为阿基米德祈祷

70年来，一本祈祷书在法国一个家庭的壁橱里腐烂，代代相传。它发霉的羊皮纸僵硬而扭曲，被烧焦的痕迹和蜡质污渍玷污了。在祈祷文的后面，模糊的希腊字母排成一排沿着页面行进，偶尔会有一张图表消失在书脊里。

主人们想知道这本奇怪的书是否有价值，所以他们把它带到了伦敦的佳士得拍卖行。1998年，佳士得拍卖行以200万美元的价格将其拍卖。

因为这不仅仅是一本祈祷书。这些模糊的希腊铭文和附图实际上是伟大的希腊数学家阿基米德的几部作品中唯一幸存的副本。

在过去的九年里，一项密集的研究工作导致了对大部分几乎被抹去的希腊语文本的解码。这一结果比任何人预期的都更具革命性。研究人员发现，阿基米德正在研究出几个世纪后将形成微积分核心的原理，而且他对无穷大概念的理解比任何人都意识到的要复杂得多。

阿基米德在2200年前将他的手稿写在纸莎草卷上。后来，在一个未知的时间，有人把文字从纸莎草抄到了动物皮羊皮纸上。然后，700年前，一位和尚需要羊皮纸来买一本新的祷告书。他把阿基米德的书从书架上拿下来，把书页切成两半，旋转90度，刮掉表面的墨水，创造出一种通过清除旧文字而制成的最新的书写材料。然后他在几乎干净的纸上写下了他的祈祷词。

这本僧侣的书在那之后发生了什么还不清楚，但1908年，丹麦语言学家约翰·路德维希·海伯格在君士坦丁堡的一家图书馆里发现了这本书。他惊讶地发现，这本书里有阿基米德以前不为人知的文本。他仔细研究了这本书，用显微镜把模糊的字母分辨出来。他的努力让这些作品引起了世界各地学者的注意，但在他完成抄写后，这本书再次消失，直到近十年前，它在佳士得拍卖。

这本书的匿名买家资助了一项关于这本书的巨大研究项目。首先，密集的保存和修复稳定了图书本身的状况。然后，研究人员在不同波长的光下对其进行数码拍照，创建了一张多光谱图像，阿基米德可以对其进行处理，以揭示文本。在其中四页上，伪造的画作覆盖了整个文字，因此研究人员使用x射线荧光成像技术来窥视这些画的下面，并破译模糊的文字。

藏在祷告书中的两篇经文没有在阿基米德的其他任何一本作品中出现过，所以直到现在，除了海伯格，没有人研究过它们。其中之一，名为“方法”，具有特殊的历史意义。它可以被认为是已知的最早的微积分著作。

阿基米德在艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨于17世纪发展微积分之前几乎两千年就写下了这种方法。斯坦福大学(Stanford University)数学史学家里维尔·内茨(Reviel Netz)抄写了这篇课文，他说，对阿基米德作品的审查揭示了“整个西方数学轨迹的新转折”。

在这种方法中，阿基米德正在研究一种计算曲面物体面积和体积的方法，这也是牛顿和莱布尼茨研究的问题之一。古代数学家长期以来一直在努力通过计算圆的确切面积来“平方圆”。事实证明，仅使用直尺和指南针是不可能解决这个问题的，而这是古希腊人允许自己使用的唯一工具。尽管如此，阿基米德还是想出了计算其他许多曲线区域面积的方法。

这类问题很棘手，因为直接解决它们需要将弯曲区域分割成无限多个具有直线边界的区域。但是无限的概念是一个难以捉摸和麻烦的概念，很快就会导致悖论。

希腊哲学家亚里士多德通过区分“潜在无限”和“实际无限”，建立了对无限令人烦恼的性质的防御。一条无限长的线实际上是无限的，而一条总是可以延伸的线可能是无限的。亚里士多德争辩说，实际的无限并不存在。

阿基米德发展了处理无限的严格方法--至今仍在使用--他遵循亚里士多德的命令。例如，阿基米德证明了抛物线的一段面积是其内部三角形面积的四分之三(下图中用红色表示)。为了做到这一点，他建立了一个近似于曲线的直线图形。然后他证明，他可以把抛物线的截面和三角形面积的四分之三都近似到任何人所能要求的近似值。

关键的是，阿基米德从来没有声称，通过永远添加三角形，你可以使直线结构与抛物线的截面完全相等。这将需要实际的无穷多个三角形。取而代之的是，他只是说你可以把近似值做得尽可能好，所以他坚持势无穷大。

现代历史学家和数学家一直认为，无论阿基米德何时处理无穷大，他都严格遵循潜在的那种。但抄写新发现文本的内茨说，最近的发现表明，阿基米德确实使用了实际无限的概念。内茨和该项目的首席研究员、巴尔的摩沃尔特斯艺术博物馆的威廉·诺埃尔(William Noel)合著了一本新书--《阿基米德法典》(The Archimedes Codex)，书中描述了这一发现和该项目的其他方面。它计划于今年11月1日发布。

阿基米德关于无穷大的关键论点出现在损坏严重的页面上，以至于海伯格无法抄写它们。阿基米德通过将一个形状类似指甲的物体封闭在一个由平面包围的体积中，计算出它的体积。但是，他没有像他对抛物线截面所做的那样，越来越好地逼近弯曲的图形，而是考虑了一个二维切片，穿过包围较小体积的较大体积。

阿基米德发现了切片的整个面积和其中较小的面积之间的关系，前者是穿过平面体的截面，后者是穿过弯曲形状的截面。然后他争辩说，他可以利用这个关系来计算弯曲形状的整个体积，因为弯曲的形状和直的形状都包含相同数量的切片。这个数字恰好是无穷大--实际上是无穷大。

“有趣的突破是，他完全愿意在实际无限的情况下运作，”内茨说，但他补充说，“这一论点绝对不是完全正确的。”他只是有一种强烈的直觉，认为这应该会奏效。“。在这种情况下，它确实起作用了，但它仍然是牛顿和莱布尼茨找出如何使论证数学严谨。

牛顿和莱布尼茨也研究过实际的无穷大。莱布尼茨甚至在一封信中说：“我非常赞成真正的无限，所以我不像人们常说的那样承认大自然憎恶它，而是认为大自然在任何地方都经常使用它，以便更有效地展示它的作者的完美。”

现代微积分不再使用实际的无限；它坚持亚里士多德的区别。哲学家们仍然在争论实际无限概念的合法性。然而，内茨认为，这种方法揭示了阿基米德思想的独创性和胆量，并表明他预见到了一些大胆的步骤，这些步骤后来将导致微积分的全面发展。