在I-5路上跳舞的果园

上一次我在I-5上花了很长时间，我开始考虑信封。这一次，我开始想到果园。当你沿着中央山谷高速公路行驶时，你可以看到成千上万排完美的树木。你实际上可以在谷歌的卫星图像上从顶部看到它们；试着慢慢放大这一点，它真的很漂亮。

当你开车经过它们的时候，你看到的是侧视而不是俯视。事实上，你可以看到运动中的侧视--树木看起来像是在跳一种精心制作的舞蹈，连续地排成不同的队形，以不同的角度排成不同的行。当然，真的是你在移动；树是静止的，但通过从不同的角度观察它们，你可以看到网格的不同“排列”。

这种影响在新种植的树上最为明显(或者那些可能是标志性的？)，那里没有树叶挡住地平线。

我当时没有想过要拍一段视频，但你可以想象，随着汽车稍微向前移动，图案会以一种令人难以置信的令人满意的方式重新排列。

我对你在那张照片中看到的多个“消失点”很感兴趣。树木规则地分布在一个正方形的网格中，但不知何故有多个(！)。不规则间距(！！)。沿着地平线的几个点，一排排树木似乎汇聚到这些点上。这是怎么回事-这些模式有模式吗？你可以在这里停止阅读，以便在下一次公路旅行中有思考的食粮，或者你可以继续阅读我的想法。

I-5树是一个众所周知的主题的变体：一个叫做欧几里德‘sorchard(维基百科，数学世界)的主题。你站在平面的原点上，在每个整数点上都有一条垂直于平面向上延伸一个单位的线段(“树”)。你从你的有利位置看到的是欧几里德的果园。试着想象一下它是什么样子；然后，在这里使用它的JavaScript模拟。

欧几里德果园的主要思想是，整数点(x，y)处的树遮挡了该点(nx，ny)的任意整数倍处的树，所以你看不到它们后面的任何东西。而且，近处的树看起来比远处的树更高，因为这就是透视的原理。因此，有一个“地平线”，在每个方向上，你要么看到(1)如果方向的坡度是有理的，那么这棵树就会变短；(2)如果方向的坡度是无理的，那么这棵树就会变得更短；(2)如果方向的坡度是无理的，你什么都看不到。用它可以得到各种各样的乐趣：见前面的例子，与斐波纳契数有很好的联系。

照片中的I-5果园很相似，但现在我们从某个高度来看它。想象一下，将地平线上的每个点映射到我必须将相机指向的方向，才能直视该点。“消失点”沿着这些方向有很多树，给人一种“排成排”的错觉。这是什么意思？这意味着，如果你沿着欧几里德果园里的那条射线走，你会比其他射线更频繁地撞到树上。换句话说，这些射线代表的方向的斜率是有理数的，分母很小。

嗯，…。具有小分母的有理…。在…之前，我在哪里写过这方面的博客？？对-大约四年前，我们显示2^12864326以数字“10000000…”开头。(以及其他数论恶作剧)。我不是开玩笑，有理逼近真的是我最喜欢的话题之一！

下面是对其重要性的更多解释：当您开始将InCircle填充到某个级别时，您将通过列出圆和X轴的切点来生成一个称为“FareySequence”的分数序列。Farey序列是分母小于某个界限的完全约化分数的列表。将这两个事实放在一起：圆圈的切点代表“具有小分母的有理”的点-这正是我们认为我们的I-9果园的“消失点”！

回过头来看这幅图，这有点可信。我们看到几个“强”消失点，然后是在强消失点之间的“弱”消失点，然后是强消失点和弱消失点之间的“弱”消失点，以此类推。

这有很多很酷的含义。例如，地平线上的“最小图案”区域将对应于“强烈扭曲近似”的区域；因此，您可以预期它们位于距您视线的黄金比率的正负斜率处。