当数学变得不可思议地难的时候

我们喜欢说一切皆有可能。在诺顿·贾斯特的小说“幽灵收费亭”中，国王拒绝告诉麦洛他的任务是不可能的，因为“很多事情都是可能的，只要你不知道它们是不可能的。”然而，在现实中，有些事情是不可能的，我们可以用数学来证明。

人们对“不可能”一词的用法多种多样。它可以描述那些仅仅是不太可能的事情，比如找到一模一样的洗过牌的牌组。它可以描述由于缺乏时间、空间或资源而几乎不可能完成的任务，比如用手抄写国会图书馆的所有书籍。像永动机这样的设备在物理上是不可能的，因为它们的存在会与我们对物理学的理解相矛盾。

数学上的不可能性是不同的。我们从明确的假设开始，使用数学推理和逻辑得出某些结果是不可能的。再多的运气，再多的毅力，再多的时间，再多的技能也不可能完成这项任务。数学史上充斥着不可能的证明。其中许多都是数学领域最著名的成果之一。但情况并不总是如此。

对可能是不可能的第一个证据的惩罚是严厉的。历史学家认为，在公元前5世纪，邪教领袖毕达哥拉斯的追随者梅塔蓬图姆的希帕索斯发现，不可能找到一条可以首尾相连地测量常规五角形的边和对角线的线段。今天，我们说边长为1的正五边形的对角线的长度-黄金比例，$LaTeX\φ$=$LaTeX\frac{1}{2}$(1+$LaTeX\sqrt{5}$)-是“无理的”。希帕索斯的发现与毕达哥拉斯“一切皆为数字”的信条背道而驰，因此，根据传说，他要么在海上溺水身亡，要么被毕达哥拉斯流放。

一个多世纪后，欧几里德提升了直线和圆，认为它们是几何学中的基本曲线。此后，几代几何学家只使用指南针和直尺进行构造-平分角度、绘制垂直平分线等等。但某些看似简单的建筑阻碍了希腊几何学家的发展，最终呈现出一种神话般的地位，并让数学家们烦恼了2000多年：将任何给定的角度三分法，产生一个体积是给定立方体的两倍的边，创建每个正多边形，并构造一个面积与给定圆相同的正方形。

虽然这些问题本质上是几何问题，但它们不可能的证明不是几何问题。要证明它们是无法解决的，需要新的数学知识。

17世纪，勒内·笛卡尔(RenéDescartes)有了一个根本性的发现：假设我们把自己限制在指南针和直尺上，就不可能构造出每一段长度的线段。比方说，如果我们从长度为1的段开始，如果它可以用整数、加、减、乘、除和平方根来表示(就像黄金比例一样)，那么我们只能构造另一个长度的段。

因此，证明几何问题是不可能的(即不可构造的)的一种策略是显示最终图形中某些线段的长度不能用这种方式书写。但要做到这一点，严格要求初露头角的代数领域。

两个世纪后，笛卡尔的同胞皮埃尔·万策尔(Pierre Wantzel)使用多项式(系数和变量的幂和)及其根(使多项式等于零的值)来攻击这些经典问题。在立方体加倍问题中，例如，一个体积是单位立方体两倍的立方体的边长为$LaTeX=\sqrt[3]{2}$，它是多项式x³和−2的根，因为{($LaTeX{SQRT[3]{2}$)³-−2=0)。

1837年，Wantzel证明了如果一个数是可构造的，那么它一定是一个不能因式分解的多项式的根，并且它的次数(x的最大幂)是2的幂。例如，黄金比例是2次多项式的根：x²−和x−1，但是−2是三次多项式，所以($LaTeX[3]{2}$)是不可构造的。因此，Wantzel得出结论，不可能将立方体翻倍。

以类似的方式，他证明了不可能使用经典的工具来对每个角度进行三分，或者构造某些正多边形，例如七条边的多边形。值得注意的是，所有三个不可能的证据都出现在同一页上。正如艾萨克·牛顿和阿尔伯特·爱因斯坦各自都有自己的奇幻之年，或许我们应该称之为奇幻之年--神奇的一页。

要证明剩下的问题是不可能的，摆正这个圆圈，需要一些新的东西。1882年，费迪南德·冯·林德曼通过证明π是超越的，也就是说，π不是任何多项式的根，从而证明了一个关键结果--BGP是不可构造的。

这些经典问题可能会成为声名狼藉的警报器，他们的歌声引诱数学家们坠落在不可能的岩石海岸上。但我认为他们是激励了一代又一代创造性思想家的缪斯女神。

同样的道理也适用于最近的一个不可能的问题，这个问题是由过桥的简单行为引起的。想象一下，你和我的许多学生一样，住在匹兹堡这个“桥梁之城”。一个喜欢冒险的骑自行车的人可能会想，是否有可能从家里出发，在跨越匹兹堡主要河流的22座桥中每座桥上恰好骑一次，最后回到家。

1735年，一位普鲁士市长就哥尼斯堡(现在的加里宁格勒)向莱昂哈德·欧拉提出了同样的问题，哥尼斯堡是一座有七座桥连接三个河岸和一个岛屿的城市。起初，欧拉把这个问题斥为非数学问题：“这种类型的解与数学几乎没有关系，我不明白为什么你期望一个数学家，而不是其他任何人来做它。”

然而，欧拉很快就证明了这是不可能的，在这样做的过程中，他创造了一个他称之为位置几何学的领域，我们现在称之为拓扑学。他认识到确切的细节-桥梁的确切位置，陆地的形状等等-并不重要。重要的是关系。后来的数学家用我们现在所说的图或网络简化了欧拉的论点。这种连通性的概念是社交网络、互联网、流行病学、语言学、最佳路线规划等研究的核心。

欧拉的证明出奇地简单。他推论说，我们每次进出一个地区，都必须过两座桥。因此，每一块陆地都必须有偶数座桥。因为哥尼斯堡的每一块大陆都有奇数座桥，所以这样的往返旅行是不可能的。同样，阿勒格尼河中通往赫尔斯岛的三座桥使得匹兹堡的自行车赛道在数学上是不可能的。

正如这个问题所展示的那样，不可能的结果并不局限于抽象数学领域。它们可能会有现实世界的影响-有时甚至是政治影响。

最近，数学家们把注意力转向了不公正的选区划分。在美国，每次人口普查后，各州都必须重新划分国会选区，但有时执政党会将州划分为荒谬的形状，以最大限度地扩大自己的席位，从而扩大自己的政治权力。

许多州要求学区“紧凑”，这是一个没有固定数学定义的术语。1991年，Daniel Polsby和Robert Popper提出了4πA/P²值作为衡量面积A和周长P的小区紧凑度的一种方法。对于圆形小区，取值范围从1到接近于零，对于具有长周长的畸形小区，取值范围从1到接近零。

与此同时，尼古拉斯·斯蒂芬诺普洛斯(Nicholas Stephanopoulos)和埃里克·麦吉(Eric McGhee)在2014年引入了“效率差距”，以衡量重新划分选区计划的政治公平性。两种不公正的选区划分策略是确保反对党在选区中保持在50%的门槛以下(称为裂解)，或接近100%的水平(堆积)。任何一种策略都会迫使另一党将选票浪费在落选的候选人或赢得不需要选票的候选人身上。效率差距反映了浪费选票的相对数量。

这些都是侦测不公正划分选区的有用措施。但在2018年，鲍里斯·阿列克谢夫(Boris Alexeev)和达斯汀·米克森(Dustin Mixon)证明了“有时，只有在形状奇特的地区，才有可能出现微小的效率差距。”也就是说，在数学上不可能总是画出满足某些波尔斯比-波普尔和效率差距公平目标的地区。

但是，找到检测和防止党派不公正划分选区的方法是一个活跃的学术领域，吸引了许多有才华的研究人员。就像古代问题和哥尼斯堡桥问题一样，我相信重新划分选区的问题将激发创造力，推动数学向前发展。