什么？你没听说过吗？这是当时伟大的思想家之间围绕如何研究数学物理的哲学展开的一场激烈的、旷日持久的斗争。所有这些都不让我们做一个实验来区分这两种理论，那是懦夫的专利。但这才是深层次的东西：琐碎的与数学的优雅；普通的与行为良好的；甚至，我们&。
旧的范式被粉碎；这是新的范式如何建立和维持自身的一部分。历史被埋葬了。但这并不意味着我们必须喜欢它，或者支持它。当我写这篇文章的时候，这里是维基百科的文章四元数史对数学物理史上这一丰富多彩的事件所做的总结：从19世纪80年代中期开始，四元数开始被向量分析所取代，矢量分析已经被向量分析取代了。在我写这篇文章的时候，维基百科的文章四元数史对数学物理史上的这一丰富多彩的事件进行了总结：从19世纪80年代中期开始，四元数开始被向量分析所取代，向量分析已经被向量分析取代了。这是一篇关于电和磁的论文，但是--据吉布斯说--发现……。四元数的概念对这门学科来说是相当陌生的。矢量分析描述了与四元数相同的现象，所以它大量借用了经典四元数文献中的思想和术语。然而，矢量分析在概念上更简单，符号上也更清晰，最终四元数在数学和物理中被降格为次要的角色。
呵欠。(还有，维基百科的中立也就这么多了；但这是另一回事。)。
在这篇文章中，我重温了一篇关于矢量与四元数之争的论文，这篇论文写于很久以前，当时我们使用一种叫做打字机的东西，用手写的特殊符号。但它已经在一个文件夹里苦苦挣扎了多年，这是你手机上图标的模型之一。
这就是这篇论文的由来。我从父亲那里了解到矢量与四元数的辩论。事实上，我从父亲那里了解到了四元数。我继承了他对它们的热情。然后，在WPI的第三年，我抓住了一个机会，深入研究了这场辩论。
WPI对理科学士学位的要求之一是人文充足性项目。该项目的理念是，理工科学生应该全面发展，因此他们应该选修(并通过)一系列人文课程，然后在这些课程的基础上，写一篇学期论文，主题是弥合人文和科学之间的鸿沟。WPI有一个本科生成绩，叫做“NR34；NR&34；”，简称(我认为)是“没有记录的”：如果你没有通过一门课程，它就没有通过。(我想)这是“没有记录”的缩写：“如果你没有通过一门课程，它就没有通过。(我想)如果你没有通过一门课程，它就没有通过。(如果你没有通过一门课程，它就没有通过。)。当然，我不会拿回你的学费)。这导致学生们因为感兴趣而上了一些课，有时他们更关心学习而不是取得高分。所以你应该明白，当我说，我花了三年的时间才积累了足够的学分，因为我只通过了大约50%的人文课程。尽管当我不仅通过了哲学知识和现实理论的考试，而且取得了高分时，包括我在内的一群人都相当困惑。
我选择了矢量对四元数作为我的主题，题目是严肃的四元数：“数学物理工具选择案例研究”。“充分性”通常是半学期的项目，但不是。这是不必要的，有了这样一个有趣的话题和个人兴趣，我当然有点超越了这一点。“帕金森教授实际上为没有给我打最高分而道歉，他解释说，他有一个严格的规则，绝不给超过基本半学期的充足分数打最高分。”当时，我认为(但至少有足够的机智不对他说)的是，我做这项工作是为了它自己，而不仅仅是为了一个分数。后来，当那个分数让我毕业时，我的想法是：我做这项工作是为了它自己，而不是仅仅为了一个分数。后来，当那个分数导致我毕业时，我的想法(但至少有足够的机智)是为了它自己，而不是仅仅为了一个分数。后来，当那个分数导致我毕业的时候。D道了歉。毕竟，他有点迟到了。
从此以后，我从这篇论文中学到的东西帮助我理解了科学范式是如何选择的--毕竟，我的硕士论文(Pdf)与一种被拒绝的范式(可扩展语言)擦肩而过，而我的论文则彻底复活了一种范式(Fexprs)。这也深深地影响了我对模因有机体的思考，我不久前曾在博客上写过这篇文章。
这里和那里的写作风格比我现在努力的要僵硬一些。(我在高中的时候甚至更差。)总而言之，尽管如此，我对这篇文章还是相当满意的。
原稿的脚注和尾注都有内联阅读的意思，尾注也有参考书目的详细信息。在这里，我把这两个部分都放在了结尾处，用字母表示以前的脚注，用数字表示尾注。虽然我有点迂腐，但这个版本的论文比1986年春天提交的原始版本有了三处改动。(为了证明我是一个书呆子，这些改动是在2002年做出的。)添加了脚注[m]和[y]。(而且，为了证明我是一个书呆子，这些改动是在2002年做出的。)添加了脚注[m]和[y]。(而且，为了证明我是一个书呆子，这些修改是在2002年做出的。)添加了脚注[m]和[y]。我将其更正为使用完整的派生函数，最初将其错误地写为部分派生函数。
联想记忆是一件奇怪的事情。但某些细节一直伴随着我们。我记得我曾担心克罗的一句话，我就是想不出如何用不同的方式来表达，最后决定让这段话继续存在；尽管到了这么晚的时候，我还不知道会是哪一段。
约翰·N·舒特(John N.Shutt)介绍给：帕金森教授人文学部1986年提交的D项，部分满足了马萨诸塞州伍斯特伍斯特理工学院的人文充分性计划的要求：2002年3月11日，四元数是一种具有四个分量的超复数。从数学上讲，它们是仅次于复数领域的行为最好的代数。自从它们被发现以来，它们对数学物理的有效性一直是个疑问。
本文历史地考察了四元数在数学物理中应用的主要问题。首先考察了四元数的历史和数学背景，然后是它们在古典物理和现代物理中的应用。最后，对一些主要问题进行了分析。
一般意义上的矢量分析是对有向量值的数学处理，它兴起于19世纪初，是物理学和数学两大思潮的综合。1个。
有人指出，牛顿之后的物理几何学与古希腊人的几何学有本质上的不同。不同之处在于，虽然牛顿物理学被设定在欧几里得阶段，但许多主要参与者是(隐含的)矢量，这在欧几里得中是不存在的。
这给19世纪初的物理学工作留下了障碍。矢量是大多数物理学的基础，但不能很好地处理。处理几何的主要数学工具是笛卡尔坐标系；笛卡尔坐标原则上是灵活的，但实际上它们往往笨拙且通常不透明。需要一种用于矢量的自然语言。一个
到了这个时候，数学已经变得过度延伸了。3.问题出在数的概念上。当最初只用正数发展的代数公式现在被成功地应用于负数和复数时，由于传统上数学家的工作是建立在直觉的基础上的，更广泛的数字系统让许多数学家感到不安。
这个问题使乔治·皮科克在1833年提出了形式持久性原理。根据这一原理，无论代数形式是等价的，当符号在形式上是一般的但在值上是特定的[正整数]时，当符号在值和形式上都是一般的时，也将是等价的。形式上的一般是指特定数字的性质不能推广；例如，-14；mod-7=0。意指分数、无理、负数或复数，但留下了一个几乎与该原理所涉及的Onee一样大的问题。尽管该原理有缺点，但它很重要，因为它确实认识到代数是基于规则的。
在高斯最终于1831年发表这一想法之前，至少有六个人独立设计了复数的几何表示法。这些人中有几个人用这个表示作为复数领域的理由。(在六个发现的前两个人中，韦塞尔接受了这个理由，但高斯没有。)是高斯的辩驳最终引起了人们对这个想法的普遍关注。(译者注：在这六个人中的前两个人中，韦塞尔接受了这个理由，但高斯没有。)正是高斯的辩驳最终引起了人们对这一想法的普遍关注。
然而，威廉·罗恩·汉密尔顿(1805-1865)直到1852年才知道高斯1831年的论文。相反，他受到了约翰·沃伦的影响，在他的工作中，他接触到了结合律、交换律和分配律的概念。汉密尔顿不认为几何方法是一个充分的理由。1837年，他提出了一种新的方法，将复数解释为实数的代数对。他定义了偶的加法、减法、乘法和除法，并由此导出复数的本原性质。
对许多数学家来说，这些数学发展表明，数的进一步扩展可能类似于(3维)空间。人们普遍预计，这一令人向往的扩张将有三个项，并遵守复代数的所有定律(结合、交换和分配)，以及与空间几何有密切的联系。
与空间几何的联系有多种形式。汉密尔顿最终确定的两个是(1)范数定律，d和(2)独特的除法。回顾起来，只有实数和复数同时满足所有通常的定律和(2)，以及(1)在三维中根本不可能。E-9。
早在1830年，汉密尔顿就产生了三胞胎(哈密尔顿术语)可能不满足所有通常定律的想法。他特别熟悉非交换乘法，这是从集合论的一些猜想中得出的。101843年10月16日，当他走到爱尔兰皇家学院的一个理事会时，上述几个想法汇聚在他的脑海中，产生了四元数。他最近一直在研究形式为a+bi+cj的三元组，形式为：−2=ij 2=−1；现在他意识到，他可以通过假设=i ij=i ij来满足(1)，并且这个乘积有第三个虚部份k k=i ij，w。
由此得到的四元数具有a+bi+cj+dk的形式，其形式为：i_i_2=i_j_2=i_k_2=i_i_k_2=i_−_1。四元数乘法在加法上是分布的，并且是结合的，但不是交换的。9范数是乘法的模，右除和左除是唯一的。实数、复数和四元数是仅有的三种可能的除法代数-即具有结合和交换加法、分配和结合乘法和唯一除法的代数。F
汉密尔顿为他的黑人胸罩创造了过多的新术语。14.四元数Q由称为Q的标尺的实数部分和称为Q的向量的虚数部分组成，表示为VQ。或者，它可以表示为称为Q的张量的正实数(长度或Q的范数的平方根)与张量等于1的四元数的乘积，称为Q的向量，称为Q的矢量值。14.四元数Q由称为Q的标尺的实数部分和称为Q的向量的虚数部分组成。或者，它可以表示为称为Q的张量的正实数(长度或Q的范数的平方根)和张量等于1的四元数的乘积。因此，G_q_i=t_q_q_q+t_vq_u_q=t_TqU_q。
Versor u有一个独特的分解：u θ=ucos θ≤+uvθin θ，角度为0，≤，θ，≤，π，和单位向量uv，=0uvu。H=15，如果p垂直于v，则p=vp=vp是p Byangleθ围绕v的旋转。这允许空间中的大圆弧被四元数表示，从而得到优雅的理论三角学证明。
任何非零的四元数q都有唯一的逆q−1，使得qq−1=qq−1 q−=q1，左右除q分别定义为乘以qq θ1前后，若q是平均数q=q−−+qv θ θ，则对于任意向量p，p'；x=qp(q−1)是p乘以角度2的圆锥旋转。如果q是平均数，则对任意向量p，p'；q=qp(q-sin 1)是p乘以角2的圆锥旋转。如果q是平均数，则q=qp(Q Sin 1)是p乘以角2的圆锥旋转。
另一个有用的分解是将矢量的四元数积分解成它的标量部分和矢量部分。如果u，v是由角度θ分隔的矢量，则suv=−(Tutv) cos θ和svuv θ=u(Tutv) (sin θ)nn，其中unn=uvuv是垂直于u和v的单位向量。i标量部分是可交换的(Suv)，而向量部分是反的(Svu)，其中n是垂直于u和v的单位向量。i)标量部分是可交换的(Suv)，而向量部分是反的(Svu)，其中n是垂直于u和v的单位向量。i)标量部分是可交换的，而向量部分是反的。
在1847年的英国协会会议上，四元数是一场辩论的主题。赞成使用四元数的乔治·皮科克没有站出来，但约翰·赫歇尔爵士挺身而出，称四元数是科学丰富的聚宝盆。反对四元数的人反对说，由于四元数的复杂性，四元数的计算过于容易出错。会议上还至少有一位代表现状的人，用汉密尔顿的话说，就是艾里先生，他认为这个课题不可能是因为它的复杂性。用汉密尔顿的话说，艾里先生认为这个问题不可能是因为它的复杂性。会议上至少有一位代表现状的人，用汉密尔顿的话说，就是艾里先生，他认为这个问题不可能是因为。
如果不提及赫尔曼·冈瑟·格拉斯曼(Hermann Günther Grassman，1807-1877)，这篇论文的背景将是不完整的。1844年，格拉斯曼出版了一部在大小和范围上都具有里程碑意义的作品，名为Die lineale Ausdehnungslehre(拓扑演算)。
AusdehnungSlehre背后的思想始于1832年，将平行四边形解释为两条直线的几何乘积。格拉斯曼将这一观点推广到其他形状和任意数量的维度，并将其置于抽象的数学基础上。AusdehnungSlehre系统是源自这些几何概念的非常广泛的数学推广。定义了几种类型的乘法，乘法的唯一要求是加法的分配性。
1844年的AusdehnungSlehre是以强烈的形而上学风格写成的，在数学基于具体直觉的时代也是高度抽象的。格拉斯曼是默默无闻的。因此，AusdehnungSlehre没有被整个世界注意到。
尽管格拉斯曼做出了努力，包括在1862年修改了“奥斯汀雪橇”，但他的作品在他的一生中仍然默默无闻，直到开始引起人们对他去世时间的兴趣。格拉斯曼的发现被其他人一个接一个地重写，格拉斯曼的预期在随后的优先问题中揭开了面纱。
尽管格拉斯曼的内积和外积分别类似于向量的哈密尔顿四元数积的标量和向量部分，但格拉斯曼在概念上与四元数是不同的。这里的意义在于，它包含了一个n维的向量分析系统。(译注：格拉斯曼的内积和外积分别类似于向量的哈密尔顿四元数积的标量和向量部分，但格拉斯曼在概念上与四元数不同。这里的意义在于，它包含了一个n维的向量分析系统。J。
现在将介绍十九世纪在四元数传统中工作的四元数应用中的三位重要人物，这三位人物是汉密尔顿、泰特和麦克斯韦。接着，我们将描述四元数在哪些情况下被抛弃，以利于矢量分析。
关于四元数的第一本重要出版物是汉密尔顿1853年的“关于四元数的讲座”。正文长达700多页，很难读懂；到1859年，赫歇尔--一位伟大的四元数爱好者和一位能干的数学家--只读完了其中的129页。
1859年，汉密尔顿开始研究四元数的元素。这本书最初是一篇初级论文，但后来变成了比讲座时间更长的参考著作--尽管没有早期作品的形而上学重点。“元素”在数学上发展得非常详细，但并没有增加它们的物理应用。据汉密尔顿自己承认，当时汉密尔顿已经与当代物理学脱节。
汉密尔顿相信四元数拓扑物理学的价值，并出版了零星的此类应用。1846年，他定义了一个(无名)运算符：ᐊ =⁄dx+j d⁄dy+k d⁄dz。然而，他从未将自己的精力集中在物理学的应用上，而是选择发展四元数理论。他曾计划将他的大部分元素放在ᐊ算符上，但由于他于1865年去世，这一部分从未写入。
出于普遍的好奇心，彼得·格思里·泰特在1853年购买并阅读了汉密尔顿的演讲。1857年，他遇到了一个让他想起汉密尔顿的ᐊ运算符的应用程序；为了追求这一点，他很快成为了一名虔诚的四元数学家，最终在后者去世后接替汉密尔顿成为他们的主要倡导者。
泰特对四元数感兴趣的是它们的物理应用。在他1867年出版的“关于四元数的初等论述”中，是第一个可以接触到的四元数入门。这项工作详细介绍了运算符∇，l用它来表达几个重要的定理(例如格林定理和斯托克斯定理)。
泰特在进一步将四元数应用于物理学方面做了很多工作。奇怪的是，在他的其他工作中，包括在爱丁堡大学的所有演讲中，他似乎都小心翼翼地避免了四元数。泰特与自然哲学论文开尔文勋爵(Lord Kelvin)在力学方面的合作也省略了四元数；后来谈到这一点，开尔文说，我们(开尔文和泰特)已经有38年的时间了。战事四元数……“无数时报”我提出让四元数进入汤姆森和泰特(“论文集”)，只要他能证明在任何情况下使用它们都会对我们的工作有所帮助。你会发现，从头到尾它们都没有被介绍过。
应该理解的是，开尔文自始至终都坚决反对一切矢量方法。
詹姆斯·克莱克·麦克斯韦尔最初是在1860年使用分量记数法推导出他的方程式的。他在1870年开始研究四元数。在1873年的“电学和磁学专论”中，他同时提出了分量和四元数记数法。
麦克斯韦是物理类比的坚定信仰者。他喜欢用四元数来帮助思考，因为这种记法比元件的记法更接近物理现实。然而，在计算方面，他认为分量记法更优越。他在“论语”的前言一章中提出了这一区别，在这一章中，他主张引入有别于四元数的运算和方法的概念。
麦克斯韦在“论语”中对四元数的使用主要局限于重述四元数形式的重要结果，尽管如此，它还是引导了一些以前从未这样做过的物理学家去研究四元数。
美国的约西亚·威拉德·吉布斯(Josiah Willard Gibss)和英格兰的奥利弗·希维赛德(Oliver Heaviside)尤其如此。23这两个人独立地沿着非常相似的路线前进。
从麦克斯韦的“论”中，两人都去了泰特的“关于四元数的基本论述”。他们都注意到，正如麦克斯韦实际使用的那样，甚至在很大程度上，泰特也在使用，四元数的矢量/标量划分比四元数本身更重要。然后，两人都开发了将矢量和标量视为完全独立的实体的系统，如V ∇和S ∇。
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