恩肖定理

跳转到导航跳跃搜索恩肖定理指出，仅靠电荷的静电相互作用，点电荷的集合不能保持稳定的稳定平衡构型。1842年，英国数学家塞缪尔·恩肖(Samuel Earnshaw)首次证明了这一点。它通常指的是磁场，但最初应用于静电场。

恩肖定理适用于经典的平方反比定律(电力和重力)，也适用于永磁体的磁力，如果永磁体是硬的(磁体的强度不随外场变化)。恩肖的定理禁止在许多常见情况下使用磁悬浮。

如果材料不硬，布朗贝克的延伸表明，相对磁导率大于1的材料(顺磁性)进一步破坏稳定，但磁导率小于1的材料(抗磁性材料)允许稳定的构型。

非正式地说，点电荷在任意静电场中的情况是高斯定律的简单结果。要使粒子处于稳定的平衡状态，粒子在任何方向上受到的微小扰动都不应破坏平衡；粒子应退回到原来的位置。这意味着粒子平衡位置周围的力场线都应该指向内部，指向该位置。如果周围所有的场线都指向平衡点，那么该点的场发散度一定是负的(即该点起到了汇点的作用)。然而，高斯定律说，任何可能的电场在自由空间中的散度为零。在数学表示法中，从电势U(R)得到的电力F(R)将始终是无发散的(满足拉普拉斯方程)：

∇⋅F=∇⋅(−∇U)=−∇2 U=0。{\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{F}=\nabla\cdot(-\nabla U)=-\nabla^{2}U=0。}。

因此，自由空间中不存在场势的局部极小值或极大值，只有鞍点。粒子的稳定平衡是不可能存在的，在某些方向上肯定存在不稳定性。如果U的所有二阶导数都为空，则该自变量可能是不够的。[1]。

严格地说，严格地说，稳定点的存在并不要求所有相邻力向量都精确地指向稳定点；例如，力向量可以螺旋状朝向稳定点。处理这一问题的一种方法是，除了发散外，自由空间中任何电场的旋度也是零(在没有任何磁流的情况下)。

也可以直接从静态磁偶极子的力/能量方程证明这一定理(见下文)。不过，从直觉上讲，如果定理适用于单点电荷，那么它也适用于连接在一起的两个相反的点电荷，这似乎是合理的。特别是，它将保持在电荷之间的距离降为零的极限，同时保持偶极矩为零-也就是说，它将适用于电偶极子。但是，如果这个定理适用于电偶极子，那么它也适用于磁偶极子，因为(静态)力/能量方程对于电偶极子和磁偶极子都具有相同的形式。

因此，这个定理还指出，即使在磁力比引力强的情况下，也不存在能够稳定地使物体在重力作用下悬浮的铁磁体的静态构型。

恩肖定理甚至已经在一般情况下得到了证明，即使它们是柔性的和导电的，只要它们不是抗磁性的，[2][3]，因为抗磁性构成(小的)排斥力，但没有吸引力。

对于静止的永久铁磁体，恩肖定理也不例外。然而，恩肖定理并不一定适用于运动的铁磁体、某些电磁系统、伪悬浮和抗磁材料。因此，这些看起来可能是例外，尽管实际上它们利用了定理的约束。

旋转的铁磁体(如Levitron)在旋转时只需使用永久铁磁体即可实现磁悬浮。[4]请注意，由于这是旋转的，所以这不是一个静止的铁磁体。

通过不断消耗能量，切换电磁铁或电磁铁系统的极性可以使系统悬浮。磁悬浮列车就是一种应用。

伪悬浮通常使用某种形式的系绳或墙壁来限制磁铁的运动。这是可行的，因为这个定理只表明，在某些方向上会有不稳定性。限制在该方向上的移动允许悬浮少于可用于移动的全部3个维度(请注意，该定理是针对3个维度证明的，而不是1维或2维)。

反磁性材料是例外，因为它们只表现出对磁场的排斥力，而该定理要求材料既有排斥力又有吸引力。这方面的一个例子是著名的悬浮青蛙(见抗磁性)。

由于电磁辐射造成的能量损失，经典带电粒子在彼此轨道上的构型是不稳定的。在相当长的一段时间里，这引出了一个令人困惑的问题：为什么物质会保持在一起，因为有很多证据表明，物质是通过电磁保持在一起的，但静态构型是不稳定的，而电动力学构型预计会辐射能量和衰变。

这些问题最终为原子结构的量子力学解释指明了方向，在原子结构中，电子具有非零动量(因此实际上不是静态)的静态(非辐射)状态的存在从根本上解决了上述难题。在更实际的层面上，可以说泡利不相容原理和离散电子轨道的存在导致了块状物质的刚性。

虽然更一般的证据可能是可能的，但这里考虑了三个具体的案例。第一种情况是具有快速(固定)取向的恒定大小的磁偶极子。第二种和第三种情况是磁偶极子，其取向改变为保持与外部磁场的场线平行或反平行。在顺磁和抗磁材料中，偶极子分别与场线平行和反平行排列。

具有磁偶极矩M的磁偶极子在外部磁场B中的能量U由下式给出。

U=−M⋅B=−(M x Bx+My By+M z Bz)。{\displaystyle U=-\mathbf{M}\cdot\mathbf{B}=-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})。

偶极子只会稳定地悬浮在能量最小的点上。能量只能在能量的拉普拉斯大于零的点上有一个最小值。也就是说，

∇2 U=∂2 U∂x 2+∂2 U∂y 2+∂2 U∂z 2>；0。{\displaystyle\nabla^{2}U={\frac{\Partial^{2}U}{\Partial x^{2}+{\frac{\Partial^{2}U}{\Partial y^{2}+{\frac{\Partial^{2}U}{\Partial z^{2}>；0。

最后，由于磁场的发散度和旋度都为零(在没有电流或变化的电场的情况下)，磁场各个分量的拉普拉斯系数也为零。那是,。

∇2Bx=∇2By=∇2Bz=0.。{\displaystyle\nabla^{2}B_{x}=\nabla^{2}B_{y}=\nabla^{2}B_{z}=0。}

这一点在本文的最后得到了证明，因为它是理解整体证据的核心。

对于固定取向(和恒定大小)的磁偶极子，其能量将由下式给出。

U=−M⋅B=−(M x B x+M y B y+M z B z)，{\DisplayStyle U=-\mathbf{M}\cot\mathbf{B}=-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})，}。

其中Mx，My和Mz是常数。在这种情况下，能量的拉普拉斯量总是零，

所以偶极子既不能有能量最小值，也不能有能量最大值。也就是说，在自由空间中，偶极子要么在所有方向上稳定，要么在所有方向上不稳定，这是没有意义的。

与外场平行或反平行的磁偶极子，其大小与外场成正比，分别对应于顺磁材料和反磁材料。在这些情况下，能量将由。

U=−M⋅B=−k B⋅B=−k(B x 2+B y 2+B z 2)，{\DisplayStyle U=-\mathbf{M}\cot\mathbf{B}=-k\mathbf{B}\cdot\mathbf{B}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)，}。

其中k对于顺磁材料是大于零的常数，对于抗磁材料是小于零的常数。

DisplayStyle 2(B x 2+B y 2+B z 2)DisplayStyle 0，{\^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0，}∇2(B x 2+B y 2+B z 2)≥0，}。

结合常数k，说明顺磁材料可以有能量极大值而不是能量极小值，反磁材料可以有能量极小值但不能有能量极大值。也就是说，顺磁材料可以在所有方向上不稳定，但不是在所有方向上都稳定；抗磁性材料可以在所有方向上稳定，但不是在所有方向上都不稳定。当然，这两种材料都可以有鞍点。

最后，与磁场平行或反平行排列的铁磁性材料(永磁体)的磁偶极子将由下式给出。

M=k B|B|，{\displaystyle\mathbf{M}=k{\mathbf{B}\over|\mathbf{B}|}，}。

U=−M⋅B=−k B⋅B|B|=−k|B|2|B|=−k(B x 2+B y 2+B z 2)1 2；{\displaystyle U=-\mathbf{M}\cdot\mathbf{B}=-k{{\mathbf{B}\cdot\mathbf{B}}\over|\mathbf{B}|}=-k{|\mathbf{B}|^{2}\over|\mathbf{B}|}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}；

但这只是上面讨论的顺磁和反磁情况下能量的平方根，由于平方根函数是单调递增的，所以在顺磁和反磁情况下的任何最小值或最大值在这里也是最小值或最大值。然而，目前还没有已知的稳定悬浮的永磁体配置，因此可能还有其他未在这里讨论的原因，为什么不能将永磁体保持在与磁场相反的方向(至少不能在没有旋转的情况下-参见Levitron)。

恩肖定理最初是用来描述静电学(点电荷)的，目的是说明点电荷的集合不存在稳定的构型。这里给出的单个偶极子的证明应该可以推广到磁偶极子的集合，因为它们是用能量表示的，能量是相加的。然而，对这个主题的严格处理目前超出了本文的范围。

∇⋅(∇U)=∇2U=∂2U∂x 2+∂2U∂y 2+∂2U∂z 2=0。{\displaystyle\nabla\cdot(\nabla U)=\nabla^{2}U={\Partial^{2}U\Over{\Partial x}^{2}}+{\Partial^{2}U\Over{\Partial y}^{2}}+{\Partial^{2}U\Over{\Partial z}^{2}}=0。}

外磁场B中磁偶极子M的能量U由下式给出。

U=−M⋅B=−M x B x−M y B y−M z B z。{\displaystyle U=-\mathbf{M}\cdot\mathbf{B}=-M_{x}B_{x}-M_{y}B_{y}-M_{z}B_{z}。}。

∇2U=−∂2(M x Bx+My By+M z Bz)∂x 2−∂2(M x B x+M y By+M z B z)。∂y 2−∂2(M x B x+M y B y+M z B z)∂z 2{\DisplayStyle\nabla^{2}U=-{\Partial^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z。}){\PARTIAL x}^{2}-{\PARTIAL^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})\OVER{\PARTIAL y}^{2}-{\PARTIAL^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})\OVER{\PARTIAL Z}^{2。

扩展和重新排列这些项(注意偶极子M是恒定的)，我们有。

∇2U=−Mx(∂2B x∂x 2+∂2B x∂y 2+∂2B x∂z 2)−My(。∂2 B y∂x 2+∂2 B y∂y 2+∂2 B y∂z 2)−M z(∂2 B z∂x 2+。∂2 B z∂y 2+∂2 B z∂z 2)=−M x∇2 B x−M y∇2 B y−M z∇2 B z。{\displaystyle{\Begin{aligned}\n启用^{2}U&；=-M_{x}\Left({\Partial^{2}B_{x}\Over{\Partial x}^{2}}+{\Partial^{2}B_{x}\Over{\Partial y}^{2}}+{\Partial^{2}B_{x}\Over{\Partial z}^{2}}\Right)-M_{y}\Left({\Partial^{2}B_{y}\Over{\Partial x}^。{2}}+{\Partial^{2}B_{y}\Over{\Partial y}^{2}}+{\Partial^{2}B_{y}\Over{\Partial z}^{2}}\Right)-M_{z}\Left({\Partial^{2}B_{z}\Over{\Partial x}^{2}}+{\Partial^{2}B_{z}\Over{\Partial y}^{2}}+。{\Partial^{2}B_{z}\Over{\Partial z}^{2}}\右)\\[3pt]&；=-M_{x}\nabla^{2}B_{x}-M_{y}\nabla^{2}B_{y}-M_{z}\nabla^{2}B_{z}\end{aligned}}。

但在自由空间中，磁场各分量的拉普拉斯系数为零(不包括电磁辐射)，因此。

∇2 U=−M x 0−My 0−M z 0=0，{\DisplayStyle\n启用^{2}U=-M_{x}0-M_{y}0-M_{z}0=0，}。

首先考虑顺磁或反磁偶极子的情况。能量是由

U=−k|B|2=−k(B x 2+B y 2+B z 2)。{\DisplayStyle U=-k|\mathbf{B}|^{2}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right).}。

∇2|B|2=∇2(B x 2+B y 2+B z 2)=2(|∇B x|2+|∇B y|2+|∇B z。|2+B x∇2 B x+B y∇2 B y+B z∇2 B z){\DisplayStyle{\Begin{Aligned}\nabla^{2}|\mathbf{B}|^{2}&；=\nabla^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&；=2\Left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla^{2}B_{x}+B_{y}\nabla^{2}B_{y}+B_{z}\nabla^{2}B_{z}\n。

∇2|B|2=2(|∇B x|2+|∇B y|2+|∇B z|2)；{\displaystyle\nabla^{2}|\mathbf{B}|^{2}=2\Left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}\right)；}。

如上所述，这意味着顺磁材料的能量的拉普拉斯量永远不可能是正的(没有稳定的悬浮)，而抗磁材料的能量的拉普拉斯量永远不可能是负的(所有方向都不稳定)。

此外，由于与外场对齐的固定量级偶极子的能量将是上面能量的平方根，所以同样的分析也适用。

证明了磁场各分量的拉普拉斯量为零。这表明需要调用磁场的属性，即在自由空间中磁场的发散总是为零，并且磁场的旋度为零。(也就是说，在没有电流或变化的电场的情况下。)。有关磁场这些特性的更详细讨论，请参阅麦克斯韦方程式。

∇2 B x=∂2 B x∂x 2+∂2 B x∂y 2+∂2 B x∂z 2=∂∂x∂B x。∂x+∂∂y∂B x∂y+∂∂z∂B x∂z{\DisplayStyle{\Begin{Aligned}\n启用^{2}B_{x}&；={\Partial^{2}B_{x}\Over\Partial x^{2}}+{\Partial^{2}B_{x}\Over\Partial y^{2}}+{\Partial^{2}B_{x}\\Partial z^{2}}\\&；={\PARTIAL\OVER\PARTIAL x}{\PARTIAL B_{x}\OVER\PARTIAL x}+{\PARTIAL B_{x}\OVER\PARTIAL y}{\PARTIAL B_{x}\OVER\PARTIAL Z}{\PARTIAL B_{x}\OVER\PARTIAL z}}。

∂B x∂y=∂B y∂x，{\DisplayStyle{\FRAC{\PARTIAL B_{x}}{\PARTIAL y}}={\FRAC{\PARTIAL B_{y}}{\PARTIAL X}}，}

∂B x∂z=∂B z∂x，{\DisplayStyle{\FRAC{\PARTIAL B_{x}}{\PARTIAL Z}}={\FRAC{\PARTIAL B_{z}}{\PARTIAL X}}，}。

∇2 B x=∂∂x∂B x∂x+∂∂y∂B y∂x+∂∂z∂B z∂x。{\displaystyle\nabla^{2}B_{x}={\Partial\Over\Partial x}{\Partial B_{x}\Over\Partial x}+{\Partial\Over\Partial y}{\Partial B_{y}\Over\Partial x}+{\Partial\Over\Partial x}{\Partial B_{z}\Over\Partial x}。}。

∇2Bx=∂∂x(∂B x∂x+∂B y∂y+∂B z∂z)=∂∂x(∇⋅B)。{\displaystyle\nabla^{2}B_{x}={\Partial\Over\Partial x}\Left({\Partial B_{x}\Over\Partial x}+{\Partial B_{y}\Over\Partial y}+{\Partial B_{z}\Over\Partial z}\Right)={\Partial\Over\Partial x}(\nabla\cdot\mathbf{B})。}。

∇2 B x=∂∂x(∇⋅B)=0。{\displaystyle\nabla^{2}B_{x}={\Partial\Over\Partial x}(\nabla\cdot\mathbf{B})=0。}。

可以类比地计算磁场By场y分量的拉普拉斯和磁场Bz的z分量的拉普拉斯。或者，用户可以使用身份。

∇2B=∇(∇⋅B)−∇×(∇×B)，{\DisplayStyle\nabla^{2}\mathbf{B}=\nabla(\nabla\cot\mathbf{B})-\nabla\Times\Left(\nabla\Times\mathbf{B}\右)，}。

罗伯特·温斯托克(1976)。关于恩肖定理的一个错误证明。《美国物理学杂志》。44：392--393。10.1119/1.10449。

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关于调节发光醚组成的分子作用力的性质。夏令营。菲尔。社会团体，7，第97-112页(1842)。

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塞缪尔·恩肖(1842)。论调节鲁米尼费罗构成的分子力量的性质。

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