一场全球大流行，世界末日般的大火，以及美国可能在三天后陷入暴力无政府状态，都会对灵魂造成奇怪的影响。
伯特兰·罗素(Bertrand Russell)-如果他在漫长的一生中什么也没有做，我会为此永远爱他-曾经写道，“在青春期，我憎恨生活，一直处于自杀的边缘，然而，从那以后，我被想要了解更多数学知识的愿望所束缚。”这个夏天，我无法忍受2020年的黯淡，我痴迷地阅读从数学的标准基础--集合论的泽梅洛-弗拉恩克尔公理(Zermelo-Fraenkel)--得到的连续统假说(CH)不可解的著名证明。(在这篇文章中，我通常指的是“ZFC”，意思是Zermelo-Fraenkel加上著名的选择公理。)。
对于那些从家里调谐的人来说，连续统假设是由Georg Cantor在他划时代的发现有不同的无穷大阶后不久提出的：例如，实数的无穷大(表示连续统的C，或\(2^{\alph_0}\))严格大于整数的无穷大(表示为ℵ0，或“alph-零”)。CH仅仅是这样一种说法，即在ℵ0和C之间没有无穷大的中间：任何大于第一个的东西至少是第二个。康托几十年来一直试图证明或反驳CH，但都是徒劳的；这种追求被认为是导致他精神崩溃的原因之一。当大卫·希尔伯特(David Hilbert)在1900年提出他著名的23个未解决的数学问题清单时，CH位居榜首。
在希尔伯特演讲到今天的中途，CH的问题终于得到了“回答”，这一解决方案获得了有史以来唯一因在集合论和逻辑方面的工作而获奖的菲尔兹奖(Fields Medal)。但与数学史上任何是或否的问题不同，答案是，可以证明，集合论的公认公理没有答案！你可以有中间无穷大，也可以没有中间无穷大；任何一种可能性都不会产生矛盾。如果你有中间无穷大，这取决于你有多少：1，5，17，∞，等等。
较简单的半部分，CH与集合论的一致性，在1940年由不完备性专家Kurt Gödel证明；较难的半部分，不一致(CH)，由Paul Cohen在1963年证明。科恩的工作引入了强迫方法，它在证明集合论问题不可解方面卓有成效，很快就占据了整个集合论的主题。学习戈德尔和科恩的证明从十几岁起就是我的梦想，但我总是推迟这个梦想。
这一次，我从科恩的回溯性文章开始，还有蒂莫西·周的“强迫”和“强迫的初学者指南”。我研究了科恩自己的集合论和连续统假说，肯·库南的“集合论：独立证明导论”，以及达娜·斯科特1967年的论文“重塑科恩的证明”。我通过电子邮件向蒂莫西·周(Timothy Chow)提出了问题，他在时间上慷慨得离谱。当蒂姆和我回答不出什么问题时，我们尝试了鲍勃·索洛维(Bob Solovay)(世界上最伟大的集合理论家之一，后来在计算复杂性和量子计算领域工作)，或者安德烈亚斯·布拉斯(Andreas Blass)或阿萨夫·卡拉吉拉(Asaf Karagila)。在某种程度上，数学家、博客之友格雷格·库珀伯格(Greg Kuperberg)加入了我对理解的追求。我感谢他们所有人，但不用说，我要为这些帖子中肯定存在的所有错误承担全部责任。
一方面，证明CH的独立性似乎与广义相对论、轮子和巧克力棒并列为人类智力的胜利。这代表了康托对了解无限基本规则的探索达到顶峰-如果答案是，在某种意义上，我们不能知道这些规则，那就更令人惊讶了。
另一方面，也许没有其他同样具有广泛兴趣的科学发现仍然如此稀少地普及，甚至(比方说)量子场论或费马大定理的证明也不例外。我几乎没有发现任何向非集合理论家解释强迫是如何起作用的尝试，更不用说向非数学家解释了。一个值得注意的例外是早先提到的蒂莫西·周(Timothy Chow)的《强迫入门指南》(Timothy Chow‘s初学者指南)，但周本人在文章开头时称强迫是一个“公开的展示问题”，并承认他没有解决这个问题。在这篇文章和下一篇文章中，我谦虚的目标是在展示问题上取得进一步的进展：因此，我的完整的白痴指南，初学者指南的初学者指南。
好吧，但是为什么像我这样的笨蛋计算机科学家呢？为什么不找个真正的专家呢？我不会提出我的无知作为一个条件，尽管我经常发现，我学得越好，我就越完全忘记最初让我困惑的东西，所以我变得越不能向初学者解释事情。
尽管如此，有一件事我很清楚，事实证明它与科恩的强迫法密切相关，这让我觉得我对这门学科有一点不满意。这就是计算复杂性理论中的先知构建。在CS中，我们喜欢构造假设的宇宙，其中P=NP或P≠NP，或P≠bqp，或者多项式层次是无穷的等等。为此，我们通过指令，在计算问题的宇宙中插入一个新函数-Oracle-，精心选择以使期望的语句成立。通常情况下，Oracle需要满足无限的条件列表，所以我们逐个处理它们，注意当我们满足新的条件时，不会使前面的条件无效。
我一直在读，所有这些都与集合论者在创造一个数学宇宙时所做的事情有着深刻的相似之处，在这个宇宙中，选择公理是真的，而CH是假的，或者反之亦然，或者一千种更具异国情调的可能性中的任何一种。他们在自己的集合论模型中加入新的集合，这些集合是精心构建的，以“迫使”无限的条件列表成立。事实上，一些完全相同的人-比如索洛维-在20世纪60年代帮助开创了Forcing，后来又在计算复杂性方面开创了先知先知。我们将在以后的帖子中详细介绍这一联系。
你如何研究一个定义明确的数学问题，并返回一个被公认的数学公理所能说的没有答案的答案呢？我的意思是：即使假设这是真的没有答案，你怎么证明这件事呢？
可以说，即使是哥德尔的不完全性定理也没有达到这样的壮举。回想一下，不完全性定理粗略地说，对于每个可能作为数学有用基础的形式系统F，在F中甚至存在初等算术的语句，这些语句是真的但不可证明-编码F自身一致性的CON(F)就是一个例子。但是，CON(F)是不可证明的这一说法就等同于CON(F)的真实性(因为不一致的系统可以证明任何东西，包括CON(F))。换句话说，如果应用于F的不完全性定理有任何意义，那只是因为F实际上是一致的；只是需要F以外的资源来证明这一点。
是的，有一种“自我憎恨理论”，F+NOT(Con(F))，它相信自己的不一致性。是的，哥德尔认为，如果F本身是一致的，那么这个自恨理论是一致的--这意味着它有一个模型(包括“非标准整数”，即有效地承诺证明F的不一致性的形式人工制品，但实际上从未提供过它)。但是这种自恨的理论是站不住脚的：我的意思是，看看它就知道了！它要么因为F是一致的而不健全，要么因为F不一致而不健全。
CH与集合论的ZFC公理的独立性是完全不同的。它将给我们提供ZFC+CH模型和ZFC+NOT(CH)模型，这两个模型至少在某种程度上都是“数学现实的草图”-而且这两个模型甚至都有辩护者。究竟哪一个是正确的，或者是否有可能做出决定，这个问题将被推到未来：发现(或不发现)一些直觉上令人信服的数学基础，正如戈德尔所希望的那样，这些基础将通过超越ZFC来回答这个问题。
虽然专家们可能会认为这太明显了，无法解释清楚，但哥德尔和科恩对CH的分析与其说是关于无穷大，不如说是关于我们使用有限符号序列来推理无穷大的能力。这个游戏是关于建立自成一体的数学宇宙来有序的-宇宙中所有关于无限集合的公认公理都是正确的，但在某些情况下，这似乎是对这些公理的嘲弄，因为它包含的对象比数学宇宙所包含的对象要少得多。
在理解这些证据时，我认为，中心障碍是至少有四个不同的“描述水平”需要同时记住。
在第一个层次上，哥德尔和科恩的证明，就像所有的数学证明一样，是有限的符号序列。不仅如此，它们还是可以用初等算术(！)形式化的证明。换句话说，即使它们是关于集合论的公理，它们本身也不需要那些公理。再一次，这是可能的，因为最终，戈德尔和科恩的证明将不会讨论无限集合，而是“只”讨论关于无限集合的有限符号序列。
在第二个层次上，证据提出了一个“无界的”但非常清楚的主张。他们声称，如果有人从集合论的ZFC公理中给出了CH或不CH(CH)的证明，那么无论这个证明有多长，或者它的细节是什么，你都可以把它转换成ZFC本身不一致的证明。在符号中，他们证明了“相对一致性声明”
他们把这些证明为初等算术定理。(请注意，在ZFC中完全证明CON(ZF+CH)或CON(ZFC+NOT(CH))是没有希望的，因为通过Gödel，ZFC甚至不能证明自己的一致性。)。
这种翻译是完全明确的；独立证明甚至产生了将ZFC+CH或ZFC+NOT(CH)中的不一致性证明(假设它们存在)转换为ZFC本身中的不一致性证明的算法。
话虽如此，正如科恩自己经常指出的那样，从操纵符号序列的算法的角度考虑独立性证明是没有希望的：要有任何机会理解证明，更不用说提出一个证明了，在某种程度上，你需要考虑符号所指的是什么。
这就把我们带到了第三个层面：符号指的是集合论的模型，也可以被称为“数学宇宙”。至关重要的是，我们总是可以而且经常会认为这些模型只是可数无限的：也就是说，包含无穷多的集合，但“仅仅”包含其中的ℵ0，整数或有限字符串的无穷大，等等。
第四个层次的描述来自模型本身：每个模型都将自己想象成拥有无数个集合。就这个模型而言，它包含了整个数学宇宙，即使“从外面看”，我们也能看出这不是真的。具体地说，ZFC的每个模型都认为它有不可计数的多个集合，其中许多集合本身具有不可数的基数，即使“从外部”该模型是可数的。
说什么？模特们搞错了一些基本的东西，比如他们自己的大小，他们有多少套？是。模型将类似于“黑客帝国”(电影，而不是数学对象)或杜鲁门秀。它们是自给自足的小宇宙，它们的居民永远不会发现它们生活在谎言之中--它们丢失了我们从外部知道存在的布景。“黑客帝国”的可怜居民甚至永远不会知道他们的宇宙--他们错误地认为是宇宙--是秘密可数的！而且没有墨菲斯会来启发他们，尽管--这对科恩的证明尤其关键--居民们将或多或少能够推理出，如果墨菲斯真的来了，会发生什么。
20世纪20年代早期的Löwenheim-Skolem定理说，任何一阶公理的可数列表如果有任何模型(也就是说，这是一致的)，一定有一个至多包含可数元素的模型。ZFC是一阶公理的可数列表，因此Löwenheim-Skolem适用于它--即使ZFC暗示存在无穷多的集合！在采取行动之前，我们不仅要勉强接受，还要热爱和内化这个“悖论”，因为几乎所有证明中国独立的证据都建立在它的基础上。
顺便说一句，一旦我们意识到有可能建立自洽而又“虚假”的数学宇宙，我们就可以问这个问题，令人难以置信的是，“黑客帝国”电影从来没有问过这个问题。也就是说，我们怎么知道我们自己更大的宇宙不是同样的谎言呢？答案是我们没有！举个例子--我希望你们坐下来看这个--尽管康托证明了有无数的实数，但这只意味着我们有无数的实数。我们不能排除上帝俯视我们的宇宙，会看到无数的真实的可能性。
支持一下：当然，CH的故事始于康托对不同无穷阶数的划时代发现，例如，正整数(或等价实数，或等价无穷二进制序列)的子集比正整数多。虔诚的康托尔认为他的发现阐明了上帝的本质；我从来没有完全清楚他错了。
回想一下康托的证明是如何工作的：我们通过矛盾假设我们具有所有无限二进制序列的枚举：例如，
S(0)=00000000…。S(1)=0 1010101…。S(2)=11 001010…。。S(3)=100 00000…。。
然后，我们通过沿对角线向下翻转每一位来生成列表中没有的新的无限二进制序列，在上面的示例中，这将产生1011…。
但要仔细看看。康托真正展示的只是，在我们的数学宇宙中，不可能列举出我们宇宙中所有真实的事物。因为如果有的话，我们可以用它来定义一个在宇宙中但不在枚举中的新实数。证据并不排除上帝可以列举出我们宇宙的真实面目的可能性！它只表明，如果是这样的话，甚至在上帝的列举中也需要有额外的、天堂般的真实(例如，通过对角化该列举而产生的真实)。
哪些真实的东西可能会从我们的宇宙中“消失”？你能说出的每一个真实的东西-42，π，√e，甚至像柴丁的Ω这样无法计算的真实的东西-都必须在那里，对吗？是的，这就是问题所在：你能说出的每一个真实的东西。每个名字都是一个有限的符号字符串，所以无论你的命名系统是什么，你只能命名为数不多的真正的名字，而让所有的真正的名字都是没有名字的。
或者，您是否认为只将有理数或代数数字看作是由离散点组成的可数尘埃，而像π和e这样的数字填充了它们之间的固体“连续体”？如果是这样的话，我希望你坐下来听这个：你听说过的每个实数都属于可数尘埃！“连续体”的整个概念只适用于那些没有名字，也永远不会有名字的真实世界。
哥德尔和科恩的成就表明，在集合论中不产生任何矛盾的情况下，我们可以调整这个难以捉摸的“连续体”的大小，在其中投入更多或更少的实物。怎样才能开始证明这样的说法呢？
从ZFC 0英尺的距离，哥德尔通过建立极简主义数学宇宙证明了CH的一致性：在这个宇宙中，“唯一存在的集合，就是ℵ公理要求存在的集合。”(然而，这些宇宙可以在它们有多“高”上有所不同：也就是说，它们有多少序数，因此总共有多少集合。有关这方面的更多信息，请在未来的帖子中介绍！)。戈德尔证明，如果集合论的公理是一致的，也就是说，如果它们描述了任何宇宙，那么它们也描述了这些极简主义的宇宙。然后他证明，在任何这些极简主义宇宙中，都恰好存在ℵ1实数。
在同样的平流层水平上，科恩通过建立…证明了NOT(CH)的一致性。嗯，非极简主义的数学世界！一个简单的方法是从哥德尔的极简主义宇宙开始--或者更确切地说，是一个比他的更极简主义的宇宙，这个宇宙被削减到只有数不清的几个集合-然后坚持一系列以前不在那个宇宙中的新的实数。我们选择新的实数是为了确保两件事：第一，我们仍然有一个ZFC模型，第二，我们使CH为假。当然，如何做到这一点的细节将在稍后与我们相关。
在随后的帖子中，我将更多地介绍ZFC公理的特点，以及如何根据需要构建它们的模型。不过，作为一个预告片，作为这篇文章的结论，我想澄清一下我对这个主题的一个基本误解，从大约16岁到几个月前。
我想：哥德尔证明CH的一致性的方法必须是检查他的极简主义宇宙中的所有集合，并检查每个集合是否至多有ℵ个0个元素，或者至少有C个元素。同样，科恩要证明NOT(CH)的一致性，必须“强行”加入一些额外的集合，这些集合的元素多于ℵ0，但少于C。
不过，事实证明事情不是这样的。首先，为了证明CH在他的宇宙中，Gödel不会检查每个集合以确保它没有中间基数；相反，他只会计算所有实数，以确保它们只有ℵ1-其中ℵ1是ℵ0之后的下一个无限基数。这将意味着C=ℵ1，这是陈述CH的另一种方式。
更重要的是，为了建立一个CH为假的宇宙，科恩将从一个C=ℵ1的宇宙开始，就像哥德尔的宇宙一样，然后添加更多的实数：比方说，ℵ2。然后，ℵ1“原始”实数将提供ℵ0整数和ℵ2“新”实数之间的中间基数集。
回过头来看，我困惑的核心是这一点。我曾想过：我可以想象ℵ0意味着什么；那只是整数的无穷大。我还可以想象\(C=2^{\alph_0}\)是什么意思；那就是直线上无穷多的点。因此，这是这场讨论中清晰的两个基石。相比之下，我无法想象在ℵ0和C之间有一组中间基数。中间无穷大是奇怪的，像幽灵一样，除非我们故意“强迫”它存在，否则它是不应该存在的。
结果发现我把事情弄反了。首先，我无法想象实数的无穷大。我可能认为我在可视化真实的直线-它是实心的，它是黑色的，到处都是小点-但我怎么能确定我不仅仅是可视化了ℵ0有理数，或者(比方说)可计算或可定义的实数，这些实数包括了普通数学中出现的所有实数？
连续体C根本不是我所认为的清晰度的基石。与其初级合作伙伴ZFC0不同，ℵ0的连续体是可调整、可变的-我们将在构建不同型号的ZFC时对其进行更改。在这个游戏中更“固定”的是一些我，像许多非专家一样，一直对此不屑一顾的东西：康托的Alephsℵ0，ℵ1，ℵ2序列，等等。
康托是一个非常伟大的人，他不仅发现了C>；ℵ0；，他还发现无限的基数形成了一个有序的序列，没有无限的下降链。因此，在ℵ0之后，还有一个更大的无穷大，我们称之为ℵ1；在ℵ1之后是ℵ2；在整个无限序列ℵ0、ℵ1、ℵ2、ℵ3、…之后。是ℵω；在ℵω之后是ℵω+1；以此类推。在集合论的任何宇宙中，这些无穷大总是存在的，而且总是以相同的顺序存在。
作为数学宇宙的工程师，我们的工作将包括将连续体C与Alephs中的一个联系起来。如果我们把一个。
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