我在回应这些推文时听到的误解促使我试图更清楚地解释为什么大多数合格选民应该投弃权票的逻辑。
将两个候选人之间的每一张选票视为+1或-1，因此，如果所有选票的总和为正，则正面的候选人获胜；否则，负面的候选人获胜。弃权就是0票。(如果选票和为零，选举就是平局。)。
假设有一个二进制质量变量表示两个候选人中的哪一个“对世界更好”，这两个选项的可能性相等，每个投票人得到一个与该质量相关的二进制线索，并且选民同时投票。我们应该想要的是增加更好的候选人获胜的机会。
在其他条件相同的情况下，每个选民都可能更喜欢质量更高的候选人，他们不需要在其他方面无动于衷。因此，如果他们对其中一位候选人有足够强烈的偏好，这样的“党派”选民就会选择该候选人，而不管他们的线索是什么。因此，他们的投票不会包含任何关于候选人素质的信息。他们如此自私地专注于追求自己的偏好，以至于他们不会帮助实现更知情的选举，至少不会通过他们的选票。其他“见多识广”的选民非常关心质量，他们的投票将取决于他们的质量线索。
因此，总票数将是党派选票加上知情选票的总和。因此，党派选票的总和将设定一个门槛，知情的选票必须克服这个门槛才能扭转选举。例如，如果党派总和是-10，那么知情选票的总和必须至少为10，才能使选举向积极的候选人倾斜。就我们这里的目的而言，这笔党派票数是否存在不确定性并不重要；重要的是，党派票数设定了知情投票必须克服的门槛。
现在，总的来说，我们预计相互竞争的候选人将把自己定位在政治和政策领域，这样平均而言，党派门槛不会离零太远。毕竟，每个人都非常有信心一方会赢，这是相当不寻常的。因此，从现在开始，我将假设一个零门槛，尽管我的分析将对这一点进行稳健的、适度的偏离。
现在假设，考虑到候选人的质量，知情选民的线索在统计上是相互独立的。然后，在许多知情选民的情况下，知情选票的总和将接近正态分布，积极候选人获胜的机会接近高于党派门槛的正态分布的积分。
因此，对每个单独的选民来说，最重要的是他们选票的均值和方差。选民的线索和质量之间的任何微小关联都会在质量和他们的平均选票之间产生微小的正相关。因此，他们的投票将使知情选票的平均值朝着正确的方向移动。正因为如此，许多人说，选民越多越好，无论每个人的信息多么匮乏。
然而，每个知情的选民都会增加总选票的平均值和方差，如下图所示：
重要的是知情投票的“z分数”，即平均数除以标准差。在这个z分数中，更好的候选人获胜的机会正在增加。因此，如果选民对标准差的增加按比例超过了他们对平均数的增加，他们就会使最终选票不太可能选择更好的候选人，即使他们的个人平均贡献是正的。
这就是为什么信息不灵通的选民投票会损害选举，也是为什么与其他不投弃权票的选民相比，相关标准是你的信息。如果你是一个消息灵通的选民，想要增加更好的候选人获胜的机会，那么你应该在与其他将投票的人相比消息不够充分的情况下投弃权票。
在上一篇帖子中，我考虑了两种极端情况下投弃权票的最佳选择：当所有其他知情的选民也投了最佳弃权票时，以及当除了这一位选民之外，没有其他人投弃权票的时候。现实案例应该介于这两个极端之间。
为了对不同选民的知情程度不平等进行建模，我选择了线索相关性相对于选民排名的幂律依赖关系。如果权力很大，那么当你从消息最灵通的选民那里向下移动时，信息水平会非常迅速地下降。如果权力较低，那么信息水平下降的速度会更慢，排名较低的选民可能仍然拥有大量信息。
我发现，对于不到一半的权力，以及一万名知情的选民，在这两种极端情况下，每个人都应该投票。也就是说，当信息分布足够均匀时，它确实有助于通过每个人的投票来平均每个人的线索。但对于四分之三的权力来说，即使没有其他人投弃权票，也应该有超过一半的人投弃权票，如果所有知情的选民都投了最优的弃权票，那么他们中只有6人应该投票。如果权力是1，即使没有人投弃权票，80%的人也应该投弃权票，如果所有人都投最佳弃权票，他们中只有2人应该投弃权票。对于更高的权力来说，情况会变得更糟。
我最好的猜测是1的幂是一个合理的猜测，因为这是一个非常常见的幂，也接近观察到的幂的分布的中间。因此，即使其他人都投票，为了使总票数有更好的机会选出更好的候选人，你应该投弃权票，除非你的消息特别灵通，相对于其他实际投票的人来说。你越是估计谁是消息灵通的人的分布越不平等，你就越不应该投票。
许多人声称，告诉人们这一分析是有害的，因为消息灵通的选民会忽视它，只有消息灵通的选民才会遵循它。但这项分析给每个选民提供了建议，这些建议并不取决于其他人采纳了它；每一个遵循这个建议的人都是净赢家。是的，人们可能不确定信息分布的不平等程度，以及他们在这种分布中所处的位置。但这不能成为不努力做出最佳估计并做出相应选择的借口。
请注意，人们在估计自己的信息排名时似乎普遍过于自信。
在上述内容中，我假设选民线索是独立的，但如果它们是相关的呢？对于同样的方法，线索关联增加了个人选票的方差。因此，与其他选民相比，有相关线索的选民应该更愿意投弃权票。
是的，我从头到尾都在使用二进制线索，你可能会说，所有这些分析都完全改变了非二进制线索。有可能，但那会让我大吃一惊。