具有封闭类时间曲线和自由选择的可逆动力学

205011广义相对论预言了封闭的类时间曲线(CTC)的存在，从理论上讲，这将允许观察者回到过去，并与他们过去的自己互动。这就提出了这样一个问题：这是否会造成祖父悖论，在这种悖论中，观察者以这样一种方式相互作用，以阻止他们自己的时间旅行。以前的研究已经提出了一个确定性的、可逆的、与非平凡时间旅行兼容的动力学框架，在这个框架中，时空不同区域的观察者可以执行任意的局部操作，而不会产生任何矛盾。然而，只有最多有三个区域的场景才被完全描述，只揭示了一种类型的过程，观察者可以验证它们既处于彼此的过去，也处于对方的未来。在这里，我们将这种刻画推广到任意数量的区域，并发现存在几个不等价的过程，它们只可能由于非平凡的时间旅行而出现。这支持了这样一种观点，即在有CTC的情况下，复杂的动态是可能的，与自由选择当地业务相兼容，并且没有不一致之处。

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物理学中占主导地位的范式依赖于这样一种观点，即系统根据动力学定律随着时间的推移而演变，给定时间的状态决定了系统的整个历史。

广义相对论挑战了这一观点。描述时空几何和质量-能量关系的爱因斯坦方程[1]具有与直觉相反的解，其中包含封闭的类时间曲线(CTC)[2-17]。这样一条曲线上的事件既是未来的，也是过去的，这会阻止根据初始条件问题的一般动力学公式。于是，问题就出现了，是否有可能出现某种更一般类型的动力学。

虽然CTC在我们的宇宙中是否可能是一个悬而未决的问题[18-22]，但考虑超越普通时间视图的动力学也与其他研究领域相关。在量子物理学和广义相对论相结合的理论中，预计时空会失去其经典性质[23，24]，可能导致不确定的因果结构[25-27]。在一个完全不同的方向上，有人建议量子物理学可以简化为某种倒因果的经典动力学[28-39]。

抛弃普通因果关系产生的主要问题是所谓的祖父悖论：时间旅行者可能会杀死她自己的祖父，从而阻止她自己的出生，从而导致逻辑上的不一致。一种流行的方法认为，祖父悖论使CTC与经典物理不相容，而对量子物理进行适当的修改可以恢复一致性[41-56]。这种方法中的提议的一个共同特点是，它们假定即使在没有四氯化碳的时空区域，或者在时间旅行系统实际上没有与过去的任何东西相互作用的情况下，也会与普通物理发生根本的背离[57，58]。

另一种不同的方法是所谓的过程矩阵形式主义，它将普通物理定律的局部有效性作为起点，并询问什么类型的全局过程与这一假设兼容[59-74]。这一框架强制所有在普通时空中通常可能进行的操作在局部区域仍然可用。首先在量子背景下考虑，这种方法也被应用于经典物理，发现了与事件之间的任何因果顺序不相容的经典过程[75-77]。

在参考文献[78]中，提出了一种经典的、确定性的形式主义版本，作为CTCS的可能模型。在该模型中，考虑一组不包含任何CTC但可能被CTC遍历的区域。区域中的Agent接收来自过去边界的经典状态，对其执行任意确定性操作，然后将系统发送到未来边界。作为由其他代理准备的状态的函数，区域外的动态确定每个代理在各自区域的过去将观察到的状态。对于涉及三个区域的所有过程，给出了一个简单的刻画；此外，还发现，对于三个区域，所有的非因果序过程本质上是等价的。

在这项工作中，我们将确定性过程的刻画推广到任意数量的区域。我们对这一特征提供了一些简单的解释：当将状态固定在除两个区域之外的所有区域的未来时，剩下的两个区域必须是因果有序的，并且只可能有一个方向信号。通过明确的例子，我们证明了存在不等价的、非因果序的四方过程，它们不能归结为三方过程。我们的结果表明，CTC不仅与决定论和操作的本地自由选择兼容，而且与丰富多样的场景和动态过程兼容。

本节旨在修订和总结参考文献[78]的方法和与任意确定性经典过程的完全表征相关的结果。

在普通动力学中，进程是将给定时间的系统状态映射到未来时间的状态的函数。在操作上，我们可以认为过去的状态是准备，而未来的状态是测量的结果。制备和测量之间的函数关系通常由系统的动力学决定。例如，场方程将未来类太空表面上的场确定为过去类太空表面上的场的函数。在整体双曲时空4中，一旦在柯西表面上设定了初始条件，准备和测量之间的函数关系就对应于固定的确定性动力学。

在CTCS存在的情况下，动力学的第一次研究集中在时空几何上，在时空几何中，可以保留作为初始条件问题的动力学公式[80-82]。在这些研究中，CTC只存在于可以设置初始条件的类空表面的未来。令人惊讶的是，这些研究发现，所有研究的案例都至少有一个自洽的解决方案。这一令人惊讶的结果表明，CTC的存在与逻辑一致性之间可能不存在任何冲突。然而，如果时空是由CTC编织的，通常不可能找到一个类空的表面来设置全局初始条件。

与在CTCS所贯穿的时空中设置全局初始条件相关的困难提出了这样一个问题：是否存在可以在没有全局初始条件的情况下描述动力学的过程的更一般描述。这种过程的存在可以用来模拟与柯西曲面的存在不相容的动力学。当然，柯西曲面的不存在(因此时空是非整体双曲的)并不能立即暗示CTC的存在。然而，参考文献[78]中这种广义过程的发展提供了一个框架来描述与非全局双曲时空中的非平凡时间旅行兼容的动力学。这一节的其余部分回顾了如何构建这样一个普遍的过程，以区分该过程是否与包含CTC的时空(或更一般的非全局双曲时空中的非平凡时间旅行)兼容，同时保持与自由选择、位置和不存在祖父悖论的一致。

为了将过程的普通表征推广为具有初始条件的函数，我们考虑了N个时空区域(以下称为局部区域或区域)，在这些区域中，Agent可以执行任意操作。具体地说，每个代理都将观察来自该区域过去的状态，并准备一个状态以通过未来发送出去。关键假设是，区域内代理人的行动独立于区域外部的相关动态。换言之，代理人保留选择执行任意操作的自由。然而，系统的动态，加上时空的几何形状，限制了系统在区域之外的行为。因此，在时空区域之外，一旦指定了适当的边界条件，动力学就是完全确定和固定的。在此方法中，流程应根据其他代理执行的操作来确定由代理执行的测量结果。通过这种方式，我们将过程定义为连接不同时空区域的动力学的广义模型。

我们将假设代理行动的区域是连接的、不重叠的，它们的边界可以分为两个子集(一个过去和一个未来)，它们不包含时间片段。这确保了在无CTC的时空(或者更一般地说，全局双曲时空)中，每个区域要么是未来的、过去的，要么是与任何其他区域类似的空间，因此区域之间的因果顺序的违反可以归因于缺乏因果关系

我们的目标是了解这样的抽象约束是否与只能通过非平凡因果关系(只有在非全局双曲时空中的非平凡时间旅行才能产生的因果关系)实现的过程兼容。通过区域之间的因果关系，我们这里指的是在区域中活动的代理在彼此之间交换非超光速信号的可能性。在全局双曲时空中(在我们对局部区域的假设下)，信号是单向的关系：如果代理A可以向代理B发送信号，那么B就不能向A发送信号。因此，任何因果关系没有定义区域之间偏序的过程都将是由于非全局双曲时空中的非平凡时间旅行造成的。

为了与以前的文献保持一致，并简化讨论，在下文中，我们假设CTC负责非平凡的因果关系，使得局部区域不包含任何因果关系，但可以由CTC遍历。然而，这些非平凡的因果关系原则上可以出现在其他没有CTC的非全局双曲时空中，例如因果但不是强因果的时空[79]。

为了发展经典的、确定性的局域动力学在CTC存在的情况下的形式化，我们将这些局域的边界指定为经典的状态空间。状态空间并描述分别位于局部区域i的过去和未来边界上的物理自由度。例如，它们可以对应于在背景时空上定义的场。在这种情况下，我们定义的一个经典状态空间中的一个状态，将是局部区域边界上的函数，描述了类似空间的场结构。各个州将表示为、。局部区域中的经典确定性运算将由函数表示(图1)。函数Fi将输入状态ai从过去边界转换到未来边界的输出状态xi。因此，函数f_i分别在过去和未来边界上的物理自由度之间映射。函数Fi在物理上对应于代理可以在特定时空区域中对输入状态执行的本地操作。因此，为了允许对代理可以在时空的局部区域中执行的操作的自由选择，除了要求函数f满足函数的定义之外，我们不对函数f施加任何附加条件。因此，不要求局部函数f_i是可逆的。允许实验者执行的局部操作是不可逆的功能代表了实验者通过访问不包括在物理自由度中的水库来删除信息的能力。我们表示为区域I中所有可能函数的集合。为了引用所有区域的对象集合，我们丢弃了索引。例如，将表示N个不同局部区域的所有可能输入的集合。

我们将使用符号等来表示删除了组件的集合。在连接变量时，将理解适当的重新排序，例如，在表达式中为a=aia\i、f(A)=f(ai，a\i)，依此类推。

在CTC存在的情况下，局部区域确定性框架的要求之一是该框架必须能够预测每个局部区域过去边界上的状态。在CTC存在的情况下，每个局部区域过去边界上的状态可以取决于所有本地操作(在CTC自由时空中，一个区域过去边界上的状态只取决于其过去的操作)。可以用将在每个区域中执行的本地操作映射到每个局部区域[78]的过去边界上的输入状态的函数来描述对局部操作的依赖性。函数ω此后将被贴上进程的标签。

函数ω将保持一般，只是受到弱形式的局部性的限制。局部性要求，一旦区域边界的状态固定，区域内部发生的事情的细节不应与外部动态相关。物理中通常使用的局域场方程都满足这一要求。为了使这种局部性要求正式化，对于每个进程ω，必须存在一个附加函数，使得6。

此后，我们将满足上述一致性条件的函数称为过程函数(图2)。过程函数将未来边界上的输出状态映射到所有区域过去边界上的输入状态。在没有CTCS存在的场论中，它与因果有序的时空兼容，过程函数将描述

在下面，我们将使用流程函数，而不是流程，并使用定点条件(2)作为定义属性。

流程函数的一个重要属性是，本地化区域中的观察者不能使用它将信息发送回自己。直觉上，这防止了悖论，比如代理人试图警告她过去的自己，以避免特定的事件，从而消除了她警告过去的自己的动机。形式上，这意味着每个局部区域的输入独立于同一区域的输出。如果我们考虑单个局部区域，则该唯一局部区域满足不动点条件(2)的唯一过程函数是常数：因此，本地区域中的座席无法与她的过去交互是所有流程功能的一个特征。在这种情况下，祖父悖论的缺失是条件(2)的直接结果。过程函数的该特征施加了这样的约束，即过程函数w的每个组件必须独立于相同区域的输出：

其中，x\i是除第i个区域之外的所有区域的输出集合。注意，等式(3)暗示过程函数可以用一组函数来描述，……。

在详细讨论过程函数的刻画之前，我们必须首先给出一些重要的定义，并考虑过程函数的一些重要性质。

定义1.考虑一个函数，使得对于每个区域i=1，…，N，wi(X)=wi(x\i)。对于特定的局部运算，我们通过w与fi的合成来定义剩余区域上的约简函数：

这个定义对于形式化这样一种直觉是很重要的，即如果我们为特定的局部区域固定操作，那么对于其余区域应该仍然存在一个过程。约化函数的定义在研究多部过程函数的性质中起着重要的作用。

引理1。(参考文献[78]中的引理3)。给定一个函数，使得对于每个区域i=1，…，N，wi(X)=wi(x\i)，我们有。

根据这一引理的结果，我们可以得出结论：w是过程函数当且仅当相应的约化函数也是过程函数。

可以修改定义1以应用于我们固定特定区域的输出而不是固定特定的本地操作的过程。这些过程是感兴趣的，因为它们对应于其中固定运算f_i是常数的约简函数的子集。常量是函数的有效选择，因为我们不要求它是可逆的。

定义2.考虑一个函数，使得对于每个区域i=1，…，N，wi(X)=wi(X)=wi(X)，…，N，wi(X)=wi(X)。

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