物理学发现了一种可供数学玩耍的几何结构

19世纪初，威廉·罗文·汉密尔顿发现了一种具有近乎魔术性质的新几何空间。它将运动和数学编码到一个闪闪发光的几何对象中。

这一现象催生了一个叫做辛几何的领域。在过去的几十年里，它已经从一个小的洞察力集合成长为一个动态的研究领域，与比汉密尔顿想象的更多的数学和物理领域有着深刻的联系。

辛几何归根结底是研究具有辛结构的几何空间。但确切地说，一个空间有一个结构意味着什么--更不用说这个特殊的结构了--需要稍微解释一下。

几何空间可以像防水布一样松软，也可以像帐篷一样坚硬。西北大学的艾米·墨菲(Emmy Murphy)说：“防水布非常有延展性，但你可以用一堆棍子或脚手架来塑造它。”“这让事情变得更加具体。”

结构最差的空间只是连接点的集合(就像防水布一样)。线就是这样的一维空间。球的表面是二维的。这些空间缺乏结构意味着很容易在不从根本上改变它们的情况下使它们变形：扭动线条和充气、缩进或扭曲球，在研究这些无结构空间的拓扑学家看来，它们都是一样的。

剑桥大学的艾尔莎·基廷说：“对于拓扑学家来说，如果你从一个球的表面开始，你可以想怎么拉就怎么拉，但只要你不打破它，对他们来说，这仍然是同样的空间。”“他们对整体形状很感兴趣。”

当然，当数学家谈到使空间变形时，他们并不是字面上的意思是用手拉它。取而代之的是，它们用函数变换空间：点的坐标变成函数，然后新点的坐标就出来了。这些变换将空间中的每个点都转换到空间中的一个新点。这在数学上相当于摇晃防水布。

还可以向空间添加更多结构。这种结构增强了空间包含的信息，但也限制了使其变形的方式。

例如，可以将公制结构添加到球的表面，如球体上的经度和纬度线。这种结构使测量两点之间的距离成为可能。但是一旦这个结构就位了，你就不能在不破坏原有结构的情况下对球进行充气或缩进，因为这样你就改变了点之间的距离。例如，如果你膨胀了全球，纽约和伦敦的距离就会变得更远。

辛结构是您可以添加的另一种结构。它提供了一种测量空间中面积的方法，并且仅当面积测量保持不变时才允许您更改空间的形状。

汉密尔顿在研究物理系统(如行星运动)时发现了这种空间的第一个例子。当行星在空间中运行时，它的位置由三个坐标定义，这三个坐标指定了它沿x、y和z轴的位置。代表行星所有可能位置的点形成一个三维空间。

汉密尔顿观察到，在三维空间的每个点上，你可以指定三个额外的坐标来指定行星沿每个轴的动量。称它们为xm，ym和zm，现在你有六个坐标：三个位置坐标，三个动量坐标。这六个坐标定义了新的六维空间中的点。

这个六维空间是具有辛结构的空间的一个例子，因为它可以实现面积测量。这就是它的工作原理。

在空间中的每个点，都可以画出六个“矢量”或定向箭头，它们对应于行星沿着矢量指向的维度的方向或动量。因为两个矢量可以定义一个平行四边形-一个有面积的二维空间-有可能取两个空间的矢量并测量一个面积。

但为了确保它是一个非零数，你必须选择特定的矢量对：代表同一轴上的方向和动量的矢量对。不匹配的矢量，如z方向矢量与y动量矢量配对，形成面积为零的平行四边形。

这些成对的向量还反映了辛空间的另一个重要性质，即它们与复数的内在联系。这些数字涉及i，即−1的平方根，它们采用a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。定义六维辛空间的一种方法是用三个复数，每个复数的两个部分提供两个坐标。这两个部分也对应于我们配对测量面积的两个向量。

因此，对于每个点，以x为基础的方向和动量矢量(例如)不仅提供了一种测量面积的方法，而且还构成了定义空间的三个复数之一。这种关系反映在symplectic这个名称中，这个名称源于希腊词sumplektikós，相当于拉丁语中的“Complex”，这两个词的意思都是“编织在一起”-这让人联想到辛结构和复数交织在一起的方式。

这也是辛空间激发数学家想象力的主要原因之一。“数学家已经对复数感兴趣了；他们已经对行星的运动感兴趣了，”墨菲说。“所以，如果你走过来说，‘这个几何学说明了为什么这两个东西是同一基础结构的不同表现形式’，那么数学当然会顺理成章。”

辛几何研究保持辛结构、保持面积测量不变的空间变换。这在您可以使用的转换类型中允许一些自由，但不会太多。因此，辛几何在防水布的软拓扑和帐篷的刚性几何之间占据了一种中间地带。保持辛结构的变换类型称为哈密顿微分同胚，以该现象的发现者命名。

但是，尽管汉密尔顿发现了辛空间的第一个例子，但它没有理由到此为止。过了一段时间，数学家开始思考几何空间中与物理世界无关的辛现象会是什么样子。

“数学家总是喜欢泛化，所以也许我们想说，‘如果我们不是生活在三维空间，而是生活在八维空间，经典力学会是什么样子？’”墨菲说。

从20世纪60年代开始，弗拉基米尔·阿诺德(Vladimir Arnold)提出了几个有影响力的猜想，这些猜想捕捉到了辛空间比普通拓扑空间(如软球)更刚性的具体方式。其中一个被称为Arnold猜想的猜想预测哈密顿微分同胚具有数量惊人的“不动”点，这些点在变换过程中不会移动。通过研究它们，你可以发现是什么使辛空间有别于其他类型的几何空间。

20世纪80年代末，数学家安德烈亚斯·弗洛尔(Andreas Floer)发展了一种名为弗洛尔同调(Floer Homology)的理论，这是一个强大的框架，现在是数学家研究辛现象的主要方式。它使用被称为伪全纯曲线的对象，它以一种迂回的方式允许数学家计算不动点，并确定某个最小数量的不动点是辛空间固有的。

基廷说：“[弗洛尔同源性]可以让你证明，你不能仅仅动摇固定点。”“这让你可以证明固定点必须在那里。”

随着辛几何理论的发展，它已经找到了与数学和物理中越来越广泛的主题的联系，从弦理论到低维拓扑，再到研究一种称为镜像对称的令人眼花缭乱的数学对偶。就在最近的一个例子中，辛几何被证明有助于解决拓扑中的一个问题，称为矩形钉子问题，正如广达在“新几何视角破解关于矩形的旧问题”中所报道的那样。

然而，对于许多数学家来说，辛几何的吸引力与它与物理或其他数学领域的联系方式几乎没有什么关系。它之所以存在，就在于它的存在令人惊叹。

墨菲说：“我们开始从结构本身中发现美，不管它如何与其他任何东西联系在一起。”

更正：2020年7月29日故事原版中的一张图表显示，一个粒子的轨迹与图表中的动量矢量不一致。它已经做了相应的修改。