感觉的有限性与思想的无限性

上帝发明并给了我们最终的视力，使我们可以看到天堂里的智慧进程，并将它们应用到我们自己的智力进程中，这些进程与它们相似，是不受干扰的；而我们学习这些进程，分享理性的自然真理，就可以模仿上帝绝对正确的进程，并规范我们自己的变幻莫测。同样的道理也适用于言语和听觉：它们被诸神赋予了相同的目的和相同的理由。因为这是讲话的主要目的，它对此贡献最大。

近年来，程序员教育的一个令人鼓舞的发展是，人们对编程、逻辑和抽象代数之间的关系重新产生了兴趣。最近对函数式编程的热情无疑是这一令人愉快的发展背后的主要动机。

然而，这种兴趣有时伴随着一种对这种关系的敬畏之情，可能是从业人员的热心人士，他们认为这种关系几乎是奇迹，而不是学术界的人。一些著名的研究人员以普及这种关系的兴趣而闻名，他们谈到了“计算三位一体”，并说“这进一步证明了数学是被发现的，而不是被发明的”，甚至将这种关系称为“神圣的表现”，并说“这三个人都有本体论的力量；他们编纂了什么是什么，而不是如何描述已经给予我们的东西。”从这个意义上说，它们是基础性的；如果我们假设它们仅仅是描述性的，我们就会面临这样的问题，即这些以前给出的概念是从哪里产生的，把我们带回了基础“。另一个人说，1“你听说过咖喱-霍华德-兰贝克同构吗？”…。这三种不同的理论…。分别开发了构造性逻辑、类型化λ演算和范畴论，同构表明它们实际上是相同的。为什么这三个完全不同的理论有相同的结构呢？因为这三个问题都是关于可组合性的。“。当他后来说，“也许我们只是在发现我们大脑的工作方式”时，他说的并不太离谱。…。[i]如果数学都是关于合成的，那么合成是我们的大脑为了处理复杂性而想出来的东西，“真相要简单得多，但更有趣，尽管不那么神秘。

令人敬畏的奇迹是一种强大的营销工具，但它让人迷惑，而不是澄清，并在一个努力与之格格不入的领域培养一种神奇的思维(尽管，正如我们将在第二部分中看到的，它有时会失败)。数学的目标是简化，而不是惊叹。这种态度--很明显，我们将会看到--关系也分散了人们对实际的、不那么明显的发现的注意力。这种关系的存在不在其中；它不是结局--而是安排。把这两个混为一谈，任何故事的本质都是如此。

我也相信，正是这种态度将重点放在所选择的数学抽象上，而不是他们所描述的事情上，创造了一种只能有一种真实解释的氛围-即使是有三个人物角色的一种。我把这种把观察方法的特性与被观察系统的特性混为一谈的绝对主义观点称为“新教”观点，因此否定了可供选择的解释，这是理解逻辑的障碍，在逻辑中，几乎根据定义，真理总是相对于特定的系统的。正如阿隆佐·丘奇在他第一次介绍λ微积分2的论文中所写的那样：

我们不会给任何特定的逻辑系统附加任何独特性或绝对真理。形式逻辑的实体是抽象的，因为它们用于描述和系统化经验或观察的事实而被发明，并且它们的属性由该预期用途粗略地确定，因为它们的精确特性取决于发明人…的任意选择。毫无疑问，这里存在一个以上的形式系统，它们用作逻辑是可行的，并且在这些系统中，一个可能比另一个更令人愉快或更方便，但不能说一个是对的，另一个是错的。

下面的正文将试图淡化计算、逻辑和抽象代数之间的这种关系。范畴论是后者的推广，但是编程语言有时被交替地分配给第二个逻辑和第一个计算，因此增加了混乱。在我看来，编程语言(至少当在理论环境中学习时)严格地属于逻辑的第二个角色，而完全不属于第一个角色，即计算，除了三者之间的普通关系之外；编程语言与计算的关系并不比形式逻辑多。我以前写过关于编程和计算之间的区别以及由此引起的误解。

在研究这个主题时-不是逻辑学家或历史学家，而是对数学史感兴趣的程序员和业余爱好者-我感到惊讶的是，这种联系从学科一开始就是如此明确。与意外或奇迹截然相反，称这种关系显而易见是轻描淡写的。家猫和豹子之间的关系可以说是显而易见的；原版星球大战三部曲与其众多前传和续集之间的关系不仅仅是显而易见的。如果你认为这是偶然或奇迹，或者这是达斯·维德是被发现而不是被发明的证据，那么你显然错过了理解故事元理论的非常重要的东西-意思是，它们是如何产生的。我很高兴有机会利用科学史-或者在这种情况下是逻辑和数学史-通过追踪数学概念的演变和创始人的创造过程来阐明数学概念的发展。

这本书长的正文--而不是一本短书--是以三部分博客文章系列的形式出版的，但我个人写的很少。虽然文本在内容或结论上与有关逻辑和计算历史的书籍(或最近发表在大西洋月刊上的精彩文章，亚里士多德是如何创造计算机的)没有什么不同，但它的风格肯定不同，主要由原始资料组成。我选择以这种方式撰写正文有几个原因，这里没有特别的顺序列出：1.我不是专业的历史学家，没有足够的知识来洞察历史趋势。2.我觉得阅读(仔细挑选)主要资料要比粗略描述有趣得多。3.由于大多数数学家和程序员都不是好的历史学家，所以出现了许多不准确和彻头彻尾的错误，因为很少有人看到真正的来源。4.由于我的目标是揭开逻辑和数学的神秘面纱，我认为阅读这些想法的创始人如何描述他们获得洞察力的过程是特别有启发性的。我的课文的侧重点也不同；它试图强调计算、逻辑和代数之间联系的演变，并且主要涉及这三门学科中的每一门，因为它们与另外两门学科有关。在主要资料中，你需要密切关注的主题是对人类思维的分析，以及语言在推理中的作用。

虽然关于这种联系的本质的论点很容易确立--事实上，它是通过随机挑选我将涵盖的几乎任何一个原始来源而令人满意地建立起来的--但我们必须注意，不要落入一个总体的、连贯的、格拉德威尔式的叙述的陷阱，记住，早期模糊的观念-即使它使用了现代术语，这通常是后来对早期火花的敬意-与对它们的严格对待之间存在着巨大的鸿沟；两者不能被认为是相同的，否则就有落入不合时宜的陷阱的风险。

当然，这篇论文只是一个引导性的问题和借口，涵盖了科学史和思想史上一个多么引人入胜的课题。因此，当我觉得有趣或有趣时，我允许自己引用更长的摘录，即使它们与叙事的主旨无关。我还跳过了课文中大部分过于技术性的部分，只引用了基础知识，因为这不是一本数学教科书。尽管如此，我确实假设在讨论的某些部分对相关的数学术语有一定的了解，所以熟悉这些主题的人会从课文中学到更多东西。像大多数历史一样，这一部是不完整的。我只选择了那些对西方主题的主线发展有强烈和直接影响的作品-因此忽略了东方，特别是印度的主题发展，只简单地提到了进口影响-即使这样也不得不限制选择。

对于基本背景，我依赖于次要来源；这些只是几个值得注意的来源：在第一部分，关于逻辑的古典和萌芽时期，我严重依赖Witold Marciszewski和Roman Murawski的“历史视角下的推理机械化”(评论在这里)。在第二部分，关于代数周期，我使用了丹尼尔·J·科恩的“来自上帝的方程式：纯数学和维多利亚信仰”。在第三部分，关于逻辑主义者/数学/计算主义时期，我引用了罗宾·甘迪(Robin Gandy)1936年的论文“思想的汇流”(The Confluence Of Ideas)和安德鲁·霍奇斯(Andrew Hodges)的艾伦·图灵传记。还有其他的，都在正文和参考书目中被引用。

没有任何想法是从虚无中自发产生的；每一项发明都是在一个时间和一个地方成长起来的，除了独创性之外，它还是由上下文产生的。但故事必须从某个地方开始，而逻辑故事的一个好起点是斯塔吉拉(公元前384-322年)的亚里士多德。

⊕柏拉图(左)和亚里士多德(右)，他们相信理想的神圣世界和亚里士多德(右)，他们相信尘世经验主义的力量，拉斐尔在梵蒂冈的壁画中描绘了他们在围棋程序员之间辩论哈斯克尔和ML。

…。三段论是一种话语，在这种话语中，某些事情被陈述，而不是被陈述的东西从它们的存在中必然而来。我说的最后一句话是说，他们产生了结果，也就是说，不需要从外面再来一个条件，就可以使结果成为必要的。

…。每一个前言都表明，某物或者是或必须是或可能是他物的属性；在这三种前提中，就三种归因模式中的每一种而言，有些是肯定的，有些是否定的；同样，有些肯定和否定的前提是普遍的，有些是特殊的，有些是不确定的。因此，在普遍归因中，否定前言的条件应该是可转换的，例如，如果没有快乐是好的，那么没有好的将是快乐；肯定的条件必须是可转换的，但不是但是，普遍的，但部分地，例如，如果每一种快乐，都是好的，那么一些好的必须是快乐；特定的肯定必须部分转换(因为如果一些快乐是好的，那么一些好的就会是快乐)；但特别的否定不需要转换，因为如果一些动物不是人，这并不意味着有些人不是动物。

首先，用A和B这两个词来表示普遍否定。如果没有B是A，那么任何A都不可能是B。因为如果某个A(比如C)是B，那就不会没有B是A；因为C是B。但是如果每个B都是A，那么某个A就是B。如果没有A是B，那么就没有B可能是A。但是我们假设每个B都是A。同样，如果前提是特殊的，我们也会假设每个B都是A。因为如果有些B是A，那么有些AS一定是B。如果没有一个是A，那么就没有B是A了。但是，如果有些B不是A，那么就没有必要有些A不是B；例如，让B代表动物，A代表人。不是每种动物都是人，但每一个人都是动物。

亚里士多德的主要贡献是指出，如果我们的前提是以特定的句法形式陈述的，例如所有的A都是B，所有的B都是C，那么，利用三段论的句法形式推理规则，我们可以推论出所有的A都是C，而不管A、B和C是什么意思。亚里士多德的主要贡献一直主导着时至今日的大多数逻辑学著作。正如19世纪逻辑学家奥古斯都·德·摩根(Augustus De Morgan)所说，“形式逻辑”(⊕Format Logic)，第1页“[t]他的逻辑真实性取决于句子的结构，而不是所说的具体事项。

但是，另一个重要的贡献，虽然不那么重要，却是图灵之前形式逻辑所有工作的基础，而且与三段论的形式证明理论没有太多关系，而是关于逻辑句子是如何形成的，即作为表示(具有意义或语义的)属性、概念或类别的术语的组合，这些属性、概念或类别代表对象的某种集合，例如人、动物或美德。构成形式一般为[量词]A是B，有四种命题：肯定的普适命题，例如，所有的人都是动物；肯定的特殊命题(或现代意义上的存在主义)命题，即有些人是有德的，他们的否定。这一逻辑类似于现代命名法中的一阶逻辑。。

应该注意的是，虽然亚里士多德的逻辑处理的是某种形式的量词(所有的A都是B，或者一些C是D)，但它没有包括允许形成复合谓词的合取和析取(“and”和“or”)命题连接词。这很可能是有意为之的罗宾·史密斯，亚里士多德的“逻辑”。连接词和复合谓语是在古希腊和中世纪的凯文·克莱门特(Kevin Klement)的命题逻辑中发展起来的。

亚里士多德的一般推理框架--中世纪对其进行了详细阐述和扩展--可以概括为通过操纵语言或句法实现推理的机械化，即通过组合表示概念的术语来表达意义。这个框架可以被称为组合逻辑，但由于这个名称现在被用来表示更技术性和更具体的东西，所以我将其称为亚里士多德框架(Aristotelian Framework)。

在维托德·马尔西舍夫斯基和罗曼·穆拉夫斯基合著的“历史视角下的推理机械化”一书中，马尔西舍夫斯基写道，亚里士多德的这个框架，

⊕推理的机械化，Kindle Locations828-875是从挑选出三种按层次安排的大脑操作开始的。在这三个操作中，最基本的是用概念把握事物。在某种意义上，它可以被称为最简单的，因此被学术逻辑学家称为…。，当他们使用术语“简单的理解”(Simplex Appresio)时。它是最简单的，因为在意识层面上发生的抓住事物的那部分行为中，我们没有察觉到任何可以被明显隔离的组成部分。例如，一些简单的理解将人们引向自然数的概念，其内容包括，除其他外，每个自然数都有它的后继者这一事实。

…。头脑的第二个操作，第二个意义上说，它假定概念的存在，比概念化更复杂，是判断的形成。…。[i]它在于将概念组合成判决(司法)…。判决书被视为总是由主体组成的三方结构，

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