跳转至导航跳转至搜索橡皮绳上的蚂蚁是一个数学难题，其解决方案似乎违反直觉或悖论。它有时以蠕虫或尺虫的形式出现在橡胶或松紧带上，但拼图的原理保持不变。
一只蚂蚁以每秒1厘米的速度（相对于它正在爬行的橡胶）开始沿着1公里长的拉紧橡胶绳爬行。同时，绳子开始以每秒1公里的恒定速率均匀地伸展，因此1秒钟后绳长为2公里，2秒后绳长为3公里，依此类推。蚂蚁会到达终点吗绳子？
乍一看，似乎蚂蚁永远不会到达绳子的尽头，但实际上确实如此。 （以上述形式，将花费8.9×10 43 421年。）无论绳索的长度以及蚂蚁相对于拉伸和拉伸的速度如何，只要蚂蚁的速度和拉伸保持稳定，蚂蚁将始终只要有足够的时间就可以到达终点。一旦蚂蚁开始移动，橡皮绳就会在蚂蚁的前面和后面伸展，从而保持已经被蚂蚁行走的绳索的比例，并使蚂蚁能够不断前进。
如上所述的问题需要作出一些假设。以下对问题的更完整说明试图使大部分假设变得明确。通过简化以下语句并将值分配给变量α{\ displaystyle \ alpha}和v {\ displaystyle v}，可以得到类似于本文引言中的非正式声明。
考虑沿着x {\ displaystyle x}轴拉紧的无穷细橡胶绳，起点标记为x = 0 {\ displaystyle x = 0}，目标点标记为x = c {\ displaystyle x = c}，其中c> 0 {\ displaystyle c> 0}。
在时间t = 0 {\ displaystyle t = 0}时，绳索开始均匀且平滑地伸展，以使起点在x = 0 {\ displaystyle x = 0}处保持静止，而目标点远离起点恒速点v> 0 {\ displaystyle v> 0}的点。
一只小蚂蚁在时间t = 0 {\ displaystyle t = 0}离开起点，并沿着绳索相对于该点以恒定速度α> 0 {\ displaystyle \ alpha> 0}平稳平稳地朝目标点行走在每个时刻蚂蚁所在的绳索上。
考虑到蚂蚁的速度小于绳索的拉伸速度，即α 0 {\ displaystyle t> 0}上，蚂蚁的速度为其相对于绳索的速度，即α{\ displaystyle \ alpha}加上该点处绳索的速度蚂蚁在哪里目标点以速度v {\ displaystyle v}移动，因此，在时间t {\ displaystyle t}处，它的位置为x = c + v t {\ displaystyle x = c + vt}。绳索上的其他点以成比例的速度移动，因此在时间t {\ displaystyle t}处，绳索上x = X {\ displaystyle x = X}上的点以速度v X c + vt {\ displaystyle {\ frac {vX} {c + vt}}}。因此，如果我们将在时间t {\ displaystyle t}处的蚂蚁位置写为y（t）{\ displaystyle y（t）}，而在时间t {\ displaystyle t}处蚂蚁的速度写为y'（t ）{\ displaystyle y'（t）}，我们可以这样写：
y'（t）=α+ v y（t）c + v t {\ displaystyle y'（t）= \ alpha + {\ frac {v \，y（t）} {c + vt}}}
这是一阶线性微分方程，可以用标准方法求解。但是，这样做需要一定程度的高级演算。一种更简单的方法将蚂蚁的位置视为从起点到目标点的距离的比例。 [2]
考虑沿绳索测量的坐标ψ{\ displaystyle \ psi}，其起始点为ψ= 0 {\ displaystyle \ psi = 0}，目标点为ψ= 1 {\ displaystyle \ psi = 1}。在这些坐标中，绳索拉伸时，绳索上的所有点均保持在固定位置（以ψ{\ displaystyle \ psi}表示）。在时间t⩾0 {\ displaystyle t \ geqslant 0}时，x = X {\ displaystyle x = X}处的点位于ψ= X c + vt {\ displaystyle \ psi = {\ frac {X} {c + vt}}}，相对于绳索相对于x的速度α{\ displaystyle \ alpha}等于速度c + vt {\ displaystyle {\ frac {\ alpha} { c + vt}}}，以ψ{\ displaystyle \ psi}表示。因此，如果我们在时间t {\ displaystyle t}上用ψ{\ displaystyle \ psi}表示蚂蚁的位置，将其写为ϕ（t）{\ displaystyle \ phi（t）}，而将蚂蚁的速度表示为在时间t {\ displaystyle t}上的ψ{\ displaystyle \ psi}的ϕ'（t）{\ displaystyle \ phi'（t）}的表达式，我们可以这样写：
′'（t）=αc + v t {\ displaystyle \ phi'（t）= {\ frac {\ alpha} {c + vt}}}
ϕ（t）=∫αc + vtdt =αv ln（c + vt）+κ{\ displaystyle \因此\ phi（t）= \ int {{\ frac {\ alpha} {c + vt}} \，dt} = {\ frac {\ alpha} {v}} \ ln（c + vt）+ \ kappa}其中κ{\ displaystyle \ kappa}是积分常数。
现在，ϕ（0）= 0 {\ displaystyle \ phi（0）= 0}，得出κ= −αv lnc {\ displaystyle \ kappa =-{\ frac {\ alpha} {v}} \ ln { c}}，因此ϕ（t）=αv ln（c + vtc）{\ displaystyle \ phi（t）= {\ frac {\ alpha} {v}} \ ln {\ left（{\ frac {c + vt} {c}} \ right）}}。
如果蚂蚁在时间t = T {\ displaystyle t = T}到达目标点（在ψ= 1 {\ displaystyle \ psi = 1}处），则必须使ϕ（T）= 1 {\ displaystyle \ phi（T）= 1}，这使我们：
αv ln（c + v T c）= 1 {\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {v}} \ ln {\ left（{\ frac {c + vT} {c}} \ right）} = 1}
∴T = c v（e v /α− 1）{\ displaystyle \因此T = {\ frac {c} {v}} \ left（e ^ {v / \ alpha} -1 \ right）}
（对于v = 0的简单情况，我们可以考虑极限lim v→0 T（v）{\ displaystyle \ lim _ {v \ rightarrow 0} T（v）}并获得简单解T = cα{ \ displaystyle T = {\ tfrac {c} {\ alpha}}}），因为这给出了所有有限c {\ displaystyle c}，v {\ displaystyle v}，α{\ displaystyle \ alpha}（v> 0 {\ displaystyle v> 0}，α> 0 {\ displaystyle \ alpha> 0}），这意味着在给定足够的时间后，蚂蚁将完成到达目标点的过程。该公式可用于找出需要多少时间。
对于最初提到的问题，c = 1 km {\ displaystyle c = 1 \，\ mathrm {km}}，v = 1 km / s {\ displaystyle v = 1 \，\ mathrm {km} / \ mathrm {s }}和α= 1 cm / s {\ displaystyle \ alpha = 1 \，\ mathrm {cm} / \ mathrm {s}}，得出T =（e 100 000 − 1）s≈2.8×10 43 429 s {\ displaystyle T =（e ^ {100 \，000} -1）\，\ mathrm {s} \，\！\约2.8 \乘以10 ^ {43 \，429} \，\ mathrm {s}}。即使与估计的宇宙年龄相比，这也是一个巨大的跨度，宇宙的年龄仅约4×10 17 s。此外，在这样的时间之后，绳索的长度类似地也很大，因此，仅在数学意义上，蚂蚁才能到达该特定绳索的末端。
无论绳索端点的速度如何，我们始终可以在绳索上进行标记，以使任意两个相邻标记的相对速度任意变慢。如果绳索最初是1公里长，并且每秒被拉伸1公里，则我们可以在整个绳索上进行最初相距5毫米的标记。那么任何两个标记的相对速度均为每秒5毫米。显然，以每秒1厘米的速度爬行的蚂蚁总是可以从一个标记到达另一个标记，然后再次到达另一个标记，依此类推，直到最终到达绳索的尽头。对于任何恒定的拉伸速度，蚂蚁速度和绳索长度，相同的推理都适用。
关键事实是，当绳索被拉伸时，蚂蚁会与绳索的尖端一起移动。在任何给定的时间点，我们都可以找到蚂蚁从起点到目标点的距离所占的比例。即使蚂蚁停止并且绳索继续伸展，该比例也不会减少，并且实际上会随着蚂蚁与绳索在蚂蚁停止的位置一起移动而保持恒定（因为绳索被均匀地伸展）。因此，如果蚂蚁向前移动，这个比例只会增加。
这个难题与以下问题有关：考虑到空间的公制扩展，来自遥远星系的光是否能够到达我们。宇宙正在膨胀，这导致与其他星系的距离增加，而距我们足够远的星系的视在相对运动将大于光速。似乎离开如此遥远星系的光永远无法到达我们。
通过思考光子在蚂蚁沿着银河系和我们之间的空间的橡胶绳爬行时的光子，我们可以看到，就像蚂蚁最终可以到达绳的末端一样，来自遥远星系的光也是如此，甚至有些似乎是如果有足够的时间，以大于光速的速度后退，最终可以到达地球。
但是，空间的度量扩展正在加速。橡胶绳上的蚂蚁其膨胀随时间增加而不能保证到达终点。 [3]因此，来自足够遥远星系的光仍可能永远不会到达地球。
^ a b Graeme（2002年10月1日）。 “漫漫长路”。问题站点。 （原始内容存档于2008年4月24日）。
^ Koelman，约翰内斯（2012）。 “ Beam Me the最遥远的，Scotty！”。 （原始内容存档于2013年4月6日）。