欧拉公式：完整指南

在复数世界中，当我们积分三角表达式时，我们很可能会遇到所谓的欧拉公式。

这个强大的方程式以传奇数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名，值得更仔细地研究-以便我们充分利用它的潜力。

我们将看看欧拉公式如何允许我们将复数表示为指数，并探索相对容易地建立它的不同方法。

此外，我们还将考虑它的几个应用，如Euler恒等式的特例，复数的指数形式，关键函数的交替定义，De Moivre定理和三角加性恒等式的交替证明。

这个欧拉公式有别于其他欧拉公式，如凸多面体的欧拉公式。

那么欧拉公式到底是什么呢？简而言之，就是这个定理表明。

在此公式中，右侧有时缩写为$\operatorname{cis}{x}$，尽管左侧表达式$e^{ix}$通常优先于$\operatorname{cis}$表示法。

欧拉公式建立了三角函数和指数函数之间的基本关系。从几何上讲，它可以被认为是在复平面上连接同一单位复数的两个表示的一种方式。

让我们来看看欧拉公式的一些关键值，看看它们与三角/单位圆中的点是如何对应的：

对于$x=0$，我们有$e^{0}=\cos 0+i\sin 0$，这给出了$1=1$。到目前为止还不错：我们知道三角圆上$0的角度在实轴上是$1，这就是我们得到的结果。

对于$x=1$，我们有$e^{i}=\cos 1+i\sin 1$。这个结果表明，$e^i$正好是单位圆上角度为1弧度的点。

对于$x=\frac{\pi}{2}$，我们有$e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i$。这一结果在一些与物理有关的计算中很有用。

对于$x=\pi$，我们有$e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi$，这意味着$e^{i\pi}=-1$。这个结果相当于著名的欧拉的身份。

对于$x=2\pi$，我们有$e^{i(2\pi)}=\cos2\pi+i\sin2\pi$，这意味着$e^{i(2\pi)}=1$，与$x=0$相同。

理解欧拉公式的关键在于将公式重写如下：\[(e^i)^x=\sin x+i\cos x\]其中：

右边的表达式可以看作是角度为$x$的单位复数。

可以将左边的表达式视为1弧度单位复数提升到$x$。

由于单位复数的幂可以被认为是重复相乘(即，在这种情况下，将角度相加)，所以欧拉公式可以被解释为绕着单位圆跑到同一点的两种不同方式。

欧拉公式至少可以用三种方式建立。第一种推导是基于幂级数的，其中指数函数、正弦函数和余弦函数被展开为幂级数，从而得出该公式确实成立的结论。

欧拉公式的二次推导是在微积分的基础上进行的，将方程的两边当作函数进行相应的微分。这就导致了一个共同属性的识别-可以利用该属性来表明这两个功能确实是相等的。

欧拉公式的另一个推导涉及使用复平面中的极坐标，然后通过极坐标找到$r$和$\theta$的值。事实上，只需查看公式本身，您就可以猜出这些值是什么！

欧拉公式最直观的推导之一涉及到幂级数的使用。它包括展开指数、正弦和余弦的幂级数，最终得出等式成立的结论。

作为警告，此方法假设$\sin z$、$\cos z$和$e^z$的幂级数展开式在任何地方都绝对收敛(例如，它们对所有复数$z$都成立)。然而，它也有一个优点，即表明欧拉公式对所有复数$z$也成立。

对于复变量$z$，$e^z$的幂级数展开式为\[e^z=1+\frac{z}{1！}}+\frac{z^2}{2！}+\frac{z^3}{3！}+\frac{z^4}{4！}+\cdots\]现在，我们假设$z$为$ix$(其中$x$是任意复数)。随着$z$被提升为递增的幂，$i$也被提升为递增的幂。$I$的前八次幂如下所示：\BEGIN{ALIGN*}I^0&；=1&；I^4&；=I\cdot I^2=1\\I^1&；=I&；I&；=I\cdot I^4=I\\I^2&；=-1\quad\text{(根据$I$的定义)}&；I^6&；=I\CDOT I^5=-1\\I^3&；=I\CDOT I^2=-I&；I^7&；=I\CDOT I^6=-I\end{ALIGN*}(请注意$I$的幂的周期性：$1$，$I$，$-1$，$-I$。我们很快就会使用这些功能。)

对于$z=ix$，$e^z$的展开变成：\[e^{ix}=1+ix+\frac{(Ix)^2}{2！}+\frac{(Ix)^3}{3！}+\frac{(Ix)^4}{4！}+\cdots\]提取$i$的幂，我们得到：[e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2！}-\frac{i x^3}{3！}+\frac{i x^4}{4！}+\frac{i x^5}{5！}-\frac{x^6}{6！}-\frac{i x^7}{7！}+\frac{x^8}{8！}+\cdots\]并且由于$e^z$的幂级数展开式是绝对收敛的，所以我们可以在不改变其值的情况下重新排列它的项。将实项和虚项组合在一起产生：[e^{ix}=\frac{x^2}{2！}+\frac{x^4}{4！}-\frac{x^6}{6！}+\frac{x^8}{8！}-\cdots\right)+i\Left(x-\frac{x^3}{3！}+\frac{x^5}{5！}-\frac{x^7}{7！}+\cdots\right)\]现在，让我们绕道看看正弦和余弦的幂级数。$\cos{x}$的幂级数是\[\cos x=1-\frac{x^2}{2！}+\frac{x^4}{4！}-\frac{x^6}{6！}+\frac{x^8}{8！}-\cdots\]，换言之，对于$\sin{x}$，它是\[\sin x=x-\frac{x^3}{3！}+\frac{x^5}{5！}-\frac{x^7}{7！}+\cdots\]。我们拥有的最后一个方程正好是[e^{ix}=\cos x+i\sin x\]，这就是我们要寻找的欧拉公式的表述。

建立Euler公式的另一种巧妙方法是将$e^{ix}$和$\cos x+i\sin x$都视为$x$的函数，然后对它们进行区分，以找到它们的一些共同性质。

但是，要实现这一点，必须假设函数$e^z$、$\cos x$和$\sin x$对于所有实数$x$和复数$z$都是定义的并且是可微的。通过假设这些函数对所有复数都是可微的，也可以证明欧拉公式对所有复数也是成立的。

首先，设$f_1(X)$和$f_2(X)$分别为$e^{ix}$和$\cos x+i\sin x$。通过链式法则对$f_1$进行微分得到：\[F_{1}'；(X)=i e^{ix}=I f_1(X)\]类似地，对$f_2$进行微分也得到：\[F_{2}'；(X)=-\sin x+i\cos x=I f_2(X)\]换句话说，这两个函数都满足微分方程$f'；(X)=If(X)$。现在，考虑函数$\frac{f_1}{f_2}$，它对于所有$x$都是定义良好的(因为$f_2(X)=\cos x+i\sin x$对应于单位圆上的点，这些点不是零)。在此基础上，对此函数使用商规则，则产生：\BEGIN{ALIGN*}\LEFT(\frac{f_{1}}{f_2}\Right)'；(X)&；=\frac{f_1‘(X)f_2(X)-f_1(X)f_2’(X)}{[f_2(X)]^2}\\&；=\frac{i f_1(X)f_2(X)-f_1(X)i f_2(X)}{[f_2(X)]^2}\\&；=0\end{align*}，因为这里的导数是$0$，这意味着函数$\frac{f_1}{f_2}$必须是一个常数。这个常数的值是多少？让我们将$x=0$代入函数：\[\Left(\frac{f_1}{f_2}\right)(0)=\frac{e^{i0}}{\cos 0+i\sin 0}=1}]换言之，我们必须为所有$x$：\[\Left(\frac{f_1}{f_2}\right)(X)=\frac{e^{ix}}{\cos x+i\sin x}=1 x\]来计算出它：\[\Left(\frac{f_1}{f_2}\right)(X)=\frac{e^{ix}}{\cos x+i\sin x}=1\]。将$\cos x+i\sin x$向右移动后，成为我们一直在寻找的著名公式。

欧拉公式的另一个巧妙证明涉及将指数视为数字，或者更具体地说，将其视为极坐标下的复数。

事实上，我们已经知道，所有非零复数都可以用极坐标以一种独特的方式表示。特别地，形式为$e^{ix}$(具有实数$x$)的任何非零数可以表示为：\[e^{ix}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\]其中$\theta$是其与正实轴的主角(例如，$0\le\theta<；2\pi$)，$r$是其半径(具有$r>；0$)。我们不假设$r$和$\theta$的值，除非它们是$x$的函数(可能包含也可能不包含$x$作为变量)。它们将在证明过程中确定。

(但是，我们知道的是，当$x=0$时，左边是$1$，这意味着$r$和$\theta$分别满足初始条件$r(0)=1$和$\theta(0)=0$。)。

不管怎样，我们将从区分等式的两边开始。根据指数的定义，对方程左侧关于$x$进行微分，得到$ie^{ix}$。在对方程的右侧进行微分后，方程变成：\[e^{ix}=\frac{dr}{dx}(\cos\theta+i\sin\theta)+r(-\sin\theta+i\cos\theta)\frac{d\theta}{dx}\]我们要寻找一个以$r$和$\theta$唯一表示的表达式。为了去掉$e^{ix}$，我们用返回的$r(\cos\theta+i\sin\theta)$替换$e^{ix}$以获得：\[i r(\cos\theta+i\sin\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)\frac{dr}{dx}+r(-\sin\theta+i\cos\theta)\frac{d\theta}{dx}\]。然后在左侧分配$I$，然后产生：\[r(i\cos\theta-\sin\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)\frac{dr}{dx}+r(-\sin\theta+i\cos\theta)\frac{d\theta}{dx}\]将虚部和实部分别相等，我们得到：\[ir\cos\theta=i\sin

一旦将此结果替换回(I)和(Ii)并执行一些取消操作，我们得到：\BEGIN{ALIGN*}0&；=(\sin\theta)\alpha\\0&；=(\cos\theta)\alpha\end{Align*}，这意味着$\alpha$-我们已设置为$\frac{dr}{dx}$-必须等于$0$。

从$dr/dx=0$这一事实，我们可以推断出$r$一定是一个常数。类似地，从$d\theta/dx=1$这一事实，我们可以推导出对于某个常数$C$，$\θ=x+C$。

但是，由于$r$满足初始条件$r(0)=1$，因此必须满足$r=1$。类似地，因为$\theta$满足初始条件$\theta(0)=0$，所以我们必须使$C=0$。也就是说，$\θ=x$。

现在确定了$r$和$\theta$，然后我们可以将它们插入到原始方程中，并得到：\BEGIN{ALIGN*}e^{ix}&；=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&；=\cos x+i\sin x\end{Align*}，正如预期的那样，这恰好是Euler实数公式的语句$x$。

作为数学中最重要的方程之一，欧拉公式在不同的主题中当然有其有趣的应用。其中包括：

欧拉的恒等式通常被认为是数学中最美丽的方程式。它是这样写的。

其中，表示了三种类型的数：整数、无理数和虚数。文中还介绍了三种基本的数学运算：加法、乘法和求幂。

我们从欧拉公式\[e^{ix}=\cos x+i\sin x\]开始，设置$x=\pi$并将随后的$-1$发送到左侧，从而获得Euler的恒等式。中间形式[e^{i\pi}=-1]在复平面三角单位圆的上下文中很常见：它对应于单位圆上与正实轴的夹角为$\pi$的点。

此时，我们已经知道复数$z$可以在笛卡尔坐标中表示为$x+iy$，其中$x$和$y$分别是$z$的实部和虚部。

实际上，同样的复数也可以在极坐标中表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是它到原点的距离的大小，$\θ$是它相对于正实轴的角度。

但它并没有到此为止：多亏了欧拉公式，现在每个复数都可以表示为复数指数函数，如下所示：

要从$(x，y)$转换到$(r，\theta)$，我们使用公式\BEGIN{ALIGN*}r&；=\sqrt{x^2+y^2}\\[4px]\theta&；=\Operatorname{atan2}(y，x)\end{Align*}(其中$\Operatorname{atan2}(y，x)$是具有$\Operatorname{atan2}(y，x)=\arctan(\frac{y}{x})$\arctan(\frac{y}{x})$\arctan(\frac{y}{x})$)的双参数ArcTanGent函数。

相反，从$(r，\theta)$到$(x，y)$，我们使用公式：\BEGIN{ALIGN*}x&；=r\cos\theta\\[4px]y&；=r\sin\theta\end{ALIGN*}复数的指数形式也使复数的乘法变得容易得多-就像矩形坐标使加法更容易一样。例如，给定两个复数$z_1=r_1e^{i\theta_1}$和$z_2=r_2e^{i\theta_2}$，我们现在可以将它们相乘如下：\BEGIN{ALIGN*}z_1z_2&；=r_1e^{i\theta_1}\CDOT_2e^{i\theta_2}\\&；=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\end{Align*}同样，我们也可以将相同的两个数字相除如下：\Begin{Align*}\frac{Z1}{Z2}&；=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}\\&；=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_{1}-\theta_2)}\end{align*}。

可以肯定的是，这些前提条件是指数的性质，例如$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$和$e^{-z_1}=\frac{1}{e^{z_1}}$，例如可以通过展开$e^{z_1}$、$e^{-z_1}$和$e^{z_2}$的幂级数来建立。

如果我们使用矩形$x+iy$表示法，同样的除法需要乘以分子和分母中的复数共轭。有了极坐标，情况会是一样的(除了可能更糟)。

如果说有什么不同的话，那就是指数形式更容易看出，将两个复数相乘实际上等同于乘以幅度和相加角度，除以两个复数实际上等同于除以幅度和减去角度。

欧拉公式还可用于提供关键函数的替代定义，如复指数函数、三角函数(如正弦、余弦和正切)以及它们的双曲对应函数。它还可以用来建立这些函数中的一些函数之间的关系。

首先，回想一下Euler公式：\[e^{ix}=\cos x+i\sin x\]如果假设该公式仅对实数$x$成立，则指数函数仅定义为虚数。但是，我们也可以将指数函数扩展为包括所有复数-只需遵循一个非常简单的技巧：

$e^{z}=e^{x+iy}\，(=e^x e^{iy})\overset{df}{=}e^x(\cos y+i\sin y)$。

这里，我们不一定假设指数的可加性成立(确实成立)，但假设第一个表达式和最后一个表达式相等。

换句话说，复数$x+iy$的指数就是量级为$e^x$，角度为$y$的复数。有趣的是，这意味着复指数本质上将垂直线映射到圆。下面是一个动画来说明这一点：

除了扩展指数函数的定义域外，我们还可以利用欧拉公式推导出与之相反的角度为$-x$的类似方程：[e^{-ix}=\cos x-i\sin x]这个方程与欧拉公式本身一起构成一个方程组，我们可以从中分离出正弦函数和余弦函数。

例如，通过从$e^{ix}$方程式中减去$e^{-ix}$方程式，余弦抵消，除以$2i$后，我们得到正弦函数的复指数形式：

类似地，通过将两个方程相加，正弦抵消，在除以$2$之后，我们得到余弦函数的复指数形式：

可以肯定的是，这里有一段视频更详细地说明了相同的派生过程。

另一方面，正切函数被定义为$\frac{\sin x}{\cos x}$，因此根据复指数，它变成：

如果欧拉公式被证明对所有复数都成立(就像我们在幂级数证明中所做的那样)，那么这三个公式也同样适用。它们的存在使我们可以在三角函数和复指数之间自由切换，这在计算导数和积分时是一个很大的优势。

除了三角函数之外，双曲函数还是另一类可以用复指数定义的函数。事实上，正是通过这种联系，我们才能把双曲函数与三角函数联系起来。

例如，通过从复正弦和复余弦开始并插入$iz$(并利用$i^2=-1$和$1/i=-i$的事实)，我们有：\BEGIN{ALIGN*}\SIN IZ&；=\frac{e^{i(Iz)}-e^{-i(Iz)}}{2i}\\&；=\frac{e^{-z}-e^{z}}{2i}\\&；=i\Left(\frac{e^z-e^{-z}}{2}\右)\\&；=i\sinh z\end{align*}\cos iz&；=\frac{e^{i(Iz)}+e^{-i(Iz)}}{2}\\&；=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\\&；=\cosh z\end{ALIGN*}由此，我们还可以将$iz$插入复切线，得到：\[\Tan(Iz)=\frac{\sin iz}{\cos iz}=\frac{i\sinh z}{\cosh z}i=i\tanh z\]简而言之，这意味着我们现在可以用三角函数定义双曲函数，如下所示：

\BEGIN{ALIGN*}\Sinh z&；=\frac{\sin iz}{i}\\[4px]\cosh z&；=\cos iz\\[4px]\tanh z&；=\frac{\tan iz}{i}\end{ign*}。

但是，这些并不是我们可以为其提供新定义的唯一函数。事实上，根据欧拉公式，复对数和一般复指数是我们可以定义的另外两类函数。

与实数的对数相比，复数的对数表现出一种特殊的方式。更具体地说，它有无限多个值，而不是一个。

为了了解这一点，我们从对数函数定义为指数函数的逆开始。即：\BEGIN{ALIGN*}e^{\ln z}&；=z&；\ln(e^z)&；=z\end{align*}此外，我们还知道，对于任何一对复数$z_1$和$z_2$，指数的可加性成立：\[e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\]因此，当一个非零复数表示为指数时，我们有：\[z=|z|e^{i\φ}=e^{\ln|z|}e^{i\phi}=。

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