海岸线悖论

跳跃导航跳跃搜索海岸线悖论是一种违反直觉的观察，即一块大陆的海岸线没有明确的长度。这是由海岸线的分形曲线性质造成的，即海岸线通常具有分形维数(这实际上使得长度的概念不适用)。刘易斯·弗莱·理查森(Lewis Fry Richardson)[1]首次有记录地观察到了这一现象，伯努瓦·曼德尔布洛特(Benoit Mandelbrot)对其进行了。[2]。

测量的海岸线长度取决于测量海岸线的方法和制图综合的程度。由于陆地具有各种尺度的特征，从数百公里大小到一毫米以下的极小部分，在测量时没有明显的最小特征的大小需要考虑，因此没有一个明确定义的陆地周长。当对最小特征尺寸进行特定假设时，存在各种近似。

这个问题从根本上不同于对其他更简单的边的测量。例如，通过使用测量设备来确定长度小于某个量而大于另一个量，即在一定程度的不确定度内测量，可以精确地测量直的、理想化的金属棒的长度。测量装置越精确，结果就越接近边缘的真实长度。然而，当测量海岸线时，更近的测量不会导致精度的增加-测量只会增加长度；与金属棒不同的是，没有办法获得海岸线长度的最大值。

在三维空间中，海岸线悖论很容易扩展到分形曲面的概念，即曲面的面积随测量分辨率的不同而变化。

长度的基本概念源于欧几里得距离。在欧几里得几何中，直线表示两点之间的最短距离。这条线只有一条长度。在球体曲面上，此长度由测地线长度(也称为大圆长度)代替，测地线长度沿包含球体端点和中心的平面中存在的曲面曲线进行测量。基本曲线的长度比较复杂，但也可以计算。用尺子测量，可以通过将连接点的直线之和相加来近似计算曲线的长度：

使用几条直线来近似一条曲线的长度将产生比实际长度更低的估计值；当使用越来越短(因此更多)的直线时，总和将接近曲线的真实长度。这个长度的精确值可以使用微积分找到，微积分是数学的一个分支，可以计算无限小的距离。以下动画说明如何有意义地为平滑曲线指定精确长度：

但是，并不是所有的曲线都可以用这种方式测量。根据定义，分形是一条复杂程度随测量尺度变化的曲线。虽然平滑曲线的近似值随着测量精度的增加而趋于单值，但分形的测量值并不收敛。

由于分形曲线的长度总是发散到无穷大，如果要以无限或接近无限的分辨率测量海岸线，那么海岸线上无限短的扭结的长度加起来就是无穷大。[3]然而，这个数字依赖于这样的假设，即空间可以细分为无限小的部分。这一假设的真实值--它是欧几里德几何学的基础，在日常测量中是一个有用的模型--是一个哲学上的推测问题，可能反映也可能不反映原子水平(大约纳米尺度)空间和距离的变化现实。例如，普朗克长度，比原子小许多个数量级，被认为是宇宙中可能的最小可测量单位。

海岸线在构造上不如理想化的分形(如曼德布罗特集)那么明确，因为它们是由各种自然事件形成的，这些自然事件以统计上随机的方式创造了模式，而理想化的分形是通过简单的公式化序列的重复迭代形成的。[4]。

阿拉斯加边界争端-阿拉斯加和加拿大对阿拉斯加狭长柄的主权主张有很大不同，这是基于对模糊短语的相互竞争的解释，该短语将边界设定在与海岸绕线平行的一条线上，适用于峡湾密集地区。

曼德尔布洛特，伯努瓦(1983)。自然界的分形几何。W.H.弗里曼和公司，25-33。ISBN电话：978-0-7167-1186-5。

海因茨-奥托·佩根、哈特穆特·尤尔根斯、迪特马尔·索普、“混沌与分形：科学的新前沿”，2004年春季版，第424页。

海岸线，分形几何(编辑)。Michael Frame，Benoit Mandelbrot和Nial Neger；耶鲁大学数学190a)