作为学习超级大国的安琪：计算机科学版

戴利：如果你不使用Anki或它的兄弟姐妹来记住你学到的东西，你就错过了字面上的超能力。我发现有一些具体的技巧可以帮助我用它来学习数学，特别是计算机科学。

这篇文章将非常简短地讨论Anki是什么，但主要是为了帮助数学或计算机科学的学生从它身上挤出一些额外的生产力。如果你还不熟悉Anki，也可以去阅读Michael Nielsen关于增强长期记忆的帖子，或者不读这篇文章；如果你时间不多，这篇帖子对Anki新手的主要价值是前八分之一左右，直到但不包括“使用Anki在一个不熟悉的领域彻底阅读一篇研究论文”。这篇文章给出了一个概括性的动机，说明为什么人们可能会想要使用Anki。(剧透：它给了你超人的记忆！)。

Anki是一个间隔重复的系统：本质上是一个程序，它每隔一段时间向你展示抽认卡，帮助你记住它们的内容。这样的系统是基于这样一种观察，即虽然你不能阻止记忆的衰退，但反复曝光会使衰退以指数级的速度减慢。

因此，当你第一次学习一个事实时，你需要经常排练它，但复习很快就会变得非常稀疏，而不会失去你来之不易的记忆。

Anki只是一个这样的系统；还有其他实现，如SuperMemo和Mnemmate。还有一些应用程序使用相同的原则来实现更具体的目标；例如，Memrose是为语言学习而设计的。这篇帖子是用Anki来表达的，因为出于历史原因，我使用的就是Anki。

我把这一节放在开头，因为我相信间隔重复真的是一种任何人都能获得的超能力。如果我不能保持你对这篇文章的兴趣，我鼓励你浏览一下这些其他资源，希望其中有一个能起到作用！

增强长期记忆-简要介绍各种记忆系统，特别是Anki。这句钱的引言是：“安琪让记忆成为一种选择”。如果你选择记住某件事，你就能做到。

量子国家-使用集成的间隔重复抽认卡介绍量子计算，附带电子邮件提醒您每隔一段时间使用该网站。即使你对量子计算不感兴趣，我建议你至少浏览一下网站的前几部分，这样你就可以看到基于文本的真正好的抽认卡是什么样子的。(请注意，它的一些卡片并不理想；该网站有时确实会陷入“是/否”的模式，使用的抽认卡的答案是光秃秃的“是”或“否”。这种形式的卡片不如卡片好，后者可以让您实际复制事实的基于内容的部分。)

学习中形成知识的二十条规则--间隔重复系统的创建者SuperMemo讨论了如何形成知识，使其保持一致。再说一次，即使你不使用间隔重复，一定要阅读这篇文章；这个建议绝对是我理解如何学习的基础。在这篇博客文章中，有相当一部分实质上是针对数学和计算机科学的情况专门阐述了其中的一些规则。

Reddit：医学院Anki，这是一个子Reddit，在撰写本文时拥有近55000名订阅者。这里的这个链接只是为了证明，在某些领域(如医学)，Anki非常受欢迎，远不及它在大多数领域的利基市场。

要有效地使用Anki，即使是适度收集卡片，绝对至关重要的是，回答卡片应该是一种单一的精神运动。

“法国的首都是什么？”答案可能只有一个简单的心理动作：它就是“巴黎”，只需在你的记忆中进行简单的查找就能得到。

“367乘以399是多少？”是许多心理运动，除非你真的非常擅长心算。几乎每个人都要进行某种算法才能得到这个问题的答案。

“空气的成分是什么？”可能有很多心理动作：例如，查找“空气中有哪些气体？”还有一些运动，比如“这个特定气体占空气的比例是多少？”也可能是“空气中最常见的气体是哪种气体，它在空气中所占的比例是多少？”的各种心理动作。随着n的变化。

“空气中最常见的气体是什么，它所占的比例是多少？”很可能是一个单一的精神运动，尽管它的答案中有多个组成部分。对我来说，“氮气是空气中最常见的气体”这一知识与“78%的空气是氮气”息息相关；回答一个问题就是获得与回答另一个问题所需的相同的存储心理块。当然，对于其他人来说，这可能是两个截然不同的事实和两个截然不同的内存查找。

用一个心理动作回答的卡片可能是其他人的多个动作；而一个用多个心理动作回答的问题可能在你了解了一些额外的事实或将事实联系在一起的模型的一部分后成为一个动作。因此，如果你亲自跟踪你正在做什么来回答一张给定的卡片，这样你就可以在自己的头脑中识别出一些这样的结构，这是很有帮助的。

如果你要做的工作太多而不能回答一张牌，重要的是要注意，这样你就可以把牌拆分开来。不要担心你可能会“太多地拆分一张牌”；如果牌很容易，Anki会指数级地降低它向你展示它们的频率。创建一张太容易的卡片的成本几乎完全体现在最初创建卡片的时间上；太难的卡片会一次又一次地耗费您的时间和精力。

例如，回想一下收敛的比率测试，可能会在任何第一门分析课程中介绍：

设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是复数列，每个$a_i$都不为零。假设有$a$，使得$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\等于$。然后，如果$a<；1$，则级数绝对收敛；如果$a>；1$，则级数发散。

这条语句有许多活动部分，而且绝对太大了，不能作为一张卡片出现。(请记住经验法则：回答一张卡片应该是一个单一的心理动作。)。我们怎样才能以一种对Anki友好的方式表达这一声明呢？

我自己的个人安琪收藏包含以下卡片。(Anki确实允许使用LaTeX，不过我经常优化卡片创建的速度，只使用纯文本，不管它最终有多难看。只要它很容易辨认，就不需要很漂亮。)。

比率测试存在哪些条件？(答：非零，比率顺序有限制)。

什么时候比率测试能让我们得出一些结论呢？(答案：连续比率收敛到不等于1的值)。

比率测试存在哪些情况？(回答：比率收敛到小于或大于1)

如果比率收敛到小于1的值，我们可以从比率测试中得出什么结论？(答案：绝对融合)。

如果比率收敛到大于1的值，我们可以从比率测试中得出什么结论？(答案：分歧)。

如果比率收敛到1，我们可以从比率测试中得出什么结论？(回答：什么都没有)。

所有这些卡片都非常简单；也许它们看起来简单得可笑。这很好！记住，安琪会很快停止给你看你已经知道的牌。至关重要的是，每一张牌实际上都是一项需要回答的单一心理运动。

另请注意，信息在卡之间复制。例如，有两张卡片以略有不同的方式表示，比率测试说明当连续的比率收敛到不等于1的值时。同样，重复信息是可以的，因为卡片很便宜。在这里，信息被复制，以更好地促进卡片之间的联系：一张卡片是“我们什么时候可以得出任何结论”的一般信息，而另一张卡片是被重新表述为“我需要考虑在哪些情况下在这里提供更多信息”的相同信息。如果没有额外的措辞，就有更大的风险开发出“孤立的”牌簇；其目的是，只要给出提示的“比率测试”，我就可以重现整个牌簇，而不需要进一步思考。

记住定义很像记住定理的陈述。不费吹灰之力，下面是我对红黑树的定义：

不确切地说，红黑相间的树的着色规则是什么？(“GLOBAL；LOCAL；BASE-CASE”)。

红黑相间的树的底色规则是什么？(“树叶是黑色的”)

红黑相间的树的局部着色规则是什么？(“红色节点=>；黑子级”)。

红黑树的全局着色规则是什么？(“黑色深度清晰可见”)。

红黑树中节点的黑色深度是多少？(“从该节点向下到树叶的路径上遇到的黑色节点数”)。

同样，也有一些重复(两张卡片注意到红黑相间的树叶被涂成黑色)，所有的卡片都非常简单。重点是不仅要确保记住实际内容，而且要确保内容足够相互关联，以便您可以从单个提示符“红黑树”中重现整个定义。此外，一张卡片是明确的结构化的，没有实际内容：列出了三种类型的配色规则的卡片。这张卡在那里只是为了让我记住哪些卡是相关的。

天真地，人们可能会创建一张卡片，而不是一张卡片，“什么是红黑树？”但根据我的经验，这太大了。如果你一天要审阅30张卡片，而这些卡片都像“什么是红黑树”那么大，那么你很可能会感到厌烦，或者开始花太长时间来审阅。我个人每天检查大约85张卡片，它们都很小；只要我有几分钟的空闲时间，我就会检查几张卡片。如果你的卡片很多，复习就会变成一件可怕的家务，甚至很难让你自己花很少的时间保持在它的顶端。

使用Anki死记硬背课文是可能的。例如，我把“道德经”的前四章学成了90张牌，每一张都有相同的结构：比如说，正面是正文的第43行，背面是第44行。然而，这是一项人类记忆非常不适合的任务：几乎每个人都通过联想学习得最好，创造了由相互关联的事实组成的大型网络，这些事实共同形成了一个连贯的世界模型，每个事实都增强了其他人的记忆。

要想学到任何东西，最好先理解它，不管它是多么模糊。在没有一个模型的骨架来悬挂你正在记忆的事实之前，不要一下子就去记忆。

有关理解证明的本质和如何使用Anki的更多、更多信息，请参阅Michael Nielsen撰写的优秀的博客文章“看透一篇数学”。尼尔森介绍了一个简单的问题，并讨论了人们可能理解它的可能方式，以及如何使用Anki来编码自己的理解。

假设你已经理解了一个证据，现在你想用Anki使这个证据在你的记忆中永垂不朽。尝试和死记硬背证据可能感觉很自然，但这是一种巨大的精力浪费，因为无结构的文本不能发挥大脑的优势。取而代之的是，通过校样制作一张地图，边走边放置路点，然后学习路点。还要记住，如果需要，您可以使用编码结构而不是内容的卡片，正如“什么是红黑树？”中所讨论的那样。举个例子。

我们在上面定义了比率测试；让我们看看如何以一种对Anki友好的方式来表示它的证明。

这里有一个比率测试的证明，几乎是从我的大学课堂笔记逐字复制过来的。

完全理解这一点并不重要，甚至根本不需要了解任何细节；我只是将其用作转换为Anki卡的示例。

有两种情况：序列$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$趋向$a<；1$as$n\to\infty$，或趋向$a>；1$。

首先假设$a>；1$。然后有一些$M$使得在$a_M$之外，所有的$a_{n+1}$的绝对值都大于它们的$a_n$。因此，序列不能趋于$0$，因此级数不能收敛。

因此，假设$a<；1$。选择$a$和$1$之间的任意$r$；然后有一些$M$，即超过$a_M$的所有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<；r$。因此，在$a_M$之外，所有的$|a_n|$都小于$r^{n-M}|a_M|$；但是$\sum_{n=M}^{\infty}|a_M|r^{n-M}$是一个收敛的几何级数，所以通过比较检验，$\sum_{n=M}^{\infty}|a_n|$收敛。由于初始项不影响收敛，因此$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必须绝对收敛。这就完成了证明。

比率检验证明的第一步是什么？(拆分为$a<；1$和$a>；1$)

证明比率测试$a>；1$的关键思想是什么？(条件不趋向于0)。

比率检验证明中的关键思想是什么，$a<；1$？(挑选$a<；r<；1$，两次调整后对比测试)。

我们在比率测试的证明中所做的第一个调整是什么，$a<；1$？(忽略初始术语，因此所有比率<；r)。

我们在比率测试的证明中所做的第二个调整是什么，$a<；1$？(将第一个学期分开，以便所有学期<；r^n)。

在比率测试的证明中，我们与什么进行比较，$a<；1$？($r^n$)。

使用这个，我可以构造下面的证明，它比原始的稍微少了一些细节，但如果需要的话，我可以很容易地充实它。

设$\frac{a_{n+1}}{a_n}$的极限的绝对值为$a$。我们分成两种情况：$a<；1$和$a>；1$。

如果$a>；1$，级数是不趋向于$0$的项的总和(实际上，超过某一点，项的模数会严格增加)，因此它不会收敛。

如果是$a<；1$，请在$a$和$1$之间选择$r$。然后，因为初始项不影响收敛性，所以我们可以省略初始项，以便在不损失一般性的情况下，所有$\frac{a_{n+1}}{a_n}$的模均小于$r$。然后我们可以除以$a_1$，这样在不损失一般性的情况下，每个$|a_n|\leq r^n$。最后，通过对比试验，给出了所要求的结果。

也许有更好的方法来制定这些卡片；必须记住诸如“第一次调整是什么”和“第二次调整是什么”之类的相当武断的列表从来都不是理想的。但“第一次和第二次调整”牌对我来说是安全的，因为我在空间上把它们一起记在一起：第一张是动感，把系列向左平移；第二张是缩水/挤压的感觉，把第一个任期分开。可能不同的人会找到不同的、更个人化的有效方法来分解各种组件。

请注意，这些卡片编码的是提示，而不是正式的证明。目的是建立正确的结构，而不是逐字排练证明。即使你在为考试复习，你仍然应该相信自己能够在没有明确记住的情况下做事情！

通常的经验法则是，你把50%的时间花在最难的5%的抽认卡上。一个间隔的重复系统会以指数级的频率向你显示容易的卡片，所以你会很快停止检查你最容易的卡片。但有些牌就是顽固地拒绝学习，所以Anki会一遍又一遍地给你看，希望你这次能拿到(直到最后它放弃了，自动把这张牌标记为“水蛭”，再也不给你看了)。

会有这样表现的卡片，这就是生活。一定要留心他们；试着去辨别那种“呃，不要再打这张牌”的精神状态。当你发现一张卡片反复出现，或者回答起来总是令人不快，或者你总是弄错的时候：

扔掉卡片！不管怎样，你真的需要了解这个事实吗？有那么多其他的东西需要学习；你有充分的理由把时间花在这一点上吗？或者，如果有必要，你甚至不需要努力去记忆，就能推导出这张卡片的内容？

把卡拆开。是不是太大了？你能减少学习这张牌所需的脑力吗？

做更好的助记符。你需要构建一个不同的脑海中的场景来描述这张卡片，或者一些聪明的短语留在你的脑海中，或者为音乐配乐吗？

重温一下基本知识。你之所以把这张牌弄错了，是因为你对整个主题的心理模型没有足够充分的依据吗？

我把说服你使用Anki的工作留给了其他人，但这是一个需要记住的问题，这样你就可以从Anki的使用中学到更多东西，特别是在学习更复杂的技术概念时，因为如何创建卡片并不是那么明显。Anki的艺术最容易通过示例来学习；希望这提供了更多的演示来帮助充实武器库。