从向量空间到周期函数

在线性代数中出现的一个有趣的结果是实数集(\mathbb{R}\)是有理数集\(\mathbb{Q})上的向量空间。\)乍一看，这可能看起来令人惊讶，但通过检查向量空间的所有八个分类是否都成立，很容易证明确实如此：

向量加法的交换性：(x+y=y+x)对于所有的(x，y\in\mathbb{R})。\)。

向量加法的结合性：对所有的(x，y，z\in\mathbb{R})，\(x+(y+z)=(x+y)+z\)。\)。

加性单位向量的存在性：我们有\(0\in\mathbb{R}\)使得\(x+0=x\)对所有\(x\in\mathbb{R})都是\(x\in\mathbb{R})。\)。

加性逆向量的存在性：对所有的(x\in\mathbb{R})，都存在\(-x\in\mathbb{R})。\)。

标量乘法的结合性：(a(Bx)=(Ab)x)对所有(a，b\in\mathbb{q}\)和对所有\(x\in\mathbb{R})。\)。

向量加法上标量乘法的分配性：对所有(a\in\mathbb{q}\)和所有\(x，y\in\mathbb{R})\(a(x+y)=ax+by\)。\)。

标量加法上标量乘法的分配性：((a+b)x=ax+bx)对所有(a，b\in\mathbb{q}\)和对所有\(x\in\mathbb{R})。\)

标量乘法恒等式的存在性：我们有\(1\in\mathbb{q}\)使得\(1\cdotx=x\)对所有\(x\in\mathbb{R})。\)。

这表明实数集\(\mathbb{R}\)在有理数域\(\mathbb{Q})上形成一个向量空间。\)得出这个事实的另一种快速方法是观察\(\mathbb{q}\subseteq\mathbb{R}，\)，即\(\mathbb{Q}\)是\(\mathbb{R})的子域。\)任何域都是它的任何子域上的向量空间，所以\(\mathbb{R}\)一定是\(\mathbb{Q}上的向量空间。\)。

定义两个从(\mathbb{R}\)到\(\mathbb{R}\)的周期函数\(f\)和\(g\)，使得它们的和\(f+g\)是单位函数。选择的公理是允许的。

如果存在函数\(p\gt0)使得域中的所有\(x\)都有\(f(x+p)=f(X)\)，则函数\(f\)是周期函数。

如果你想考虑这个问题，现在是停下来想一想的好时机。前面有剧透。

选择公理等价于每个向量空间都有基的说法。由于实数集\(\mathbb{R}\)是有理数集\(\mathbb{q}\)上的矢量空间，因此必须有一个基\(\mathcal{H}\subseteq\mathbb{R}\)，使得每个实数\(x\)可以唯一地写成具有有理系数的\(\mathcal{H}\)元素的有限线性组合，即，[X=\sum_{a\in\mathcal{H}}x_a\]其中每个\(x_a\in\mathbb{q}\)和\(a\in\mathcal{H}\midx_a\ne0\)是有限的。集合\(\Mathcal{H}\)也称为Hamel基。

我们知道对于数学{H}中的不同的\(a，b\)，\(b_a=0\)是因为\(a\)和\(b\)是基向量。

在上述展开式中，每个(X_A)都是一个有理数，表示为所有\(x，y\in\mathbb{R})的基向量\(A)的系数。因此，对于所有的\(x，y\in\mathbb{R})，\((x+y){a}=x_a+y_a\)。因此，((x+b){a}=x_a+b_a=x_a+0=x_a.\)这表明函数\(f(X)=x_a\)是周期为\(B)的周期函数。\)

让我们定义两个函数：BEGIN{ALIGN*}f(X)&；=\sum_{a\in\mathcal{H}\setminus\{b\}x_aa，&；g(X)&；=x_b b.\end{ign*}其中\(b\in\mathcal{H}\)和\(x\in\mathbb{R}。\)让我们选择(c\在数学{H}\中)使得\(c\ne b.\)则\(f(X)\)是周期为\(B)的周期函数和(g(X)\)是周期为\(C)的周期函数。[F(X)+g(X)=\Left(\sum_{a\in\mathcal{H}\setminus\{b\}x_a\right)+x_b b=\sum_{a\in\mathcal{H}}x_a=x\]因此\(f(X)\)和\(g(X)\)是两个周期函数，它们的和是恒等式函数。