数学家在一个古数问题上开辟新战线

20世纪90年代中期，佩斯·尼尔森还是一名高中生，他遇到了一个数学问题，直到今天，他仍然在为解决这个问题而苦苦挣扎。但他并不觉得难受：让他着迷的被称为奇数猜想的问题已经存在了2000多年，使其成为数学中最古老的悬而未决的问题之一。

这个问题长期存在的部分吸引力来自于基本概念的简单性：如果一个数字是正整数n，其除数加起来正好是数字本身的两倍，即2n，那么它就是完美的。第一个也是最简单的例子是6，因为它的除数--1、2、3和6--加起来是12，或者说2乘以6。然后是28，它的1、2、4、7、14和28的除数加起来是56。接下来的示例是496和8,128。

莱昂哈德·欧拉在17世纪引入了他的σ(σ)函数，对一个数的除数求和，从而将这个定义形式化。因此，对于完全数，σ(N)=2n。

但早在公元前500年，毕达哥拉斯就意识到了完美数字，两个世纪后，欧几里得设计了一个公式，可以产生甚至完美的数字。他证明了如果p和2p−1是素数(其唯一的因子是1和它们自己)，则2p−1×(2p−1)是完美数。例如，如果p是2，则公式给出2 1×(2 2−1)或6，如果p是3，则得到2 2×(2 3−1)或28-前两个完全数。两千年后，欧拉证明了这个公式实际上生成了每个偶数，尽管偶数集是有限的还是无限的仍然是未知的。

尼尔森现在是杨百翰大学(BYU)的教授，他被一个相关的问题所困扰：是否存在奇数完全数(OPN)？希腊数学家尼科马库斯在公元100年左右宣称，所有的完美数都必须是偶数，但从来没有人证明过这一说法。

像他的许多21世纪同龄人一样，尼尔森认为可能没有任何OPN。而且，和他的同龄人一样，他不相信证据是立竿见影的。但去年6月，他偶然发现了一种新的方法来处理这个问题，这可能会带来更多的进展。它涉及到迄今发现的最接近OPNS的东西。

尼尔森第一次学习完美数字是在一次高中数学竞赛中。他钻研文献，偶然发现卡尔·波梅兰斯1974年的一篇论文，他是一名数学家，现在在达特茅斯学院工作。这篇论文证明，任何OPN都必须至少有七个不同的素因子。

尼尔森说：“看到在这个问题上可以取得进展，这给了我天真的希望，也许我可以做点什么。”“这激励我在大学里学习数论，并努力推动事情向前发展。”他关于OPNS的第一篇论文发表于2003年，对这些假设数字施加了进一步的限制。他不仅证明了具有k个不同素因子的OPN的数目是有限的，正如伦纳德·迪克森在1913年所建立的那样，而且这个数目的大小必须小于24k。

这些既不是为假想的OPNS设定的第一个也不是最后一个限制。例如，1888年，詹姆斯·西尔维斯特(James Sylvester)证明了没有一个OPN能被105整除。1960年，KarlK.Norton证明了如果OPN不能被3、5或7整除，则它至少有27个素因子。同样在杨百翰大学工作的保罗·詹金斯(Paul Jenkins)在2003年证明，OPN的最大素因数必须超过1000万。帕斯卡尔·奥切姆(Pascal Ochem)和米歇尔·劳(Michaël Rao)最近确定，任何OPN都必须大于101500(后来又将这个数字推到了102000)。尼尔森在2015年表示，OPN必须至少有10个不同的素数因素。

即使在19世纪，已经有足够的限制促使西尔维斯特得出结论：“[一个奇特完美的数字]的存在--可以说，它从四面八方的复杂条件网中逃脱--几乎是一个奇迹。”在经历了一个多世纪的类似发展之后，OPNS的存在看起来更加可疑。

达特茅斯大学的数学教授约翰·沃伊特(John Voight)说：“只要你能找到一个例子，就很容易证明某种东西的存在。”“但要证明某些东西不存在可能真的很难。”

到目前为止，主要的方法是查看施加给OPNS的所有条件，看看是否至少有两个是不相容的-换句话说，表明没有一个数字可以同时满足限制A和限制B。“到目前为止，各种条件的拼凑使得(OPN)极不可能出现，”沃伊特说，呼应了西尔维斯特的观点。“多年来，PACE一直在增加这一条件。”

遗憾的是，尚未发现任何不兼容的属性。因此，除了需要对OPNS施加更多限制外，数学家可能也需要新的策略。

为此，尼尔森已经在考虑一种新的攻击计划，该计划基于数学中的一种常用策略：通过研究近亲来了解一组数字。由于没有OPN可以直接研究，他和他的团队转而分析“恶搞”的奇特完美数字，这些数字非常接近于OPN，但在有趣的方面还不够。

1638年，勒内·笛卡尔(RenéDescartes)发现了第一个恶搞，他是第一批认为OPNS可能真的存在的杰出数学家之一。密苏里大学的数学家威廉·班克斯(William Banks)说，“我相信笛卡尔试图找到一个奇特的完美数字，他的计算让他得到了第一个假冒数字。”笛卡尔显然抱有希望，他起草的数字可以被修改，以产生真正的OPN。

但在我们深入了解笛卡尔的恶搞之前，多了解一下数学家是如何描述完全数的是有帮助的。一个可以追溯到欧几里得的定理指出，任何大于1的整数都可以表示为素数因子或基的乘积，并上升到正确的指数。例如，我们可以用以下因式分解写出1260：1260=2.2×3.2×5.1×71，而不是列出所有36个单独的因子。

如果一个数采用这种形式，由于欧拉也证明了两个关系，计算欧拉的σ函数和它的因子就变得容易得多。首先，他证明了σ(a×b)=σ(A)×σ(B)，当且仅当a和b是相对素数(或互质)，这意味着它们没有素因子；例如，14(2×7)和15(3×5)是互质的。其次，他证明了对于任意具有正整数指数a的素数p，σ(P A)=1+p+p2+…。P a.。

因此，回到前面的示例，σ(1,260)=σ(2 2×3 2×5 1×7 1)=σ(2 2)×σ(3 2)×σ(5 1)×σ(7 1)=(1+2+2 2)(1+3+32)(1+5)(1+7)=4,368。请注意，在本例中，σ(N)不是2n，这意味着1,260不是完美数字。

现在我们可以检查笛卡尔的假冒数字，即198,585,576,189，或3.2×7 2×11 2×13 2×22,021 1。重复上述计算，我们发现σ(198,585,576,189)=σ(3 2×7 2×11 2×13 2×22,021)=(1+3+32)(1+7+7 2)(1+11+11 2)(1+13+13 2)(1+22,021)。这恰好是原来数字的两倍，这意味着它看起来是一个真正的、活的OPN-除了22,021实际上不是质数的事实。

这就是笛卡尔数是一个恶作剧的原因：如果我们假设22,021是素数，并将欧拉规则应用于sigma函数，笛卡尔数的行为就像一个完美的数。但是22,021实际上是192和61的乘积。如果笛卡尔的数字被正确地写成3 2×7 2×11 2×13 2×192×6 1 1，那么σ(N)就不等于2n，通过放松一些常规规则，我们最终得到一个似乎满足我们要求的数字--这就是恶搞的本质。

第二个恶搞OPN花了361年才曝光，这一次要归功于Voight在1999年(并在4年后出版)。为什么滞后时间这么长？班克斯说：“找到这些假冒的数字类似于找到奇数，两者在算术上都有相似的复杂程度。”对许多数学家来说，寻找它们也不是当务之急。但博伊特的灵感来自于理查德·盖伊(Richard Guy)在“数论中未解决的问题”(Unsolved Problems In Number They)一书中的一段话，这段话。博伊特进行了尝试，最终想出了他的恶搞，3.4×72×112×192×(−127)1，或−22,017,975,903。

与笛卡尔的例子不同，所有的除数都是质数，但这一次其中一个是负数，这就是为什么它是一种恶作剧，而不是真正的OPN。

2016年12月，沃伊特在杨百翰大学举办研讨会后，与尼尔森、詹金斯等人讨论了这个数字。此后不久，杨百翰大学的团队开始了系统的、基于计算的搜索，以寻找更多的恶作剧。他们会选择最小的底数和指数开始，例如3 2，然后他们的计算机会对任何可能导致欺骗OPN的额外的底数和指数的选项进行排序。尼尔森认为这个项目只会为学生提供一次激动人心的研究体验，但分析的结果比他预期的要多。

在使用了20个并行处理器三年后，研究小组发现了所有可能的具有6个或更少碱基的因子分解的假冒数字-总共21个假冒数字，包括笛卡尔和沃伊特的例子-以及两个具有7个碱基的假冒因子分解。从计算的角度来看，搜索具有更多碱基的恶搞是不切实际的，也是极其耗时的。尽管如此，该小组还是积累了足够的样本，发现了一些以前不为人知的恶搞特性。

该小组观察到，对于任何固定数量的碱基，k，都有有限数量的欺骗，这与迪克森1913年对成熟的OPNS的结果是一致的。“但是如果你让k变成无穷大，恶作剧的数量也会变成无穷大，”尼尔森说。他补充说，这是一个惊喜，因为他不知道进入这个项目会出现一个新的奇怪的恶作剧-更不用说显示它们的数量是无限的了。

另一个令人惊讶的结果来自欧拉最先证明的一个结果，即OPN的所有素数基都被提升到偶数次幂，除了一个被称为欧拉幂的素基-它有一个奇数指数。大多数数学家认为OPNS的欧拉幂总是1，但杨百翰大学的团队证明了它可以任意大小来进行恶搞。

这个团队获得的一些“赏金”来自于放宽了恶搞的定义，因为没有铁一般的数学规则来定义它们，除了它们必须满足欧拉关系σ(N)=2n之外。杨百翰大学的研究人员允许非素基(如笛卡尔的例子)和负基(如沃伊特的例子)。但他们也以其他方式歪曲规则，炮制了一些恶搞，它们的基都有素因子：例如，一个基可以是7 2，另一个是7 3，它们可以单独写成7 5，而不是组合成7 5。或者它们有重复的碱基，就像在恶搞3 2×7 2×7 2×13 1×(−19)2中所发生的那样。7 2×7 2项本可以写成7 4，但后者不会导致恶搞，因为修改后的σ函数的展开是不同的。

考虑到恶搞和OPN之间的重大偏差，人们可能会合理地问：前者如何证明对寻找后者有帮助？

尼尔森说，本质上，恶搞OPNS是OPNS的概括。OPN是包含欺骗的更广泛家族中的一个子集，因此OPN必须共享欺骗的所有属性，同时拥有更严格的附加属性(例如所有基必须是素数的规定)。

尼尔森说：“较大集合的任何行为都必须适用于较小的子集。”因此，如果我们发现任何不适用于限制较多的类的欺骗行为，我们可以自动排除OPN的可能性。例如，如果有人能证明，恶搞必须能被105整除--这对OPNS来说不可能是真的(就像西尔维斯特在1888年证明的那样)--那么就是这样。问题解决了。

然而，到目前为止，他们还没有这样的运气。尼尔森说：“我们发现了有关恶搞的新事实，但这些事实都没有削弱OPNS的存在，尽管这种可能性仍然存在。”尼尔森和其他数学家通过进一步分析目前已知的欺骗行为，也许未来还会加入这一清单-这两种研究途径都是由他的工作建立的-尼尔森和其他数学家可能会发现欺骗行为的新特性。

银行认为这种做法值得追求。他说：“调查奇数可能有助于理解奇数的结构，如果它们存在的话。”“如果奇完全数不存在，对奇数的研究可能会证明它们不存在。”

包括沃伊特和詹金斯在内的其他OPN专家则不那么乐观。博伊特说，杨百翰大学的团队“做得很好”，“但我不确定我们是否离解决OPN问题的方向更近了。”这确实是一个世世代代的问题，(而且)可能还会持续下去。“。

佐治亚大学的数学家保罗·波拉克也持谨慎态度：“如果我们能盯着恶搞清单，看到一些财产，并以某种方式证明没有OPNS拥有这些财产，那就太好了。”如果真的成功，那将是一个美好的梦想，但它似乎太好了，以至于不可能是真的。“。

尼尔森承认，希望渺茫，但如果数学家想要解决这个古老的问题，他们需要尝试一切方法。此外，他说，对恶搞的协同研究才刚刚开始。他的团队采取了一些早期措施，他们已经发现了这些数字意想不到的特性。这让他对揭露恶搞中更多的“隐藏结构”持乐观态度。

尼尔森已经确定了一种可能的策略，这是基于这样一个事实，即迄今为止发现的每一种恶搞，除了笛卡尔最初的例子之外，至少都有一个负面的基础。证明所有其他的恶搞必须有一个负基，这反过来又会证明不存在OPNS-因为根据定义，OPNS的基必须既是正的，又是质数的。

“这听起来是个很难解决的问题，”尼尔森说，因为它属于一个更大、更一般的数字类别。但有时，当你将一个问题转化为一个看似更困难的问题时，你会看到一条通往解决方案的道路。

数论需要耐心，因为这里的问题往往很容易陈述，但很难解决。尼尔森说：“你必须考虑这个问题，也许要考虑很长一段时间，并且要关心它。”“我们正在取得进展。我们正在慢慢地修整这座山。人们希望，如果你不断地切开，最终可能会找到一颗钻石。“