一道数学题难住了专家们长达50年之久。这个研究生几天内就解决了这个问题

半个世纪前，一位名叫约翰·霍顿·康威(John Horton Conway)的才华横溢的年轻数学家在所有事情中发现了一个结。这个结不是你在现实世界中可能会遇到的。如果您愿意，当然可以用字符串创建它，但是，一般来说，它只存在于Conway的计算中。在数学中被称为纽结理论的一个令人困惑的角落里，有成千上万种这样的概念纠结，但即使是在那里，康威的发现也是特别的-与其说是因为它是什么，不如说是因为它可能是什么，或者可能不是。是的，这是令人困惑的，但当谈论纽结理论时，最好接受事情会变得有点模糊的事实。

在任何情况下，康威结乍一看都不是什么了不起的事情。它只有11个交叉点，或者说它自己重叠的地方，按照高维纽结理论的标准，它是相当不起眼的。但这个结有一个性质，使它成为严格的数学审查的主题。康威最近死于新冠肺炎的并发症，享年82岁。他为数学领域做出了无数贡献，但专家们一再回到他的结上来。一次又一次，这些被授予勋章的数学家们无法找到解决后来被称为康威结问题的办法。

这个问题与证明康威结是否是所谓的“切片”有关，这是纽结理论中的一个重要概念，我们稍后会讲到。在所有有12个或更少交叉的数千个结中，数学家们已经能够确定所有结的细度，只有一个除外：康威结。50多年来，这个结顽强地抵制一切试图解开它的秘密的尝试，一路走来达到了一种神话般的地位。它的雕塑甚至装饰在剑桥大学艾萨克·牛顿数学科学研究所的大门上。

然后，两年前，在缅因州长大的一位名不见经传的研究生丽莎·皮奇里洛(Lisa Piccirillo)在参加一个数学会议时了解到了纽结问题。一位演讲者在一次关于研究纽带理论的挑战的讨论中提到了康威纽带。“例如，”演讲者说，“我们仍然不知道这个11字结是否是薄片。”

这太荒谬了，皮奇里洛边听边想。现在是2018年。我们应该能够做到这一点。一周后，她给出了一个震惊数学界的证明。

纽结理论是被称为拓扑学的数学领域的一个子专业，它与空间的研究有关。它是用来做什么的？“人们记住的答案是，拓扑结构对理解DNA和蛋白质折叠很有用，”皮奇里洛在5月份告诉我，当时我们正坐在离她住的哈佛广场不远的一个户外庭院里--我们戴着口罩，保持着10英尺的距离。“显然这些东西很长，它们喜欢粘在自己身上，所以它们都打结了。”

然而，当拓扑学家想到打结时，他们不会想象一段中间有粗糙扭曲的绳子。对他们来说，结更像是一根延长线，两端插在一起，整个东西被扔在地板上，乱七八糟的。它本质上是一个闭合的环，它有不同的位置，在那里它自己交叉。

现在让我们拿这些结中的一个，想一想它所在的空间。这个空间有第四个维度，比如时间，对于拓扑学家来说，我们的结是一种位于其中的球体。拓扑学家看到球体无处不在，但有一种特殊的方式：圆圈是一维球体，而橙子周围的皮肤是二维球体。这就是容易让人大吃一惊的地方：如果我们把整个橙子粘到另一个橙子上，拓扑学家会把产生的物体看作一个三维球体，一个可以被视为四维橙子皮的球体。如果你不能为自己召唤出这样一个更高维度的形象，也不用担心。世界上从事这项工作的专家只有几百人，甚至不是所有的人都能做到。

皮奇里洛于2013年毕业于波士顿学院(Boston College)，2018年夏天，当数学会议上的演讲者说了一些会改变她职业轨迹的话时，她已经在加入这些专家的行列了。

演讲者展示了一张描绘康威结的幻灯片，并解释说，数学家长期以来一直怀疑这个结实际上不是薄片，但没有人能够证明这一点。那么，结被切开意味着什么呢？让我们回过头来看看那个四维橙子。在它的内部有圆盘--把它们想象成盘子的表面。如果像康威这样的三维结可以束缚这样的圆盘，那么这个结就是薄片。如果不能，那么它就不是切片。

拓扑学家使用名为不变量的数学工具试图确定细度，但半个世纪以来，这些工具一直无法帮助他们证明普遍认为康威结不是薄片的信念。然而，两年前坐在那个演讲厅里，皮奇里洛立刻感觉到，她在不同的拓扑学领域使用的技术可能有助于这些不变量更好地应用于康威结问题。“我立刻意识到，我做的一些工作完全是出于其他原因，至少可以尝试回答这个问题，”她说。就在第二天，她开始着手解决这个问题。

29岁的皮奇里洛在缅因州格林伍德长大，这是一个人口不到900的小镇。她是一名优秀的学生，她的母亲教中学数学，但她几乎没有兴趣暗示她会成为一名世界级的数学家。

“我是一个超常的成功者，”她说。“我骑盛装舞步。我在我的教堂的青年团体中非常活跃。我演过戏剧。我在乐队里。我什么都做了。“。换句话说，她不是那种在4岁时就会编程和构建算法的数学神童。

2009年，当皮奇里洛来到波士顿学院(Boston College)的第一年时，她对戏剧和其他学科的兴趣就像她对数学一样感兴趣。不过，在那一年的一次微积分课上，她与J.Elisenda Grigsby教授建立了联系。(披露：我是波士顿学院校友杂志的编辑。)。

格雷斯比回忆说，皮奇里洛脱颖而出，尽管她缺乏某种修养。她说：“金童数学家通常在高中时参加数学夏令营，从很小的时候就被培养出来。”这不是皮奇里洛的背景，“但我觉得和她很亲近。”

“她真的鼓励了我，”皮奇里洛这样评价格里斯比。“伊莱真的逼我去上另一节数学课，然后我就喜欢上下一节课了。我已经开始进步了。“。到了大四，她开始学习研究生级的拓扑学课程。2013年毕业后，她选择在德克萨斯大学攻读博士学位，原因是该校出色的拓扑课程，以及该校被誉为女性数学学生的绝佳去处。根据美国国家科学基金会(National Science Foundation)的数据，2014年，只有28.9%的数学和科学博士学位授予女性，但在德克萨斯州，大约40%的数学研究生是女性。

总的来说，作为一名女性数学家，皮奇里洛感到受到了欢迎和鼓励。“但时不时地，事情会发生，”她告诉我。例如，在研究生院，我会在系里的邮箱里收到评论我外表的便条。

总体而言，皮奇里洛在德克萨斯大学的六年时间里表现出色，找到了强大的导师和支持性的研究社区。这段时间恰逢她与数学本身不断加深的联系。她喜欢在脑海中翻来覆去地思考问题，思考如何处理一个更高维度的形状，使其看起来与另一个完全不同的形状相似。这是一部激动人心的、创造性的作品，既是关于美学的，也是关于达到特定结果的。皮奇里洛说：“当你进行计算时，有时你可以使用一些非常聪明的技巧，或者通过某些方式，你可以成为一个真正的人，而不是计算机来执行计算。”“但当你提出合乎逻辑的论点时，那完全是你的事。”

除了学习，皮奇里洛还喜欢做漂亮的东西。她雕刻了一段时间的木勺，还有大型的鱼和蔬菜的木刻版画。她和她的室友威利·詹宁斯(Wiley Jennings)一起搭了一张餐桌。有一段时间，她痴迷于购买和修理70年代的日本摩托车。

“她的美感非常非常强，”詹姆斯·法尔(James Farre)说。他是皮奇里洛的朋友，来自德克萨斯大学，专攻几何学，是耶鲁大学的博士后。在皮奇里洛的水平上，“人们喜欢的数学通常被认为是美丽的或深奥的。”

在听说康威打结问题的第二天，当时27岁的皮奇里洛坐在她的办公桌前，开始寻找解决方案。因为她的大部分研究生工作涉及构建不同但共享一些4-D特性的结对，她已经知道，任何两个共享相同4-D空间的结也都是光滑的-它们要么都是切片的，要么都不是切片的。她解释说，由于她的目标是证明康威结不是切片的，她的第一步是想出一个完全不同的结，具有相同的四维空间。“那我就试着证明另一个结不是薄片。”

在接下来的几天里，她花了几天的空闲时间手绘和操纵康威结占据的4-D空间的配置。今年早些时候，她告诉“广达杂志”：“我不允许自己在白天做这道题，因为我认为它不是真正的数学。”我以为这是我的家庭作业。“。

下一步是试图证明她画的结不是薄片。“文献中已经有很多工具可以做到这一点，”她说。她会将节点迭代输入计算机，“然后根据节点的数据，可能基于它的交叉点的外观，或者其他你可以从节点中提取的数据，算法会产生一个整数。”在不到一周的时间里，Piccirillo创造了一个切中要害的结：它具有与Conway结相同的4-D特性，并且算法发现它不是切片。

她突然成功了，这是无数数学家五十年来失败的地方。她已经解决了康威结的问题。

在取得突破后不久，皮奇里洛参加了与德克萨斯大学数学教授卡梅隆·戈登(Cameron Gordon)的一次会议。当她提到她的解决方案时，戈登表示怀疑。他请皮奇里洛带他走过台阶。“然后他让我把它写下来，就像写在黑板上一样，”她回忆道，“然后他变得非常兴奋，开始大喊大叫。”

皮奇里洛向“数学年鉴”提交了她的解决方案，这家享有盛誉的数学杂志同意发表她的论文。当我请耶鲁大学博士后詹姆斯·法尔(James Farre)解释在“年鉴”上发表论文的意义时，他笑了几秒钟。“它是数学界最重要、最有影响力的期刊，”他说。“这就是我笑的原因。太棒了，太酷了！“。

大约一年后，当皮奇里洛的论文发表在杂志上时，关于她的解决方案的消息已经传遍了整个数学界。2019年从德克萨斯大学毕业后，Piccirillo开始了她在Brandeis的博士后工作。“我最后一次见到她是在一月份，”她在奥斯汀的室友威利·詹宁斯(Wiley Jennings)说，她最近刚在斯坦福大学获得博士学位。“她当时正在斯坦福大学参加教职员工访问。作为一个只读了一年或不到一年博士后的人--刚刚基本完成了博士学位--被邀请，我是说，这太疯狂了。这是闻所未闻的。。。我想那是我第一次得到这样的暗示，哦，我的天哪，她真的是个能手。“。

博士后职位通常为期三到四年，但皮奇里洛发现自己的需求量很大。今年7月，她开始在麻省理工学院担任助理教授，这是一个新的终身教职。这是一场旋风，我想知道她的生活发生了什么变化。“实际的答案不是太多，”她说。她仍然在教本科生，并进行她的研究。不过，她承认，基于她已经取得的成就，有时会有一种压力感。实际上，数学-对每个人来说-都是关于试图证明简单的陈述，但基本上总是失败的。“所以，”她说，“我不得不重新学习如何接受这样一个事实，即当我感受到这些期望的重量时，大多数时候我无法证明真正简单的事情。”

当我问她她的目标时，皮奇里洛说，她的首要任务之一是帮助发展和拓宽数学社区。她说：“当然有很多年轻女性，有色人种，非异性恋或非性别的二元人群，她们觉得数学机构与她们保持着一定的距离。”“对我来说，尽我所能以最小的方式帮助缓解这种情况，这对我来说真的很重要。”她继续说，要做到这一点，一个重要的方法就是帮助打破数学神童的神话。

她说，当大学组织数学会议时，他们应该避免邀请演讲者，这些演讲者“在他们进行得非常快的地方演讲，他们试图向你展示他们有多聪明，他们的研究有多难。”这对任何人都不好，但对年轻人或那些感觉自己可能不属于这里的人来说尤其不好。“。她说，观众中的那些人不知道的是，其他人也没有真正理解它。

皮奇里洛说：“你不一定要真正‘聪明’--不管那意味着什么--才能成为一名成功的数学家。”“有一种观点认为数学家是天才。他们中的许多人似乎都是参加奥运会的神童。事实上，你根本不需要来自那个背景才能非常擅长数学，而大多数数学家，包括许多真正伟大的数学家，都不是来自那个背景。“。

正如皮奇里洛本人所证明的那样，他们中的一些人甚至继续创作改变了数学进程的作品。

约翰·沃尔夫森是“波士顿学院杂志”的编辑。在Twitter@johnwolfson上关注他，并将评论发送到杂志@globe.com。