数学家报告关于十二面体的新发现

尽管数学家们已经花了2000多年的时间来剖析柏拉图式的五种立体--四面体、立方体、八面体、二十面体和十二面体--但我们对它们仍有很多不了解的地方。

现在，三位数学家已经解决了关于十二面体的一个最基本的问题。

假设你站在柏拉图立体的一角。有没有一条笔直的道路可以让你最终回到起点，而不需要经过其他任何角落？对于由正方形或等边三角形构成的四种柏拉图固体--立方体、四面体、八面体和二十面体--数学家最近得出的答案是否定的。任何从拐角开始的笔直的小路，要么会遇到另一个拐角，要么就会永远绕过而不回家。但是，对于由12个五边形组成的十二面体，数学家们并不知道会发生什么。

现在Jayadev Atriya，David Aulicino和Patrick Hooper已经证明，事实上在十二面体上确实存在无限数量的这样的路径。他们的论文发表在五月份的“实验数学”上，表明这些路径可以分为31个自然家族。

这个解决方案需要现代技术和计算机算法。巴黎Jussieu数学研究所的Anton Zorich在一封电子邮件中写道：“20年前，(这个问题)是绝对遥不可及的；10年前，它需要付出巨大的努力来编写所有必要的软件，所以现在所有的因素都集中在一起了。”

该项目始于2016年，当时华盛顿大学的阿特里亚和布鲁克林学院的奥利西诺开始玩一系列折叠成柏拉图固体的卡片纸。当他们建造不同的实体时，奥利西诺突然想到，最近一系列关于平面几何的研究可能正是他们理解十二面体上的直线路径所需的。“我们真的是把这些东西放在一起，”阿特里亚说。“因此，这是一种闲置的探索，遇到了机会。”

与纽约城市学院的胡珀一起，研究人员想出了如何将所有从一个角落返回自身、避开其他角落的直线路径进行分类的方法。

芝加哥大学的霍华德·马苏尔说，他们的分析是“一个优雅的解决方案”。“这是我可以毫不犹豫地说‘天哪，哦，我真希望我这么做了！’的其中一件事！”

尽管一个多世纪以来，数学家们一直在猜测十二面体上的直线路径，但近年来，随着对“平移面”的理解有所进展，人们对这一主题的兴趣又重新燃起。这些表面是通过将多边形的平行边粘合在一起形成的，事实证明，它们对于研究涉及带角形状上的直线路径的广泛主题很有用，从台球桌轨迹到一盏灯什么时候可以照亮整个镜像房间的问题。

在所有这些问题中，基本思想是以一种使您正在研究的路径更简单的方式展开您的形状。因此，要理解柏拉图实体上的直线路径，你可以从切割足够多的边开始，使实体平躺，形成数学家所说的网。例如，立方体的一个网是由六个正方形组成的T形。

想象一下，我们已经将十二面体展平，现在我们正沿着这个扁平的形状朝某个选定的方向行走。最终，我们将到达网的边缘，在这一点上，我们的路径将跳跃到不同的五角形(无论哪个五角形在我们切开十二面体之前粘在我们当前的五角形上)。每当路径跳跃时，它也会旋转36度的某个倍数。

为了避免所有这些跳跃和旋转，当我们碰到网的边缘时，我们可以把胶水粘在一个新的、旋转过的网上，然后继续直接进入网中。我们添加了一些冗余：现在我们有两个不同的五边形代表原始十二面体上的每个五边形。因此，我们让我们的世界变得更加复杂，但我们的道路变得更加简单。每当我们需要扩张到我们世界的边缘时，我们都可以不断增加一个新的网络。

当我们的路径已经穿过10张网时，我们已经将原来的网旋转了36度的每一个可能的倍数，我们添加的下一张网的方向将与我们开始时的方向相同。这意味着这第11张网通过一个简单的移动(数学家称之为平移)与原来的一张网联系在一起。我们可以简单地将第10张网的边缘粘到原始网中相应的平行边上，而不是粘在第11张网上。我们的形状将不再平放在桌子上，但数学家认为它仍然“记住”其前身的平面几何形状-因此，例如，如果路径在未粘合的形状中是直的，那么它们就被认为是直的。在我们对相应的平行边做了所有可能的粘合之后，我们最终得到了所谓的平移面。

生成的曲面是十二面体的高度冗余表示，每个五边形都有10个副本。而且它要复杂得多：它粘成一个有81个孔的甜甜圈的形状。然而，这一复杂的形状让三位研究者得以接触到丰富的翻译面理论。

为了处理这个巨大的表面，数学家们卷起袖子-比喻地和字面上的。在研究这个问题几个月后，他们意识到81孔的甜甜圈曲面不仅形成了十二面体的冗余表示，而且还形成了研究最多的平移曲面之一的冗余表示。它被称为双五边形，它是将两个五边形沿着一条边连接在一起，然后将平行的边粘在一起，形成一个具有丰富对称性的两孔甜甜圈。

这个形状恰好也纹身在阿瑟莉亚的手臂上。“双五角形是我已经知道并喜欢的东西，”阿特里亚说，他在和奥利西诺开始考虑十二面体之前一年就纹身了。

由于双五边形和十二面体是几何近亲，前者的高度对称性可以解释后者的结构。芝加哥大学的亚历克斯·埃斯金(他在大约15年前是阿瑟里亚的博士导师)说，这是一种“惊人的隐藏对称性”。“十二面体有这个隐藏的对称群的事实，我认为是相当了不起的。”