彭罗斯瓷砖

跳转到导航跳转以搜索Penrose平铺是非周期性平铺的一个例子。在这里，平铺是由不重叠的多边形或其他形状覆盖的平面，非周期性意味着将具有这些形状的任何平铺移动任意有限距离，而不旋转，不能产生相同的平铺。然而，尽管缺乏平移对称，彭罗斯瓷砖可能同时具有反射对称和五重旋转对称。彭罗斯瓷砖是以数学家和物理学家罗杰·彭罗斯的名字命名的，他在20世纪70年代对其进行了研究。

彭罗斯瓷砖有几种不同的瓷砖形状。彭罗斯瓷砖的最初形式使用了四种不同形状的瓷砖，但后来减少到只有两种形状：要么是两个不同的菱形，要么是两个不同的四边形，称为风筝和飞镖。彭罗斯瓷砖是通过限制这些形状被允许拼接在一起的方式而获得的。这可以通过几种不同的方式来完成，包括匹配规则、替换平铺或有限细分规则、切割和投影方案以及覆盖。即使以这种方式限制，每个变体也会产生无限多个不同的Penrose瓷砖。

彭罗斯瓷砖是自相似的：它们可以转换成同等的彭罗斯瓷砖，但瓷砖的大小不同，使用的过程称为充气和通缩。彭罗斯瓷砖中每一块有限的瓷砖所代表的图案在整个瓷砖中出现了无限多次。它们是准晶：作为一种物理结构实现的彭罗斯瓷砖将产生具有布拉格峰和五重对称性的衍射图案，显示出瓷砖的重复图案和固定方向。[1]对这些碎片的研究对于理解也形成准晶的物理材料非常重要。[2]彭罗斯瓷砖还被应用于建筑和装饰中，如图中所示的地板瓷砖。

在平坦的表面(平面)上覆盖一些几何形状的图案(瓷砖)，没有重叠或缝隙，称为瓷砖。最熟悉的平铺是周期性平铺的例子，例如用边到边相交的正方形覆盖地板。如果正方形平铺与平铺的两侧平行，平移平铺的宽度，则得到的平铺图案与平移前相同。以这种方式保留平铺的移位(正式翻译)称为平铺的一段时间。当平铺具有向两个不同方向移动平铺的周期时，平铺称为周期性平铺。[3]。

正方形瓷砖中的瓷砖只有一种形状，而其他瓷砖通常只有有限数量的形状。这些形状被称为原始瓷砖，如果仅使用这些形状对平面进行平铺，则一组原始瓷砖被认为允许对平面进行平铺或平铺。也就是说，拼贴中的每个拼贴必须与其中一个原型拼贴一致。[4]。

没有句点的平铺是非周期性的。如果一组原始瓷砖的所有瓷砖都是非周期的，则称其为非周期性瓷砖，在这种情况下，它的瓷砖瓷砖也称为非周期性瓷砖。[5]彭罗斯瓷砖是已知的最简单的由有限组原型瓷砖对平面进行非周期瓷砖瓷砖铺设的例子。[3]。

20世纪60年代，逻辑学家王浩(音译)注意到决策问题和平铺之间的联系，非周期性平铺的主题引起了新的兴趣。[7]尤其是，他引入了带有彩色边缘的正方形板块(现在称为王牌或瓷砖)的拼贴，并提出了多米诺骨牌问题：确定给定的一组王牌是否可以在相邻的多米诺骨牌边缘用匹配的颜色平铺平面。他观察到，如果这个问题是无法决定的，那么就必须存在一组非周期性的王牌骨牌。当时，这似乎是不可信的，所以王猜测不可能存在这样的集合。

王的学生罗伯特·伯杰在他1964年的论文[8]中证明了多米诺骨牌问题是不可判定的(所以王的猜想是不正确的)，并得到了一组由20426个王骨牌组成的非周期多米诺骨牌。[9]他还描述了减少到104块这样的原型瓷砖；后者没有出现在他出版的专著[10]中，但在1968年，唐纳德·努斯详细介绍了对伯杰的布景进行了修改，只需要92块多米诺骨牌。[11]

王多米诺骨牌中所需的颜色匹配可以很容易地实现，方法是将瓷砖的边缘修改为拼图拼图，使它们只能按照边缘颜色的规定装配在一起。[12]拉斐尔·罗宾逊(Raphael Robinson)在1971年的一篇论文[13]中简化了伯杰的技术和不可判断性证明，他使用这种技术获得了一个只有6个原型的非周期集合。[14]。

第一个Penrose瓷砖(下面是P1瓷砖)是由Roger Penrose在1974年基于五边形而不是正方形的论文[16]中介绍的一组非周期性的六个原型瓷砖。任何用规则五边形瓦片平面的尝试都必然会留下空隙，但约翰尼斯·开普勒在他1619年的作品《和谐芒迪》中指出，这些空隙可以用五角形(星形)、十角形和相关形状来填补。[17]这些思想的痕迹也可以在阿尔布雷希特·杜勒(Albrecht Dürer)的作品中找到。[18]彭罗斯感谢开普勒的启发，找到了这些形状的匹配规则，得到了一个非周期集合。这些匹配规则可以通过边缘的装饰来实施，就像王瓷砖一样。彭罗斯的瓷砖可以被视为开普勒的有限AA模式的完成。[19]。

彭罗斯随后将原型瓷砖的数量减少到两块，发现了风筝和省道瓷砖(下图P2)和菱形瓷砖(下图P3)。[20]菱形瓷砖是罗伯特·安曼在1976年独立发现的。[21]彭罗斯和约翰·H·康威研究了彭罗斯瓷砖的性质，发现替代性质解释了它们的等级性质；马丁·加德纳(Martin Gardner)在1977年1月发表在《科学美国人》(Science American)上的《数学游戏》专栏中公布了他们的发现。[22]。

1981年，N.G.de Bruijn提出了两种不同的构造Penrose瓷砖的方法。De Bruijn&s；s&34；多重网格法得到作为五个平行线系列排列的对偶图的Penrose瓦片。在他的切割和投影法中，彭罗斯瓷砖是从一个五维立方体结构得到的二维投影。在这些方法中，Penrose瓷砖被视为一组点，它的顶点，而瓷砖是通过连接顶点和边而获得的几何形状。[23]。

下面将分别介绍三种类型的Penrose瓷砖，P1-P3。[24]它们有许多共同的特征：在每种情况下，瓷砖都是由与五角形(因此与黄金比例相关)的形状构成的，但是为了非周期性地瓷砖，基本瓷砖形状需要用匹配规则来补充。这些规则可以使用贴有标签的顶点或边或瓦面上的图案来描述；或者，可以修改边缘轮廓(例如，通过凹陷和凸起)以获得一组非周期性的原型瓦片。[9][25]。

彭罗斯的第一块瓷砖采用了五角形和其他三种形状：五角星形(五角星形)、船形(大约3/5颗星)和菱形(薄菱形)。[26]为了确保所有平铺都是非周期性的，有指定平铺如何彼此相交的匹配规则，五角形平铺有三种不同类型的匹配规则。将这三种类型视为不同的原型，可以得到总共六种原型。通常使用三种不同的颜色来表示三种不同类型的五角形瓷砖，如右上图所示。[27][27]。

彭罗斯的第二块瓷砖使用的是四边形的风筝和飞镖，它们可以组合成菱形。然而，匹配规则禁止这样的组合。[28]风筝和飞镖都是由两个三角形组成的，称为罗宾逊三角形，取自罗宾逊1975年的笔记。[29][29]。

风筝是一个四边形，四个内角分别为72度、72度、72度和144度。风筝可以沿着它的对称轴一分为二，形成一对锐利的罗宾逊三角形(角度为36度、72度和72度)。

省道是一个非凸四边形，四个内角分别为36度、72度、36度和216度。省道可以沿着其对称轴一分为二，形成一对钝的罗宾逊三角形(角度为36度、36度和108度)，它们比锐角三角形小。

匹配规则可以用几种方式描述。一种方法是给顶点上色(使用两种颜色，例如黑色和白色)，并要求相邻的瓷砖具有匹配的顶点。[30]另一种方法是使用圆弧图案(如上图左侧绿色和红色所示)来限制瓷砖的放置：当两个瓷砖共享瓷砖中的一个边缘时，图案必须在这些边缘匹配。[20]。

这些规则通常会强制放置某些瓷砖：例如，任何省道的凹顶都必须由两个风筝填充。相应的图形(左下图顶行中央)被Conway称为王牌；尽管它看起来像一个放大的风筝，但它不会以同样的方式平铺。[31]同样，当两只风筝沿着一条短边相遇时形成的凹形顶点必须由两个飞镖(右下角)填充。事实上，瓷砖只有七种可能的方式在顶点相交；其中两个图形--星星(左上角)和太阳(右上角)--具有5重二面体对称(通过旋转和反射)，而其余图形只有一个反射轴(在图像中是垂直的)。[32]除了王牌和太阳之外，所有这些顶点图形都会强制放置额外的瓷砖。[33][33]。

第三种瓷砖使用一对等边但角度不同的菱形(在本文中通常被称为菱形)。[9]普通的菱形瓷砖可以用来周期性地平铺平面，因此必须对瓷砖的组装方式进行限制：两个瓷砖不能形成平行四边形，因为这将允许周期性瓷砖，但该约束不足以强制非周期性，如上图1所示。

瓷砖有两种，这两种瓷砖都可以分解成罗宾逊三角形。[29][29]。

薄菱形T有四个角，角度分别为36度、144度、36度和144度。T菱形可以沿着其短对角线一分为二，形成一对锐利的罗宾逊三角形。

厚菱形T的角度分别为72度、108度、72度和108度。T菱形可以沿着其长对角线一分为二，形成一对钝的鲁宾逊三角形；与P2平铺相比，这些三角形比锐角三角形大。

匹配规则区分了瓷砖的侧面，并要求瓷砖可以以某些特定的方式并列，但不能以其他方式并列。右图显示了描述这些匹配规则的两种方式。在一种形式中，拼贴必须使面上的曲线在颜色和边缘位置上相匹配。在另一种情况下，瓷砖必须组装在一起，使其边缘的凸起贴合在一起。[9]

有54个这样的角度的循环排序组合，在一个顶点上加起来为360度，但平铺规则只允许出现其中的七个组合(尽管其中一个组合以两种方式出现)。[34][34]。

角度和面曲率的各种组合可以建造任意复杂的瓷砖，比如彭罗斯鸡。[35]。

彭罗斯瓷砖的几个特性和共同特征涉及黄金比率φ=(1+√5)/2(约1.618)。[29]这是正五边形中弦长与边长的比率，并且满足φ=1+1/φ。

因此，(等腰)罗宾逊三角形的长边与短边的长度之比为φ：1。由此得出，风筝和省道瓷砖的长边与短边的长度之比也为φ：1，薄菱形的长边与短边的长度之比也是φ：1，厚菱形的长边与短边的长度之比也是如此。在P2和P3平铺中，较大的罗宾逊三角形与较小的罗宾逊三角形的面积之比为。(在左边的五角大楼里，可以看到更大和更小的钝罗宾逊三角形：顶部的大三角形--厚菱形的一半--与底部的小阴影三角形相比，其线性尺寸被φ放大了，所以面积比是φ2：1。)。

任何Penrose瓷砖都具有局部五边形对称性，在这个意义上，瓷砖中有一些点被瓷砖的对称配置所包围：这种配置具有围绕中心点的五重旋转对称，以及通过该点的五条反射对称的镜面线，这是一个二面体对称群。[9]这种对称性通常只保留中心点周围的一块瓷砖，但这块瓷砖可能非常大：Conway和Penrose证明，每当P2或P3瓷砖上的彩色曲线在环形内闭合时，该环形内的区域具有五边形对称，而且在任何瓷砖中，每种颜色最多有两条这样的曲线不闭合。[36][36]。

全球五重对称最多只能有一个中心点：如果有不止一个中心点，那么相互旋转就会产生两个更接近的五重对称中心，这就导致了数学上的矛盾。[37]只有两种彭罗斯瓷砖(每种类型)具有全局五边形对称：对于风筝和飞镖的P2瓷砖，中心点要么是太阳顶点，要么是星形顶点。[38][38]。

Penrose瓷砖的许多共同特征源于替换规则给出的层次化的五边形结构：这通常被称为瓷砖或瓷砖(集合)的膨胀和收缩，或合成和分解。[9][22][39]替换规则将每个瓷砖分解成与瓷砖中使用的形状相同的较小瓷砖(从而允许从较小瓷砖合成较大瓷砖)。这表明Penrose瓷砖具有比例自相似性，因此可以被认为是一种分形。[40]。

彭罗斯最初是通过这种方式发现P1瓷砖的，他将五角形分解成六个较小的五边形(十二面体净网的一半)和五个半菱形；然后他观察到，当他重复这个过程时，五边形之间的空隙都可以被星星、钻石、船只和其他五边形填补。[26]通过无限重复这个过程，他得到了两个五边形对称的P1平铺中的一个。[9][19]

P2和P3平铺的替换方法可以用不同大小的罗宾逊三角形来描述。在P2拼图中出现的罗宾逊三角形(通过将风筝和飞镖一分为二)称为A形瓷砖，而在P3拼图中(通过将菱形一分为二)产生的罗宾逊三角形称为B形瓷砖。[29]较小的A-瓦片(表示为A-S)是钝的罗宾逊三角形，而较大的A-瓦片(A-L)是锐尖的；相反，较小的B-瓦片(表示为B-S)是锐利的罗宾逊三角形，而较大的B-瓦片(B1)是钝的。

具体地说，如果A S有边长(1，1，φ)，则A L有边长(φ，φ，1)。B-瓷砖可以通过两种方式与此类A-瓷砖相关联：

如果B-S的大小与A-L相同，则B-L是A-S的放大版本φA-S，具有边长(φ，φ，φ2=1+1-φ)-这将分解为A-L瓷砖和A-S瓷砖，沿长度1的公共边连接。

相反，如果B-L与A-S相同，则B-S是A-L的简化版本(1/φ)A-L具有边长(1/φ，1/φ，1)-沿着长度为1的公共边将B-S瓦片和B-L瓦片连接在一起，然后产生(分解)A-L瓦片。

在这些分解中，似乎有一个模糊性：罗宾逊三角形可以用两种方式分解，它们是三角形(等腰)对称轴上彼此的镜像。在Penrose瓷砖中，此选项由匹配规则决定。此外，匹配规则还决定了平铺中较小的三角形如何组合成较大的三角形。[29][29]。

因此，P2和P3平铺是相互局部可派生的：一组平铺可以用于生成另一组平铺。例如，风筝和飞镖的瓷砖可以细分为A形瓷砖，这些瓷砖可以按规范的方式组合成B形瓷砖，从而形成菱形瓷砖。[15]P2和P3平铺也都可以通过P1平铺相互局部派生(参见上面的图2)。[41][font=宋体]。

(假设B瓷砖的尺寸较大)，这可以用替换矩阵公式来概括：[42]。

(B L B S)=(111 0)(A L A S)。{\DisplayStyle{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&；1\\1&；0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\，。}

(φA LφA S)=(1 1 1 0)(B L B S)=(2 1 1 1)(A L A S)，{\displaystyle{\Begin{pMatrix}\varphi A_{L}\varphi A_{S}\end{pMatrix}}={\Begin{pMatrix}1&；1\\1&；0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&；1\\1&；1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\，，}。

因此，扩大的瓷砖φA L分解成两个A L瓷砖和一个A S瓷砖。匹配规则强制特定的替换：φA L瓷砖中的两个A L瓷砖必须形成一个风筝，因此一个风筝分解为两个风筝和两个半飞镖，而一个飞镖则分解为一个风筝和两个半飞镖。[43][44]放大的φB-瓷砖以类似的方式分解为B-瓷砖(通过φA-瓷砖)。

φn(A L A S)=(2 11 1)n(A L A S)。{\DisplayStyle\varphi^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&；1\\1&；1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\，。}。

构造的第n次迭代中的风筝和飞镖的数量由替换矩阵的n次方确定：

(2 11)n=(F2n+1 F2n{\begin{pmatrix}2&；1\\1&；1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&；1)，{\DisplayStyle−1。F_{2n}\\F_{2n}&；F_{2n-1}\end{pMatrix}}\，，}。

其中Fn是第n个斐波纳契数。因此，在任何足够大的P2彭罗斯瓷砖图案中，风筝与飞镖的数量之比都接近黄金比例φ。[45]类似的结果也适用于P3 Penrose瓷砖中厚菱形与薄菱形的数量之比。[43][font=宋体]。

从给定瓷砖(可能是单个瓷砖、平面瓷砖或任何其他集合)的瓷砖集合开始，收缩通过称为世代的一系列步骤进行。在一代通缩中，每个瓷砖被两个或更多新瓷砖替换，这些新瓷砖是原始瓷砖中使用的瓷砖的缩小版本。替换规则保证新的瓦片将按照匹配规则排列。[43]一代又一代的通货紧缩产生了原始公理形状的瓷砖，瓷砖越来越小。

上表应谨慎使用。这个

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