实与二维相关的球体有一些共同的特征。例如，我们看到的二维填料是从单层构建的。

在方形包装中，我们把每一层新的都直接放在前一层的上面。

在六角形的包装中，我们将每一层新的层都嵌在前一层的空隙中。

这是一层六边形堆积的球体，就像我们在平面上对圆圈的最佳堆积一样。同样，您可以在此层之上堆叠第二层，将其置于球体之间的间隙中。

但在三维空间中，几何形状要稍微复杂一些。在每层球体中，相邻间隙之间的距离小于球体中心之间的距离。所以你不能在每个间隙都放一个球体：它们会重叠。这意味着两层之间的缝隙排成一条直线，在填料中形成很小的通道。

放置第三层时，您有两个选择。一是把缝隙排成一排，保持渠道畅通。以下是对这一安排的侧面看法：

要保持通道打开，请将第三层中的球体放置在第一层中球体的正上方，如上图所示。这种球体的排列被称为“六边形紧密堆积”(HCP)，当你向下看填料时，你可以看到开放的通道。

第三层的另一个选择是关闭通道。将球体放置在第三层中第一层间隙的正上方：

它被称为“面心立方”(Fcc)或“立方体紧密堆积”排列。往下看，你看不到包装里的东西。

这两种相似但根本不同的排列出现在化学中，它们描述了不同材料中原子的排列。(例如，银和金等金属具有面心立方结构，而锌和钛等金属具有HCP结构。)。通过继续任何一种模式，您都可以用球体填充空间：在HCP排列中，每隔一层都有球体位于完全相同的位置，而在FCC中，每隔三层就有位于相同位置的球体。实际上，您可以通过混合这些模式来创建无限多个不同的包装，但是HCP和FCC模式最值得注意的是，它们都能产生最佳的包装！它们不仅具有相同的堆积密度$LaTeX\FRAC{\pi}{3\sqrt{2}}$≈0.7405，而且这些都是三维空间中球体可能的最密集堆积。著名的数学家和天文学家约翰尼斯·开普勒在1611年推测了这一点，但直到1998年数学家托马斯·黑尔斯才提供了完整的证据。

在三维空间中移动的额外空间给了我们更多有效包装球体的方式。随着我们增加维度，包装变得更加复杂：有更多的空间来容纳更多的可能性，也更难想象。不仅如此，球体在更高的维度上会变得更小！

圆的半径为r=$LaTeX\frac{1}{2}$，因此圆的面积与正方形的面积之比为：

同样，球体的半径为1r=$LaTeX\frac{1}{2}$，因此球体的体积与立方体的体积之比为：

$LATEX\FRAC{\FRAC{4}{3}\pi r^{3}}{s^{3}}$=$LATEX\FRAC{\FRAC{4}{3}\pi\Left(\FRAC{1}{2}\Right)^{3}}{1^{2}}$=$LATEX\FRAC{4}{3}\pi\Left(\FRAC{1}{8}\Right)$=$LATEX\FRAC。

请注意，内接球体在三维中占据的立方体的份额小于内接圆在二维中占据的正方形的份额。这种模式仍在继续：随着尺寸的增加，此比率减小。也就是说，随着n的增大，n维球体占据的n维空间越来越少。

这可以用微积分来表示，但我们也可以通过思考角落来理解它。在每一维中，我们都可以在n维立方体内内接n维球体。球体与立方体的面接触，但不会到达角，因此每个角都是一个位于立方体内部但在球体外部的区域。但是n维长方体有2$LaTeX^{n}$角点，这意味着随着n的增加，球体所覆盖的区域数量呈指数增长。不仅如此，拐角和球体之间的距离也增加了。这意味着，从长远来看，n维立方体内部但在n维球外部的空间使球体占据的空间相形见绌。

如果缩小的球体还不够奇怪，那么包装球体的数学家们在8维和24维中发现了更令人惊讶的东西。这些维度中的球体缩小了恰到好处的量，能够用新的球体来填补缺口，产生了那些更高维度空间的超高密度填充。这些特殊的排列被认为是最优的，但数学家们直到2016年才确定，当时玛丽娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska)证明了它适用于8维包装。在一周内，维亚佐夫斯卡和他的合作者将她的方法扩展到证明了24维的情况。

维亚佐夫斯卡的工作意味着我们现在知道了在1维、2维、3维、8维和24维包装球体的最有效方法。但在其他维度仍有很多工作要做。所以，拿出你的橙子和汽水罐，开始尝试吧。也许你会是那个帮助填补空白的人。

1.假设我们开始对坐标平面进行打包，如下所示，左下圈居中(0，0)，右下圈居中(2，0)：

2.下面是球体的“以身体为中心的立方体”包装的开始。这种安排的包装密度是多少？

3.这里是使用正八边形包装飞机的开始。

圆的中心形成边长为2的等边三角形。通过对称，第三个圆中心的x坐标为1。由于边长为s的等边三角形的高度为$LaTeX\frac{\sqrt{3}}{2}s$，因此此三角形的高度为$LaTeX\frac{\sqrt{3}}{2}$⋅2=$LaTeX\sqrt{3}$，这是第三个圆的y坐标。因此，第三个圆的中心是(1，$LaTeX\sqrt{3}$)。

就像平面上圆的方形堆积一样，我们可以通过观察单个立方体来确定这种排列的堆积密度。在它的八个角中的每一个角上，恰好有八分之一的球体位于立方体内部。因此，对于每个立方体而言，其内部恰好占据了一个球体的价值。如果每个球体的半径为r，则立方体的边长为2 r。这使得堆积密度(球体的体积除以立方体的体积)：

$LATEX\FRAC{\FRAC{4}{3}\pi r^{3}}{(2 R)^{3}}$=$LATEX{\FRAC{4}{3}\pi r^{3}}{8 r^{3}}$=$LATEX\FRAC{\pi}{6}$≈0.5236。

由于这本质上是一个八边形的正方形包装，我们可以使用前面开发的方法，查看连接四个相邻八边形中心的单个正方形。请注意，恰好有一个完整的八角形，分割成四个部分，位于正方形内。边长为s的正八角形的面积为(2+2$LaTeX{\sqrt{2}})s²$(可以通过对八角形进行各种方式分解来找到)，并且中间有一个边长为s的正方形。这使得堆积密度(八角形的面积除以八角形的面积与长度为s的单个正方形的面积之和)：

$LaTeX{(2+2\sqrt{2})s^{2}}{(2+2\sqrt{2})s^{2}+s^{2}}$=$LaTeX{\frac{(2+2\sqrt{2})}{(2+2\sqrt{2})+1}$=$LaTeX{\frac{2+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}。

有趣的是，注意到这不是飞机上八角形可能最密集的堆积。你们能找到更有效的包装吗？