无理数

无理数是指不能用整数作为分子和分母的分数。

我是无理数的狂热粉丝，其中一个最大的原因是，与常规随机数相比，无理数在制作低偏差序列方面非常出色，在随机(随机化)算法中使用时，会产生令人惊叹的结果。低差异序列是蓝色噪声的近亲，因为它们都旨在保持样本的良好分布，但是使用情况不同，所以是使用蓝色噪声还是使用LDS是视情况而定。这意味着幸运的是，世界上有足够的空间容纳LD和蓝色噪音。

毕达哥拉斯的信徒被认为是为了将无理数字保密而谋杀了某人，所以我想这在技术上是被禁止的知识。

连分数是一种书写数字的方式，可以帮助分析无理数字，以及对特定数字的有理近似-无论它们是有理的还是无理的。

如果一个连分式是无限长的，那就意味着它代表一个无理数，并且所有无理数都有无限长的连分式。如果连分数不是无限长的，那就意味着它是有理数。

另一种写连分数的方法是去掉所有多余的“1除以…”然后写下你在左边看到的整数。上面的圆周率的连续分数看起来像这样，它要紧凑得多：

让我们讨论一下如何做一个连分式，通过演练如何得到π，或者至少是3.14159265359，因为π永远都不会消失。

首先，取整数部分，并将其用作第一个数字。减去整数部分，剩下的是余数：

我们取余数的1/4得到7.06251330592。这个数字的整数部分将是我们的下一个数字。减去整数部分得到下一个余数：

只要你在连分式中有一个很大的数字，那是因为你只做了一个除以一个小数字。整数越大意味着使该整数的余数越小。

余数越小，在连分式的那一步，数字就越接近。

这意味着当你在一个连分数中看到一个很大的数字时，如果你在这个大数字之前截断这个连分数，你就会有一个相当好的近似值，这个连分数代表的是实际的数字。

正因为如此，请看下面pi的连续分数，您可以看到它在序列的早期有一个相当大的数字(292)。

我们将在下面的帖子中介绍如何计算出这一点，但这个分数实际上是355/113，有一个特殊的名字“Milü”，由中国数学家和天文学家ZǔCHōNgzhī发现，他出生于公元429年。它在π的值的0.000009%的范围内。

所以，虽然π可能是最著名的无理数，但它肯定不是最无理数，因为它很容易被除法中的小整数近似。

快速注意：如果您编写程序将浮点数转换为连分数：如果您尝试对浮点不能精确表示的数字(如4.1)进行连分数运算，则会得到一个非常小的余数，然后当您将其翻转时，会得到一个非常大的整数。在我的例子中，当使用双精度数时，它生成的数字非常大，以至于将其转换为整数会使整数溢出。解决此问题的一种方法是将任何小于某个阈值的余数视为零。就像可能任何小于0.00001的余数都可以被认为是零。

因此，尽管π不是最无理的数字，但φ是(发音为“fee”，也就是黄金比例)。是的，这是最无理的数字！

等待第二个…。你看到图案了吗？余数总是相同的值，然后当我们做1/余数时，我们总是再次得到黄金比例。这意味着这个连分数是1一直到无穷大。

在最后一节中，我们看到了在连分数中有一个大的数字如何意味着一个数字在连分数中的那个点被很好地近似。

黄金比例对连分数中的每个数字都有一个1，这是您可以拥有的最小值。这意味着，在连分式的每一个阶段，它都是尽可能接近的。

这就是黄金比例是最无理的数字。它是用有理数(用一个整数除以另一个整数)近似得最差的。

当我说我喜欢无理数字时，我主要是说黄金比例，但其他高度无理的数字，如2的平方根，也很好。高度无理数具有我喜欢的特性-这些特性使它们可以用作低差异序列。

上面你可能已经注意到一件有趣的事情，当你用1除以黄金比例时，你得到的是黄金比例减1。也就是：

如果你解了那个方程式，你就会得到黄金比例。这是唯一有这个属性的号码！实际上，-0.61803398875也有关系，这与二次方程存在+和根解的事实有关，但也许这并不令人惊讶。1/-0.61803398875是-1.61803398875。行为是一样的，只是发生在零的另一边。

关于黄金比例的另一件有趣的事情是，如果你把它平方，就相当于加1。

如果你解决了这个问题，你会再次得到黄金比例作为唯一的解决方案(和前面一样，负的黄金比例减1)。不过，如果您查看公式，可能并不太奇怪，因为您可以使用简单的代数将一个公式转换为另一个公式。

如果您有一个连分式，并希望将其转换为规则分数(或实数)，则可以反向运行该过程。

然而，这样做意味着你从连续分数的最右边的数字开始，然后向左工作，直到你到达开头。你是如何用无限长的连分式做到这一点的，就像无理数一样？

幸运的是，有一种方法可以从左边开始，然后向右工作，这样您就可以得到无穷长的连分式(无理数)的近似值。

您要做的是制作一个表，其中包含一行分子和分母。第一个分子是1，第一个分母是0。第二分子是连分数序列中的第一个数字，第二分母是1。

下面我们用圆周率，黄金比率，sqrt(2)和一个无理数，我得出了一个不是非常无理的数字，非常接近于1.01。

一个快速有趣的切线是，您可能会注意到，对于黄金比例，分子和分母都是斐波纳契数。这是黄金比例和费波纳奇数字之间的联系。

下面显示了每个数字的百分比误差，因为在连分数中添加了更多的项。

黄金比例误差下降最慢，说明分数对黄金比例的逼近效果最差。虚构的无理数约为1.01，其误差减小最快，因为它是这些数字中最小的无理数。PI表现出相当低的无理性，而2的平方根是相当无理的。

这里是logy轴上的误差，以便更好地显示误差中的差异。

值得一提的是，1/黄金比率(又名0.61803398875)和黄金比例本身一样都是不合理的。这样做的原因是，我们颠倒了这个不存在的分数的分子和分母。把它翻过来并不能使它作为一个部分更具代表性。

当我对低差异序列使用黄金比率时，我通常使用1/goldenRatio值，也称为“黄金比率共轭”，因为较小的值意味着在处理较小的值(如0和1之间)时，它的数值问题较少，精度也较高。

此外，有无限数量的数字，就像黄金比例一样是不合理的。您可以通过计算来计算它们：

如果你想知道最小的无理数是多少，看起来好像有多个(无限的)，它们就是用有理数非常、非常、非常好地近似的数字。它们被称为刘维尔数，并且是超越的，这意味着它们基本上不能用多项式来计算。证明了这些数的存在性，也探讨了先验数本身的存在性。(https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number))。

还有一种叫做“非理性测量”的东西，但我没有发现它有多大用处。这似乎不是你可以用程序计算并比较两个数字来看哪一个更不理性的东西。Https://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

如果连分数中的所有1都是黄金比例，那么2或3都是什么呢？这使得银和铜的比例分别是，这三个都是前三个“金属手段”。您可以在下面看到它们的详细信息，以及pi。维基百科也在https://en.wikipedia.org/wiki/Metallic_mean上讨论了更多关于它们的内容。

你可能还会对阅读“塑料数字”感兴趣，这是一种不同的方式，试图接近黄金比例的好坏，以获得另一个体面的无理数字。Https://en.wikipedia.org/wiki/Plastic_number。

其中黄金比例的公式为x^2=x+1，塑性数的公式为x^3=x+1。

例如，7和11是互质数。它们碰巧也是质数，但互质数不一定是质数。8和15也是互质数，尽管这两个数都不是素数。你甚至可以把这四个放在一起，说7，8，11，15是互质数。组合互质数字列表通常不会产生仍然互质的数字列表。这是可行的，因为我们只将质数添加到另一个互质列表中，而添加质数将使数字列表始终保持互质。

例如，假设您有8个数字，您希望将它们混洗成某种程度上随机的顺序，但这不需要是非常高质量的混洗。

您要做的是首先选择与8…互质的任何数字。我们假设为5。然后将索引从1数到8，然后执行…。

如果你稍微看一下，你可能会发现一些模式，但所有的数字都在那里，而且相当混乱，你说不是吗？一个普通的观察者可能不会注意到任何模式，如果你在游戏设置中使用它来投掷宝藏或其他什么东西。

然而，并不是所有的共同犯罪选择都会产生同样高质量的结果。下面是如果我们使用7而不是5作为互质数时会发生的情况：

另外，让我们看看如果不使用互质会发生什么。我们将使用2而不是7。

如果数字不是互质的，则不会生成列表中的所有数字。看待这一点的另一种方式是，当数字互质时，数字序列的周期长度最长，但如果数字不是互质的，则不会那么长(并且会重复)。

请注意，您不必使用索引值1到8。您可以使用0到7或任何其他连续的8值-如127到134。本例中的数字都是模8，因此127到134等同于7到14。

加法递归序列与上一节的概念基本相同，但它是连续的，而不是坚持使用离散整数。您可以使用下面的公式，其中A是任意实数：

就像以前处理互质数一样，您将索引乘以的值可以使您的结果更好或更差。

如果为A选择1/2(0.5)，则得到的序列是：0.5，0.0，0.5，0.0，0.5，…。

如果你选择1/4(0.25)作为A，你会得到这样的结果：0.25，0.5，0.75，0.0，0.25，0.5，0.75，0.0，…。

你也可以做一些更复杂的事情，比如5/8：0.625，0.25，0.875，0.5，0.125，0.75，0.375，0.0，…。(然后重复)

如果我们选择2/4，我们最终会得到0.5，就像我们使用1/2时一样。当考虑要在此设置中使用的分数时，您应该减少分数，因为未减少的分数与减少的分数的值相同。准备好踢球了吗？根据还原分数的定义，还原分数中的分子和分母始终是互质整数！此外，约化分数的分母将告诉您它生成的序列的长度。

让我们再看一下使用5/8的序列，但是让我们将结果写成分数。

现在让我们回过头来看看我们在上一节中所做的序列(索引*5)%8。

分数结果中的分子与使用互质的整数结果中的分子相同。你可以将分数结果乘以8，得到完全相同的数字。事实上，以我们在本节中使用的公式为例：

所以，虽然我们似乎已经从整数转移到了一个连续的域，但是我们并没有真正的…。我们仍然处在互质数列的土地上。只要我们使用有理数，我们就会一直处在互质数序列的世界里，因为在简化的分数中总会有一个互质分子和分母对，它定义了当我们输入索引数时出来的序列的长度。

那么，如果我们抛弃有理数，取而代之的是一个无理数，又会怎样呢？嗯，使用无理数意味着这个序列永远不会重复。虽然这本身听起来很棒，但让我们假设我们使用的是一个非常接近于1/4的无理数，这意味着这个序列永远不会重复，但它几乎每4个值就会重复一次。

让我们使用黄金比例显示序列，其中索引从1到8.0.618034、0.236068、0.854102、0.472136、0.090170、0.708204、0.326238、0.944272。

对于一个不是非常无理的数字，这里也是一样的，我们将用0.2490001来近似它。0.249000、0.498000、0.747000、0.996000、0.245000、0.494001、0.743001、0.992001

你可以看到，~0.25无理数的序列并不是完全重复的，但它肯定是接近重复的。相比较而言，黄金比例是非常独特的数字。

所以基本上，如果你使用一个无理数，它可以被一个有理数近似，它的表现会很像那个有理数，而且不是很大。

这就是黄金比率和其他高度无理数字的伟大之处。没有一个有理数可以很好地近似它们，所以它们不仅没有任何实际的重复，也没有任何接近的重复。

在这个加法递归公式中使用高度无理的数字，可以得到一个低偏差的序列。

每次使用无理LDS时，您都会得到相同的序列，这有时可能是一个问题。

您可以通过每次从不同的索引开始，或者通过向序列添加不同的起始值来解决此问题。

如何获得这个起始索引或起始值由您决定。老实说，我使用白噪声随机数，它工作得很好，所以我会一直这样做，直到我分析它，发现使用LDS要好得多。

无论如何，如果你在前面的文章中回想一下，只要你使用一个无理数字，这个LDS就不会重复。这意味着无限数量的整数索引值进入意味着您将得到无限数量的唯一实数。这意味着只需更改您所处的索引，LDS就可以输出任何可能的数字。因此，按索引进行偏移等同于按起始值进行偏移，因为有些索引应该会给出与任何特定起始值相同的输出。

我以为这是真的，但事实证明并非如此，因为整数是可数无限的，而无理数是更大的无穷大。

事实证明，这几乎是正确的，而且总是存在一个索引，它会给出一个任意接近任何特定起始值的值。

无论如何，这很复杂，但是偏移索引或起始值都可以很好地获得不同的序列。我自己走起始值之路。

顺便说一句，尽管我给出了无理LDS的公式是指数乘以无理数，但随着指数变大，这会有数值精度问题。当您想要下一个指数的值时，只需添加无理数并取模，这样会好得多。令人惊讶的是，差别是巨大的！

存在渐进式低差异序列的概念，这意味着从索引0开始的序列的任何子集将具有与整个序列相同的属性。

例如，如果您有一个包含100个采样的渐进式蓝色噪波序列，则仅使用前10个采样就是蓝色噪波，或者使用前47个采样、前73个采样或全部100个采样。

如果您有一个非渐进式蓝色噪波序列，则在使用完所有100个采样之前(或当您接近该数字时)，采样序列不会是蓝色噪波。

无理低差异序列有一个很好的性质，那就是它们是递进的，并且它们从任何索引开始都是递进的，而不仅仅是从索引0开始。这是因为索引中的偏移量与起始值中的偏移量大致相等，因此从序列中间开始与您刚开始时使用该样本值作为起始值是一样的。

特别是黄金比例对这一点来说是很好的。黄金比例LDS的每一个新样本都落入了迄今为止样本留下的最大空洞中，这就是为什么它对于数值积分(和类似的)是如此之好。它在采样域有很大的覆盖率。然而，疯狂的是，您可以从LDS中的任何索引开始，从该起始索引开始也是如此，而如果从索引0开始也是如此。

看看下面的gif，看看我在说什么。一共有16个样品。所有16个都显示在左侧，但只有最后8个显示在右侧。我在数字行上显示样本，因为它们是介于0和1之间的标量值，但我也在圆圈上显示它们，以查看我所说的关于落入最大间隙的内容是正确的，即使是绕回。

以下是使用2的平方根的动画的相同设置。

最后，这里也是π的情况。圆周率非常接近于22/7，因为我们绕着一个圆走，所以整数部分是不相关的。由于22/7是3 1/7，这使得pi的行为几乎像1/7，您可以验证它确实几乎每7个样本重复一次，并且行为非常像1/7。您可以看到pi的样本是如何聚集的，并且它不能很好地覆盖样本域中它使用的样本数(将覆盖率与黄金比率进行比较！)。这表明一个不那么无理的数字并不擅长成为一个低偏差的序列。

如果你听说植物的叶子是按黄金比例生长的，现在可能是解释原因的好时机。这是黄金比例gif的最后一帧，有16个样本。

植物的生活目标之一就是尽可能多地获得阳光。想象太阳正对着头顶，而您正从上方俯视植物。为了达到最大化阳光的目标，每当光线被允许照射到植物阴影圆圈半径内的地面时，这就是一个错失的机会。阳光被打在泥土上浪费了。

在植物生命的任何时候，也可能会有暂时或半永久性的阴影存在，如果它把所有的叶子都放在一个方向上，所有的叶子都可能变成阴影，植物可能会挨饿。

解决这些问题的一个办法是种植均匀分布在植株周围的叶子。这样，从上方观看时不会有重叠，并且通过在各个方向上很好地展开来最小化阴影的风险。

这将是它的结束，如果一个人。

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