微积分系列：指数法则的微分

当谈到衍生品的计算时，有一个经验法则是这样的：要么函数是基本的，在这种情况下，我们可以诉诸衍生品表，要么函数是复合的，在这种情况下，我们可以递归地区分它-通过一系列导数规则将其分解为其组成部分的衍生品。

事实上，对于我们中那些读过微积分教科书或参加过微积分课程的人来说，我们可能已经熟悉了这些导数规则中的大部分-如果不是全部的话：

如果函数$cf$定义在区间$i$上，并且$f$在$i$上可微，则$\displaystyle(Cf)‘=cf’$在$i$上。

给定一个大于或等于$1$的实数$r$，对于所有$x\in\mathbb{R}$，$(x^r)‘=r x^{r-1}$。n在$r$小于$1$(且非零)的情况下，对于所有$x\ne0$，$(x^r)’=r x^{r-1}$。

如果函数$f+g$在区间$i$上定义良好，且$f$和$g$在$i$上均可微，则$\displaystyle(f+g)‘=f’+g‘$在$i$上。

如果函数$f-g$在区间$i$上定义良好，且$f$和$g$在$i$上均可微，则$\displaystyle(f-g)‘=f’-g‘$在$i$上。

如果函数$fg$在区间$i$上定义良好，且$f$和$g$在$i$上均可微，则$\displaystyle(Fg)‘=f’g+fg‘$在$i$上。

如果函数$\displaystyle\frac{1}{f}$在区间$i$上定义良好，且$f$在$i$上不可微，则$\displaystyle\Left(\frac{1}{f}{\right)‘=\frac{-f’}{f^2}$在$i$上。

如果函数$\displaystyle\frac{f}{g}$在区间$i$上定义良好，且$f$和$g$在$i$上均可微，则$\displaystyle\Left(\frac{f}{g}(\right))‘=\frac{f’g-fg‘}{g^2}$在$i$上。

如果函数$f\circ g$在区间$i$上定义良好，其中$g$在$i$上可微，$f$在$g(I)$上可微，则：

如果函数$f^{-1}$在区间$i$上定义良好，并且表达式$\displaystyle\frac{1}{f'；[f^{-1}(X)]}$在$i$上有意义(即，对于i$中的所有$x\，$f$在$f^{-1}(X)$处可微，导数为非零)，则：

在很大程度上，这些规则足以处理人们会遇到的绝大多数功能。但是，当我们查看我们的函数库时，我们会发现还缺少了一些东西，即：

在这里，在一种不同寻常的紧迫感的推动下，我们继续玩弄权力派生的想法，随后恰好为这个目的制定了一项规则。名字是什么？当然是指数法则！现在，我们打赌你还没有看过这本书-至少没有在标准的微积分教科书或可汗学院里看过！

给定基函数$f$和指数函数$g$-两者都定义在区间$i$上-可以构造幂函数$f^g$(即，$f$提高到$g$)，只要在$i$上定义$f(X)>；0$(为什么？)。在这种情况下，对数的性质保证：

这表明$\displaystyle=e^{g(X)\ln f(X)}$和$\displaystyle f(X)^{g(X)}$可以在$i$上互换使用。

不过，更重要的是，在$f$和$g$在$i$上都是可微的情况下，使用链式规则和乘积规则的组合，我们可以得到以下结果：

\BEGIN{ALIGN*}\LEFT({g(X)^{g(X)}\RIGHT)‘&；=\LEFT({g(X)^{g(X)\ln f(X)}\RIGHT)’\\&；=e^{g(X)\ln f(X)}\，[g(X)\ln f(X)]‘\\&；=f(X)^{g(X)}\Left[g'；(X)\ln f(X)+{f'；(X)\frac{g(X)}{f(X)}\right]\end{align*}。

$f$和$g$太多了吗？不用担心。我们所展示的就是$f^g$的导数可以用$f$和$g$3的导数来表示-因此导数的指数法则！

幂的导数等于幂本身乘以下式：指数的导数乘以底数的对数，加上底数的导数乘以指数与底比。

如果这听起来仍然有点迂腐，只需知道指数规则基本上保证$f^g$的导数-如果存在-采用$f^g(A+B)$的形式，其中：

$A$是通过取指数的导数乘以底数的对数得到的。

$B$是通过取基的导数，而不是乘以指数在顶部的比率而获得的。

事实上，只要稍微练习一下，我们就可以像掌握商规则一样掌握指数规则-更不用说全新的世界了，它向我们真正的心算狂热分子敞开了大门！

传统上，要计算幂函数的导数，人们必须要么求助于对数微分，要么求助于以e为底的标准化方法，然后才能对其进行微分。随着指数规则的出现，这两种方法基本上都过时了-不是因为它们本身无关紧要，而是因为它们可能在指数规则的派生过程中已经实施了。

在接下来的内容中，我们列出了7个示例，说明如何使用指数规则来进一步简化电源功能的差异化过程，从而腾出一些脑力和资源来处理其他潜在的更具挑战性的任务。

基函数是$\pi$，指数函数是$x$，指数函数$\pi^x$-定义在整个实数行上-很容易满足指数规则列出的前提条件。在这种情况下，使用规则对其进行区分会产生以下结果：

\BEGIN{ALIGN*}(\pi^x)‘&；=\pi^x\Left[(X)’\ln\pi+(\pi)‘\frac{x}{\pi}\right]=\pi^x\ln\pi\qquad(x\in\mathbb{R})\end{ign*}。

这表明$\pi^x$随着一些调整因子而向自身分化-这是指数函数中的典型行为。

现在，对于一个特别简单的函数，这是一种非常强硬的差异化方法吗？实际上，并不是真的，因为事实证明，替代方法本质上是相同的-也许只是多了几个额外的“修补”步骤。

最后，为了庆祝我们第一次成功执行指数规则，我们在这里绘制了$\pi^x$及其派生的图表：

从上一个示例进行概括，我们可以看到，给定基函数$b$($b>；0，b\ne 1$)和指数函数$x$，也可以使用指数规则来区分在整个实数行上定义的指数函数$b^x$，如下所示：

\BEGIN{ALIGN*}(b^x)‘&；=b^x\Left[(X)’\ln b+(B)‘\frac{x}{b}\right]=b^x\ln b\qquad(x\in\mathbb{R})\end{ign*}

这表明，一般而言，指数函数与其底数的自然对数一起可微分为自身。

不幸的是，对于基函数$x$和指数函数$\ln x$，幂函数$\displaystyle x^{\ln x}$只能在集合$\mathbb{R_+}$上定义。然而，这实际上更多的是一种祝福而不是一种诅咒，因为$\mathbb{R_+}$恰好是基函数和指数函数都是可微的最大域。在这种情况下，应用指数规则会产生以下结果：

\BEGIN{ALIGN*}(x^{\ln x})‘&；=x^{\ln x}\Left[(\ln x)’(\ln x)+(X)‘\frac{\ln x}{x}\right]\\&；=x^{\ln x}\Left[\frac{\ln x}{x}+\frac{\ln x}{x}\right]\\&；=x^{\ln x}\，\frac{2\ln x}{x}\qquad(x>；0)\end{align*}。

这并不是太糟糕的结果。可以肯定的是，下面是$\displaystyle x^{\ln x}$及其派生元素的图表：

我们开始吧。是时候释放The Ce Xtravaanza了！对于基函数$x^2+1$和指数函数$\sin x$，幂函数$\displaystyle(x^2+1)^{\sin x}$-定义于$\mathbb{R}$上的Everywhere-还有一个额外的好处，即基函数和指数函数在$\mathbb{R}$上也是可微的。在这种情况下，单次应用指数规则会产生以下结果：

\BEGIN{ALIGN*}\LEFT((x^2+1)^{\sin x}\Right)‘&；=(x^2+1)^{\sin x}\Left[(\sin x)’\ln(x^2+1)+(x^2+1)‘\frac{\sin x}{x^2+1}\right]\\&；=(x^2+1)^{\sin x}\Left[\cos x\ln(x^2+1)+\frac{2x\sin x}{x^2+1}\right]\end{Align*}。

有意思的!。让我们把它们插入我们的绘图应用程序中，看看它会产生什么样的疯狂作为回报！

像往常一样检查清单，我们看到基函数$2x$只能在$\mathbb{R_+}$(即正实数集)上为正。然而，在这样做的同时，我们还发现，基函数$2x$和指数函数$3x$在$\mathbb{R_+}$上都是定义良好且可微的。因此，幂函数$\displaystyle$(2x)^{3x}$在$\mathbb{R_+}$上也是可微的，它的导数可以通过使用指数规则获得：

\BEGIN{ALIGN*}\LEFT[(2x)^{3x}\Right]‘&；=(2x)^{3x}\Left[(3x)’\ln(2x)+(2x)‘\frac{3x}{2x}\Right]\\&；=(2x)^{3x}\Left[3\ln(2x)+3\Right]\qquad(x>；0)\end{Align*}。

或者，我们也可以将指数函数中的$3$推入基函数，如下所示：

在这种情况下，前面关于域和可微性的观察仍然成立，并且应用指数规则再次产生：

\BEGIN{ALIGN*}\LEFT[(8x^3)^x\Right]‘&；=(8x^3)^x^2\Left[\ln(8x^3)+24x^2\frac{x}{8x^3}\Right]\\&；=(2x)^{3x}\Left[\ln(8x^3)+3\Right]\qquad(x>；0)\end{Align*}。

那么，像这样涉及更高指数的情况又如何呢？好的，这里不用担心，因为这不是一个真正的嵌套幂函数。事实上，使用对数的广义幂规则，人们可以将其折叠回普通的幂函数，如下所示：

在这里可以看到，不仅$\displaystyle\sqrt{x}^{\，\cos x\ln x}$在$\mathbb{R_+}$上定义良好，而且基函数$\sqrt{x}$和指数函数$\cos x\ln x$在$\mathbb{R_+}$上也是可微的。在这种情况下，应用指数规则会产生以下结果：

\BEGIN{ALIGN*}\LEFT(\sqrt{x}^{\，\cos x\ln x}\right)‘&；=\sqrt{x}^{\，\cos x\ln x}\Bigg[\Left(-\sin x\ln x+\frac{\cos x}{x}\right)\ln\sqrt{x}\\&；\phantom{=}\；\；+\frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{\，\cos x\ln x}{\sqrt{x}}\bigg]{\&；=\sqrt{x}^{\，\cos x\ln x}\Left[-\frac{1}{2}\sin x(\ln x)^2+\frac{\cos x\ln x}{x}\right][\qquad(x>；0)\end{align*}。

这会变得有点冗长。但关键是它是可行的，所以如果我们把所有的东西放在一起，我们就可以得到：

\BEGIN{ALIGN*}\LEFT[{\Left(\sqrt{x}^{\，\cos x}\Right)}^{\ln x}\Right]‘&；=\Left(Sqrt{x}^{\，\cos x\ln x}\Right)’\\&；={\Left(\sqrt{x}^{\，\cos x}\right)}^{\ln x}\Left[-\frac{1}{2}\sin x(\ln x)^2+\frac{\cos x\ln x}{x}\right]\qquad(x>；0)\end{align*}。

现在你可能会问，“这不是我们刚才做的那个吗？”实际上，不完全是。这是因为不太保密的约定：\[\sqrt{x}^{\，\cos x^{\，\ln x}}\stackrel{df}{=}\sqrt{x}^{\，(\cos x^{\，\ln x})}\]。

在这种情况下，对数的幂规则根本不起作用。但是，这并不是说它不会阻止我们递归地计算导数。

要了解如何操作，让我们首先关注指数函数$\displaystyle\cos x^{\，\ln x}$，从中我们可以看到：

\Begin{Align*}i\stackrel{df}{=}\Left\{x\in\mathbb{R_+}\matrel{\Big|}-\frac{\pi}{2}<；x<；\frac{\pi}{2}\，\，(\text{mod}2\pi)\right\}\end{align*}。

然后可以看到$\displaystyle\cos x^{\，\ln x}$在$i$上定义良好，$\cos x$和$\ln x$在$i$上也是可微的。其中CSAE，即指数规则规则生效，产生了以下结果：

\BEGIN{ALIGN*}\LEFT(\cos x^{\，\ln x}\right)‘&；=\cos x^{\，\ln x}\Left[\frac{1}{x}\ln(\cos x)+(-\sin x)\frac{\ln x}{\cos x}\right]\\&；=\cos x^{\，\ln x}\Left[\frac{\ln(\cos x)}{x}-\tan x\ln x*\right]\qquad(x\in i)\end{align*}。

它负责指数函数的导数。现在，如果我们只是稍微回溯到原来的函数，那么应该不难看出这一点：

基函数$\sqrt{x}$和指数函数$\cos x^{\，\ln x}$在$i$上都是可微的。

这只能意味着一件事-$\displaystyle\sqrt{x}^{\，(\cos x^{\ln x})}$在$i$上也是非常可区分的。在这里，第二次应用指数规则，我们得到了以下结论：

\BEGIN{ALIGN*}\LEFT[\sqrt{x}^{\，({\cos x}^{\，\ln x})}\Right]‘&；=\sqrt{x}^{\，({\cos x}^{\，\ln x})}\Left[\Left({\cos x}^{\，\ln x}\right)‘\ln\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{{\cos x}^{\，\ln x}}{\sqrt{x}}\右]\\&；=\cdots\end{align*}。

好吧，我想我们就到此为止，把代数问题留给你。但是，嘿，如果你足够熟练，可以走到这一步，你就可以完成这个任务，对吧？🙂。

出于好奇心，这里是原始函数及其导数的图表，以备记录。请注意这与示例6中的图表之间的鲜明对比。

是。这有点像符号运算，但希望它说明了为什么指数规则可以成为我们衍生品规则武器库中的一项宝贵资产。虽然对于简单的幂函数，这种方法看起来有点矫枉过正，但是对于一个嵌套在另一个幂函数中的重复求幂的幂函数，很明显指数规则是绝对可行的。

除了自动化幂函数的微分过程外，指数规则-特别是当与其他传统的派生规则结合时-可能真的会想知道如何利用以前过于吓人/乏味的函数-例如，我们很难在典型的微积分教科书中找到的函数。🙂。

无论如何，我们就到此为止吧，现在就到此为止吧。为了完整起见，下面是一个互动式表格，总结了我们到目前为止的发现：

幂函数$f^g$在区间$i$上定义良好(即，$f$和$g$都在$i$上定义良好，$f>；0$在$i$上定义良好)。

\BEGIN{ALIGN*}(f^g)‘=f^g\Left(g’\ln f+f‘\frac{g}{f}\Right)\qquad(x\in i)\end{Align*}。

$\displaystyle\Left[(x^2+1)^{\sin x}\right]‘=(x^2+1)^{\sin x}\Left[\cos x\ln(x^2+1)+\frac{2x\sin x}{x^2+1}\right]\quad(x\in\mathbb{R})，$。

$\displaystyle\Left[(2x)^{3x}\right]‘=(2x)^{3x}\Left[3\ln(2x)+3\right]\quad(x>；0)$。

$\displaystyle$\Left[{\Left(\sqrt{x}^{\，\cos x}\right)}^{\ln x}\right]‘={\Left(\sqrt{x}^{\，\cos x}\right)}^{\ln x}\Left[-\frac{1}{2}\sin x(\ln x)^2+\frac{\cos x\ln x}{x}\right]\quad(x>；0)$。

$\displaystyle\Left[\sqrt{x}^{\，({\cos x}^{\，\ln x})}\right]‘=$您知道怎么做。

简而言之，虽然相对不为人所知，但指数规则可以成为我们可以使用的强大的差异化工具。它不仅避免了对数微分的循环性，而且当涉及大量的广义幂时，它还允许我们更快地进行微分。

当然，这条规则一开始可能看起来有点吓人，但一旦掌握了它，几乎不可能想象没有它就能区分开来。毕竟，每条区分规则都是为了避免我们一遍又一遍地重复相同的过程，而指数规则与其他规则并不相差无几！

浅薄的学习和机械练习在高等数学中很少奏效。取而代之的是，使用这10条原则来优化你的学习，防止多年的努力浪费。