六十进制的 / 六十的

跳转到导航跳转搜索十六进制(也称为基数60或六进制)是一个以60为基数的数字系统。它起源于公元前三千年的古苏美尔人，传给古巴比伦人，现在仍在使用--经过修改后--用于测量时间、角度和地理坐标。

数字60是一个高级的高度合成的数字，它有12个因子，即1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60，其中2、3和5是质数。有了这么多的因素，许多涉及六小数的分数都被简化了。例如，一个小时可以平均分为30分钟、20分钟、15分钟、12分钟、10分钟、6分钟、5分钟、4分钟、3分钟、2分钟和1分钟。60是可以被1到6之间的每个数字整除的最小数字；也就是说，它是1、2、3、4、5和6的最小公倍数。

在本文中，除非另有说明，否则所有六位数字都表示为十进制数字。例如，10表示数字10，60表示数字60。

人们只用一只手就可以用手指数到12，拇指依次指向四个手指上的每个指骨。亚洲许多地区仍在使用的传统计数系统以这种方式工作，除了基于10、20和5的数字系统外，还可以帮助解释以12和60为基础的数字系统的出现。在这种系统中，一只手重复数到12，另一只手显示迭代的次数，直到五个几十，即60个满为止。[1][2]。

根据Otto Neugebauer的说法，六角星的起源并不像人们经常描述的那样简单、一致或在时间上是单一的。在其数百年的使用过程中，时间、角度和天文坐标系等专业主题一直延续到今天，六进制记数法一直包含着十进制记数法的强大潜流，例如在如何书写六进制数字方面。它们的使用也总是包括(并将继续包括)不同的基数在何处以及如何表示数字的不一致，即使在单个文本中也是如此。[3]。

严格、完全自洽地使用六进制的最强大的驱动力一直是它在写分数和计算分数方面的数学优势。在古代文献中，这一点表现在这样一个事实上，即在数学数据表中，六分之一的使用是最统一和一致的。[3]过去帮助扩大使用六分之一的另一个实际因素，即使不如在数学表中那样始终如一，那就是它对商人和买家的明显优势是，当他们涉及到讨价还价和分割更大数量的商品时，它使日常金融交易变得更容易。特别是早期的谢克尔是法力的六十分之一[3]，尽管希腊人后来强迫这种关系，使之更符合基数10的比例，即谢克尔是五分之一米纳。

除了数学表，在大多数文本中如何表示数字的不一致一直延伸到用来表示数字量的最基本的楔形符号。[3]例如，1的楔形符号是通过将指示笔的圆端以一定角度应用于粘土而制成的椭圆，而60的六分之一符号是较大的椭圆形或大1。但在使用这些符号的同一文本中，数字10被表示为一个圆圈，这个圆圈是通过将样式的圆端垂直于粘土而形成的，而一个更大的圆圈或大10；被用来表示100。这样的多基数数值符号可以彼此混合，甚至可以在单个数字内混合使用缩写。细节甚至暗示的大小(因为没有一致地使用零)对于特定的时间段、文化、数量或概念来说都是惯用的。虽然这种上下文相关的数值表示法很容易在回想起来加以批评，但在现代，我们仍然有几十个经常使用的与主题相关的基数混合的例子，包括最近的创新，即在六分之一的天文坐标上添加小数。[3]。

古代美索不达米亚使用的六进制并不是纯粹的60进制，因为它的数字没有使用60个不同的符号。取而代之的是，楔形数字以符号值记法的方式使用10作为子基：一个六进制数字由一组窄的楔形标记和一组宽的楔形标记组成，窄的楔形标记表示最多九个单位(，...，)，而一组宽的楔形标记表示最多五个十(，)。数字的值是其组成部分的值之和：

大于59的数字由这种形式的多个符号块就地取值表示。因为没有代表零的符号，所以数字应该如何解释并不总是立竿见影的，它的真值有时必须由它的上下文决定。例如，1和60的符号是相同的。[4][5]后来的巴比伦文献使用占位符()来表示零，但只在中间位置，而不是在数字的右侧，就像我们在13200这样的数字中所做的那样。[5]。

在中国历法中，通常使用一个六周年周期，在这个周期中，日或年是由十个干的序列中的位置来命名的，而另一个序列中的位置是由12个分支组成的。在这个循环中，相同的茎和分支每60步重复一次。

柏拉图的“理想国”第八册涉及以数字604=1296万及其约数为中心的婚姻寓言。这个数字具有特别简单的六进制表示法1，0，0，0。后来的学者引用了巴比伦的数学和音乐理论来解释这段话。[6]。

托勒密的“天文学”一书写于公元2世纪，是一部关于数学天文学的专著，它用60为底来表示数字的小数部分。特别是，他的和弦表，基本上是一千多年来唯一广泛的三角表，有一个度的小数部分，以60为基数。

中世纪的天文学家也用六进制数字来记录时间。Al-Biruni在讨论犹太月份时，首先将一小时按六个小时细分为分钟、秒、三分和四分之四(公元1000年)。[7]1235年左右，萨克洛博斯科的约翰延续了这一传统，尽管诺萨夫特认为萨克洛博斯科是第一个这样做的人。[8]巴黎版的Alfonsin表(约1320年)使用天作为基本的时间单位，用60为基数的记数法记录一天的倍数和分数。[9]。

直到1671年，欧洲天文学家仍经常使用六进制数系统进行计算。[10]例如，Jost Bürgi在Fundamentum Astronomiae(1592年呈交给鲁道夫二世皇帝)，他在Fundamentum Astronomicum的同事Ursus，可能还有Henry Briggs，在16世纪末使用基于六进制的乘法表来计算正弦。[11]。

在18世纪末和19世纪初，泰米尔天文学家被发现进行天文计算，使用希腊化天文学家开发的十进制和六进制的混合记法来计算贝壳。[12]。

基数为60的数字系统也被其他一些与苏美尔人无关的文化所使用，例如新几内亚西部的埃卡里人。[13][14]

六角制的现代用途包括测量角度、地理坐标、电子导航和时间。[15]。

一小时的时间分成60分钟，一分钟分成60秒。因此，像3：23：17(3小时23分17秒)这样的时间测量可以解释为一个整数(没有60小数点)，即3×60 2+23×60 1+17×60 0秒。但是，此数字中的三个六进制数字(3、23和17)都是使用十进制书写的。

同样，角度测量的实际单位是度，一个圆内有360度(60度)。度是60分弧度，马上是60角秒。

在YAML数据存储格式的1.1[16]版中，普通标量支持六位小数，并正式指定整数[17]和浮点数。[18]这导致了混淆，例如，一些MAC地址将被识别为六进制并被加载为整数，而其他MAC地址则不被识别并被加载为字符串。在YAML1.2中，取消了对六进制的支持。[19]。

在希腊化的希腊天文学文本中，如托勒密的著作中，六进制数是用希腊字母数字书写的，每个六进制数字都被视为一个不同的数字。希腊化的天文学家采用了一个表示零的新符号-°，几个世纪以来，这个符号演变成了其他形式，包括希腊字母Omicron，ο，通常意思是70，但在六分之一的系统中是允许的，因为任何位置的最大值都是59。[20][21]希腊人将六进制数字的使用限制在数字的小数部分。[22]。

在中世纪的拉丁文本中，六位小数是用阿拉伯数字书写的；不同级别的分数用minuta(即分数)、minuta secunda、minuta tertia等表示。到17世纪，用上标零表示六位小数的整数部分变得普遍，用一个或多个重音符号表示各种小数部分。John Wallis在他的“数学通用性”一书中将这种记数法推广到包括60的更高倍数；例如，数字49‘36’25‘’15‘1°15’2“36‴49⁗；其中左边的数字乘以60的高次幂，右边的数字除以60的幂，标有上标零的数字乘以1。[23]这个记数法得出了度、分和秒的现代符号。同样的分钟和秒术语也用于时间单位，现代的时间记法用十进制写成的小时、分钟和秒，彼此之间用冒号隔开，可以被解释为六进制记法的一种形式。在现代记法中，小时、分钟和秒以十进制写成，彼此之间用冒号隔开，这可以被解释为六进制记法的一种形式。

在一些用法系统中，超过六分之一的每个位置都用拉丁语或法语词根编号：质数或普里默斯，秒数或塞昆杜斯，提尔斯，夸特，昆特等等。直到今天，我们还称二阶一小时的部分或学位为a"；Second&34；。至少在18世纪以前，1/60秒被称为a#34；tiels&34；或"；Third&34；。[24][25]。

在20世纪30年代，Otto Neugebauer为巴比伦和希腊化的数字引入了一种现代记数法系统，在每个位置用现代的小数记数法从0到59代替，同时使用分号(；)来分隔数字的整数和小数部分，并使用逗号(，)来分隔每个部分中的位置。[26]例如，巴比伦天文学家和希腊天文学家使用的平均会合月份是29天；31天、50天、8天、20天。本文使用此表示法。

在六进制中，任何分母为正数的分数(在其素因式分解中只有2、3和5)都可以精确表示。[27]这里显示的是分母小于或等于60的这种类型的所有分数：

​1⁄7=0；8，34，17(条形表示8，34，17无限次重复的六位小数序列)。

与60、59和61相邻的两个数字都是素数的事实意味着，以一个或两个六位小数周期重复的分数只能以59或61的正则数倍作为其分母，而其他非正则数具有周期较长的重复分数。

在任何位置数系统(包括十进制和六进制)中，无理数的表示既不会终止，也不会重复。

2的平方根，即单位正方形的对角线的长度，被古巴比伦时期(公元前1900年-公元前1650年)的巴比伦人近似为。

1；24，51，10=1+24 60+51 60 2+10 60 3=30547 21600≈1.41421296…。{\displaystyle 1；24，51，10=1+{\frac{24}{60}}+{\frac{51}{60^{2}}+{\frac{10}{60^{3}={\frac{30547}{21600}}\约1.41421296\ldots}[28]。

因为√2和≈电话：1.414 21356...。是一个无理数，它不能精确地用六进制(或实际上任何以整数为底的系统)表示，但它的六进制展开确实从1开始；24，51，10，7，46，6，4，44……。(OEIS：*A070197)。

希腊数学家和科学家托勒密使用的π值是3；8，30=3+8/60+30/60 2=377/120≈3.141 666...。[29]Jamshīd al-Kāshī是一位15世纪的波斯数学家，他计算出2π是一个六进制表达式，四舍五入为9位数时的正确值(因此为1/60 8)；他对2π的值是6；16，59，28，1，34，51，46，14，50。[30][31]与上面的√2一样，2π是一个无理数字，不能精确地用六进制表示。它的六星扩张从6开始；16，59，28，1，34，51，46，14，49，55，12，35…。(OEIS：*A091649)

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