我的傅里叶本轮

本网站允许您通过上传SVG或鼠标绘制您自己的傅里叶本轮图。我做这个很有趣，所以在最后有一个简短的解释，试图给读者一些数学直觉，关于旋转的圆和傅立叶变换是如何联系在一起的。

我创建这个网站的动机是尝试填补其他工作留下的空白(在最后提到)，并允许用户上传和绘制他们自己的傅立叶本轮。目前的实现还远未完善，但我认为这是一个良好的开端。

上传一张图片，看看它的本轮。为了快速清晰的绘图，上传小于50KB的SVG。不幸的是，在此阶段，大型且路径非常复杂的SVG需要手动调整参数。

$$f(T)=\frac{1}{P}(c_{-N}\cdot e^{i2\pi t\frac{-N}{P}})+...+\frac{1}{P}(c_1\cdot e^{i2\pi t\frac{1}{P}})+...+\frac{1}{P}(c_N\cdot e^{i2\pi t\frac{N}。Sum_{n=-N}^N c_n\cot e^{i2\pi t\frac{n}{P}}$$。

实变量复值函数小f的傅里叶级数(或逆傅立叶变换)由复谐正弦波(复平面上的小正弦波和小余弦波)之和给出。注意，也可以处理实数傅立叶级数，在这种情况下，$\Small f$是实变量的实值函数。然而，这使得公式有些混乱，我们将假设$\Small f$在本文的其余部分中是复值的。在我们的例子中，$\Small e^{i2\pi t\frac{n}{P}}$给出了复谐正弦线族(使用Euler公式展开了解原因)。这些函数由傅立叶系数($\Small c_n$)缩放，其中$\Small n$可解释为和中$n$正弦波的频率。然而，旋转本轮背后的直觉是什么呢？答案来自极坐标形式的复数，具有直观的几何解释。争论大致是这样的：

首先，复数可以被认为是向量，因为实部和虚部给出的数字既有大小也有方向。其次，根据定义，每个极形式的复数都位于一个圆上。还可以观察到，极坐标形式的复数可以用欧拉公式整齐地表示出来。例如：$\mall z=x+iy=r(cos(T)+i sin(T))=re^{it}$。现在，如果我们将$\小t$(或时间)增加1个单位，新的复数就相当于绕着一个圆走了1个单位。所讨论的特定圆的半径为$r$，以原点为中心，初始相位等于$\Small 1$。如果我们继续绕着圆圈走，我们最终会回到起点。具体地说，当$\Small t=2\pi k$($\Small k=0，1，...$)时，我们就绕圆走了一圈。因此，由于傅立叶级数将函数表示为复正弦的和(记住这些也是函数)，并且这些函数的输出完全由复平面中的圆来描述，这意味着我们可以用圆和旋转矢量来表示每个复正弦。因此，我们可以将函数表示为旋转圆和矢量的和。将它们从头到脚连接在一起(即，将它们相加)以找到最终的图纸。希望在这一点上，您已经有了一些直觉，知道为什么旋转的圆可以用来表示波浪。如果不是，这里是一个整齐的动画。

$\小f(T)$是实变量的复值函数。当在计算机上实现离散傅立叶变换时，$\Small f$将是一个复数组，其中$\Small f(T)$对应于索引$\Small t$处的复数。$\Small f(T)$也可以解释为函数/绘图在时间$\Small t$的点。

$\小c_n$傅立叶系数是一个复数，它对半径等于长度的圆上矢量的振幅(半径)和相位(初始位置)进行编码。

$Small e^{i2\pi t\frac{n}{P}}$是一个可用旋转向量表示的复函数，其频率由$Small\frac{n}{P}$给出。即矢量每隔$1$个时间单位完成$\frac{n}{p}$个完整旋转。

$\Small\sum_{n=-N}^N$，意味着我们将任意函数$\Small f(T)$分解成频率在$\Small[-N，N]$范围内的调和正弦和。

$P$，是函数的周期，即所考虑的采样点或时间的数量。例如上式中的$\Small 2N$。

傅里叶变换是用来计算函数的傅里叶系数($\小c_n$)的。然后使用这些系数将函数表示为不同频率、相位和振幅的谐波正弦的加权和。就是这样。不管怎样，这个网站把数学知识留在那里(参见页面末尾以获取更多资源)，取而代之的是享受一些乐趣，画或者上传你自己的图画。