寻找上帝的完美证明

Paul Erdős是20世纪出了名的古怪、游荡和多产的数学家，他喜欢这样的想法，即上帝有一个天体体积，其中包含了每个数学定理的完美证明。当他想要对一份漂亮的证明给予最高的赞誉时，他会宣称：“这一份是从书中拿出来的。”

别介意Erdő怀疑上帝的存在。“你不一定要相信上帝，但你应该相信这本书，”Erdős向其他数学家解释说。

1994年，数学家马丁·艾格纳(Martinő)在德国奥伯沃尔法赫数学研究所与埃德·艾格纳(Erd Aigner)交谈时，想出了一个主意：为什么不真的试着做一本上帝之书--或者至少是它在地球上的影子？艾格纳招募了数学家同行冈特·齐格勒，两人开始收集异常美丽的证明的例子，并由Erdő自己热情地贡献。由此产生的卷，书中的证明，于1998年出版，可悲的是，对于erdős来说，看到它已经太晚了-他在项目开始大约两年后去世，享年83岁。

现在都是柏林自由大学教授的艾格纳和齐格勒在序言中写道：“许多证据都可以直接追溯到他，或者是由他在提出正确的问题或做出正确的猜测方面的最高洞察力发起的。”艾格纳和齐格勒现在都是柏林自由大学的教授。

这本书被称为“数学天堂一瞥”，它提供了数论、几何、分析、组合学和图论中数十个定理的证明。自它首次出版以来的二十年里，它已经经历了五个版本，每个版本都增加了新的校样，并被翻译成13种语言。

今年1月，齐格勒前往圣地亚哥参加联合数学会议，在那里他和艾格纳获得了2018年斯蒂尔数学博览会奖。获奖者奖状上写道：“(书中)每页的优雅思想密度非常高。”

“广达”杂志在会上与齐格勒坐下来讨论美丽(和丑陋)的数学。为清楚起见，采访经过了编辑和浓缩。

你说过你和马丁·艾格纳对哪些证据值得收录在书中有着相似的感觉。你的审美观是怎么回事？

我们总是回避定义什么是完美的证据。我认为这不仅仅是害羞，实际上，没有定义，也没有统一的标准。当然，这些都是漂亮证明的组成部分。它不可能太长；它必须很清楚；必须有一个特殊的想法；它可能会将人们通常认为没有任何联系的东西联系在一起。

对于某些定理，不同类型的读者有不同的完美证明。我是说，什么是证据？说到底，证明就是让读者相信事情是真的。而校样是否通俗易懂，是否美观，不仅取决于校样，还取决于读者：你知道什么？你喜欢什么？你觉得明显的是什么？

您在第五版中注意到，数学家们已经提出了至少196种不同的“二次互易”定理的证明(关于“时钟”算术中的数字是完全平方的)和近100种代数基本定理的证明(关于多项式方程的解)。当数学家已经知道某些定理是真的时，你认为为什么他们还在不断地为这些定理设计新的证明呢？

这些都是数学中的核心问题，所以从多个不同的角度来理解它们是很重要的。有些定理有几个真正不同的证明，每个证明告诉你关于定理和结构的一些不同的东西。所以，探索这些证明，理解如何超越定理的原始陈述，是非常有价值的。

我脑海中浮现了一个例子--我们的书里没有这个例子，但非常基础--多面体的斯坦尼茨定理。这就是说，如果有一个平面图(平面中顶点和边的网络)在移除一个或两个顶点后保持连接，那么就有一个凸多面体具有完全相同的连接模式。这个定理有三种完全不同的证明--“斯坦尼兹型”证明、“橡皮筋”证明和“圆包装”证明。这三个都有不同之处。

任何Steinitz型证明都会告诉你，不仅有一个多面体，而且还有一个顶点坐标为整数的多面体。圆填充证明告诉你，有一个多面体，它的所有边都与一个球体相切。你不能从Steinitz类型的证明中得到这一点，或者反过来-圆填充证明不能证明你可以用整数坐标来做这件事。因此，有了几个证明，你就可以通过几种方式来理解这种情况，而不是原来的基本定理。