广义f均值

在学校里，我们首先要教算术平均值，然后是几何平均值，再也可能要讲一两个诸如谐波/反谐波平均值。

但是大多数老师并不讲授这些手段背后的逻辑或推导。它们仅提供公式，也许还提供一些方案，其中每个均值将比其他均有用。

我想从程序员的角度，从算法的角度来说明平均值的定义。

如果我们将该二进制运算应用于列表中的一个数字，则必须将其逆运算应用于列表中的另一个数字。

我们可以继续将$ f $应用于一个元素，然后根据需要将$ f ^ {-1} $应用于另一个元素，直到列表中的每个数字相等为止。所有元素都等于...的数字就是平均值！

**我知道我们尚未指定执行该算法以确保其停止的最优化方法。

好吧，给定任何可逆对称二进制函数，我们可以定义一个均值并导出其``捷径''公式！

算术平均值：$ f（a，b）= a + b $几何平均值：$ f（a，b）= ab $几何平均值（替代定义）：$ f（a，b）= ln（a）+ ln（ b）$谐波均值：$ f（a，b）= 1 /（1 / a + 1 / b）$

例如，1和100的算术平均值为$ 50 \ frac {1} {2} $。但是1和100的几何平均值是10。

知道我们现在在做什么，我们是否可以创造一个更偏爱较小数字的均值？

我不知道这些是否已经存在于正式的数学世界中。书籍或已发表的论文。因此，如果您为他们找到了以前的名字，请告诉我！

您可能会问我们是否可以将均值偏向较小的数字，甚至比上述指数均值还要大。我们肯定可以。简而言之，使用称为Tetration的东西-迭代取幂。甚至有包含迭代四边形的操作等等...这类操作称为超操作。因此，我们可以根据需要将平均数偏向低点或高点，这是美丽的吗？在教授不同的方法之前，应该真正教授定义均值的理论。

但是在我忘记之前，您必须说：“我的快捷方式在哪里？!!”

让我们首先得出算术平均值。假设我们有一个4个元素的列表，$ {x，y，z，t} $

我们让$ g（a）= f（a，f（a，f（a，a）））= a + a + a + a = 4a $

这意味着我们的平均值是$（x + y + z + t）/ 4 $，这是我们从算术平均值中得出的期望

上面只是一个固定大小的4个元素列表的演示。任何大小的列表的概念都是相同的。我们可以使用归纳法推断出n个元素列表$（x + y + z + t……。+ w）/ n $的公式。

谐波平均值输入：= GeneralizedMean [{x，y，z，t}，（1 /（1 /＃+ 1 /＃2））＆] Out = 4 /（1 / t + 1 / x + 1 / y + 1 / z）

上面我必须使用2个变量，因为Mathematica的符号逆还不够强。 Franken Mean v2甚至不使用符号或偶数进行计算。我最终将对此进行研究，以期希望至少能获得一些数值以达到预期的效果。

享受创造自己的手段！质数列表上的数字理论方法以及这类东西应该非常有趣，值得欢呼！

Kolmogorov实际上做了类似的事情，并提出了广义f均值

但是他将其构造限制为仅形式为$ f（a，b）= g（a）+ g（b）$的函数，其中g是确定均值并要指定的函数。