跳到导航跳转到搜索如果一组骰子包含三个骰子(A、B和C)，并且其属性是A超过一半的时间高于B，B超过一半的时间高于C，则它是不可传递的，但A超过一半的时间高于C是不正确的。换句话说，如果二元关系-X掷出的数字超过Y的一半以上-其元素是不可传递的，则一组骰子是不可传递的。
有可能找到具有更强属性的骰子组，即对于该组骰子中的每个骰子，有另一个骰子在超过一半的时间内掷出比它更高的数字。使用这样一套骰子，一个人可以发明带有偏见的游戏，这种方式是不习惯于非传递性骰子的人可能没有预料到的(见示例)。
A掷出高于B的概率，B掷出高于C的概率，以及C掷出高于A的概率都是5/9，所以这套骰子是不可传递的。事实上，它有一个更强的特性，即对于集合中的每个骰子，都有另一个骰子在超过一半的时间里掷出比它更高的数字。
如果这个游戏是用一套传递的骰子玩的，它要么公平，要么偏向第一个玩家，因为第一个玩家总能找到一个骰子，超过一半的时间不会被任何其他骰子击败。然而，如果用上面描述的那套骰子玩，这个游戏就偏向于第二个玩家，因为第二个玩家总能找到一个骰子，以5/9的概率击败第一个玩家的骰子。下表显示了所有3对骰子的所有可能结果。
和三个非传递骰子A‘，B’，C‘(第二套骰子)。
P(A‘>B’)=P(B‘>C’)=P(C‘>A’)=5/9。
以相等的概率互相取胜，它们是不对等的。第一套骰子(A、B、C)的骰子最高，而第二套骰子的骰子最低。掷一套骰子中的三个骰子，并始终使用最高分进行评估，这两套骰子将显示不同的获胜模式。对于第一套骰子，骰子B将以最高的概率(88/216)获胜，骰子A和C将分别以64/216的概率获胜。对于第二套骰子，骰子C‘将以最低的概率(56/216)获胜，骰子A’和B‘将分别以80/216的概率获胜。
四个骰子A、B、C、D的六个面上有以下数字：
每个骰子都被列表中的前一个骰子击败，概率为三分之二：
P(A&>B)=P(B&>C)=P(C&>D)=P(D&>A)=2 3{\显示样式P(A&>B)=P(B&>C)=P(C&>D)=P(D&>A)={2\OVER 3}}。
B&39；的值是恒定的；A在2/3卷上击败了它，因为它的六个面中有四个面更高。
同样，B以2/3的概率击败C，因为C'；的脸中只有两个比C高。
(1 3×1)+(2 3×1 2)=2 3{\DisplayStyle\Left({1\Over 3}\x 1\Right)+\Left({2\Over 3}\x{1\Over 2}\Right)={2\Over 3}}。
(1 2×1)+(1 2×1 3)=2 3{\DisplayStyle\Left({1\Over 2}\x 1\Right)+\Left({1\Over 2}\x{1\Over 3}\Right)={2\Over 3}}。
这四个骰子击败从其余三个中随机选择的骰子的概率不相等：
如上所述，死神A在三分之二的时间里击败了B，但只在三分之一的时间里击败了D。骰子A击败C的概率是4/9(A必须掷4，C必须掷2)。因此，A击败任何其他随机选择的骰子的可能性是：
1 3×(2 3+1 3+4 9)=13 27{\displaystyle{1\over 3}\次\Left({2\over 3}+{1\over 3}+{4\over 9}\right)={13\over 27}}。
同样，骰子B在三分之二的时间里击败了C，但只在三分之一的时间里击败了A。骰子B击败D的概率为1/2(仅当D掷1时)。因此，B击败任何其他随机选择的骰子的可能性为：
1 3×(2 3+1 3+1 2)=1 2{\displaystyle{1\over 3}\次\Left({2\over 3}+{1\over 3}+{1\over 2}\right)={1\over 2}}。
骰子C有三分之二的时间击败D，但只有三分之一的时间击败B。骰子C击败A的概率为5/9。因此，C击败任何其他随机选择的骰子的可能性为：
1 3×(2 3+1 3+5 9)=14 27{\displaystyle{1\over 3}\次\Left({2\over 3}+{1\over 3}+{5\over 9}\right)={14\over 27}}。
最后，骰子D在三分之二的时间里击败了A，但只在三分之一的时间里击败了C。骰子D击败B的概率是1/2(仅当D掷5轮时)。所以D击败任何其他随机选择的骰子的可能性是：
1 3×(2 3+1 3+1 2)=1 2{\displaystyle{1\over 3}\次\Left({2\over 3}+{1\over 3}+{1\over 2}\right)={1\over 2}}。
因此，最好的整体骰子是C，中奖概率为0.5185。C还滚动绝对值最高的平均值，3+1/3。(A&39；的平均分是2+2/3，而B&39；和D&39；的平均分都是3。)
请注意，Efron的骰子有不同的平均转数：A的平均转数为8/3，而B和D的平均转数为9/3，C的平均转数为10/3。非传递性取决于哪些面更大或更小，而不取决于面的绝对大小。因此，人们可以找到埃夫隆骰子的变体，其中获胜的几率没有变化，但所有的骰子都有相同的平均掷骰子。例如,。
这些不同的骰子很有用，例如，向学生介绍比较随机变量的不同方法(以及只比较平均值可能会忽略基本细节)。
使用所有数字1到24的一套四个骰子可以成为非传递性骰子。对于相邻的一对，一个骰子获胜的概率是2/3。
滚动数高，B打A，C打B，D打C，A打D。
这些骰子基本上与Efron的骰子相同，因为单个骰子上的一系列连续数字中的每一个数字都可以被该系列中最低的数字替换，然后重新编号。
A：01，02，16，17，18，19→01，01，16，16，16，16→0，0，4，4，4，4。
B：03，04，05，20，21，22→03，03，03，20，20，20→1，1，1，5，5，5。
C：06，07，08，09，23，24→06，06，06，06，23，23→2，2，2，2，6，6
D：10，11，12，13，14，15→10，10，10，10，10→3，3，3，3，3，3。
与1到6个标准骰子相比，以下非传递骰子只有几个不同之处：
和米温的一盘一样，A对B(或B对C，C对A)获胜的概率是17/36。然而，平局的可能性是4/36，因此36轮中只有15轮输了。所以整体获胜的期望值更高。
沃伦·巴菲特(Warren Buffett)是众所周知的不可传递骰子的粉丝。在“财富的公式：击败赌场和华尔街的科学博彩系统的不为人知的故事”一书中，描述了他和爱德华·索普之间的一次讨论。巴菲特和索普讨论了他们对不可传递骰子的共同兴趣。这是一种数学上的好奇，一种让大多数人对概率的想法感到困惑的小把戏。
巴菲特曾试图用非传递性骰子与比尔·盖茨玩骰子游戏。巴菲特建议他们每人选择一个骰子，然后丢弃另外两个。他们会打赌谁会掷出最高的数字。巴菲特提出让盖茨先挑他的死因。这个建议立刻激起了盖茨的好奇心。他要求检查骰子，之后他要求巴菲特先选。
2010年，“华尔街日报”(Wall Street Journal)杂志援引巴菲特的桥牌搭档莎伦·奥斯伯格(Sharon Osberg)的话说，20年前，当她第一次造访巴菲特的办公室时，他骗她玩了一场无法赢的不可传递的骰子游戏，认为这很滑稽。[2]。
许多人已经引入了非传递性骰子的变体，在这种骰子中，一个人可以与多个对手竞争。
奥斯卡·范·德文特介绍了一套七个骰子(所有面孔的概率都是1/6)如下：[3]
可以验证A节拍{B，C，E}；B节拍{C，D，F}；C节拍{D，E，G}；D节拍{A，E，F}；E节拍{B，F，G}；F节拍{A，C，G}；G节拍{A，B，D}。因此，对于任意选择的两个骰子，还有第三个骰子可以同时击败这两个骰子。也就是说。
G节拍{A，B}；F节拍{A，C}；G节拍{A，D}；D节拍{A，E}；D节拍{A，F}；F节拍{A，G}；
A节拍{B，C}；G节拍{B，D}；A节拍{B，E}；E节拍{B，F}；E节拍{B，G}；
无论两个对手选择什么，第三个玩家都会找到其中一个能击败两个对手的骰子。
人们可以验证，当游戏是用一套严峻的骰子玩的时候：
然而，当游戏用两个这样的盘进行时，第一个链保持不变(只有一个例外将在后面讨论)，但是第二个链是相反的(即A击败D击败B，E击败C击败A)。因此，无论两个对手选择哪种骰子，第三个玩家总能在剩余的骰子中找到一个击败他们的骰子(只要允许玩家在一个骰子选项和两个骰子选项之间进行选择)：
然而，这套设备有两个主要问题。第一个问题是，在博弈的双骰子选择中，第一条链应该保持完全相同，以便使博弈不可传递。然而，在实践中，D实际上击败了C。第二个问题是，第三个玩家必须被允许在一枚骰子期权和两枚骰子期权之间做出选择-这可能被视为对其他玩家不公平。
之所以出现上述D击败C的问题，是因为骰子有6个面，而不是5个面。通过将每个骰子的最低(或最高)面替换为重新掷骰子(R)，所有五个骰子都将完全按照James Grime博士的预期发挥作用：
或者，可以将这些面映射到一组五角形梯形(10面)骰子，每个数字恰好出现两次，或者映射到一组二十面体(20面)骰子，每个数字出现四次。这样就不需要重新翻脸了。
四人一套尚未被发现，但已经证明这样的一套至少需要19个骰子。[4][5]。
与非传递的六面骰子类似，也有十二面体作为非传递的十二面骰子。每个骰子上的点的总和是114。每个十二面体上没有重复的数字。
米温的十二面体(第一盘)以35：34的比例周期性地相互取胜。
米温的十二面体(第2组)以71：67的比例周期性地相互取胜。
也可以构造非传递的十二面体集合，使得没有重复数并且所有的数都是素数。Miwin的非传递素数十二面体以35：34的比例循环地相互取胜。
数学游戏--小埃德·佩格设计的锦标赛骰子。美国数学协会。2005-07-11.。
肯尼斯·里德；A.A.麦克雷；S.M.赫德涅米；斯蒂芬·赫德涅米(2004-01-01)。在锦标赛中的支配性和冗余性。“澳大利亚组合学杂志”[仅限电子版]。29.