二项分布和泊松分布是应用数据科学中最常用的两种。它们是紧密相连的。泊松分布实际上只是二项式的一种特例-试验次数很多，在任何给定试验中成功的可能性都很小。
在这篇文章中，我将通过一个简单的证明来证明泊松分布实际上只是二项式，其中n接近无穷大而p接近零。
当我们有固定数量的事件n时，二项式分布起作用，每个事件具有成功概率p的恒定值。想象一下，我们不知道将要进行的试验次数。相反，我们只知道每个时间段的平均成功次数。因此，我们知道每天的成功率，但不知道试验次数n或导致该比率的成功概率p。
让它成为每天的成功率。等于np那就是试验的数量n-不管有多少-乘以每个试验获得成功的机会p。可以这样想：如果成功的机会是p，并且我们每天进行n次试验，那么我们平均每天就会获得np次成功。这就是我们观察到的成功率λ。
如上所述，让我们定义lambda = np。求解p，我们得到p = lamda / n。我们要做的是将这个表达式替换为p到上面的二项式分布中，并随着n变为无穷大而取极限，并尝试提出一些有用的东西。那是，
取出常数，将右边（n-k）的项分解为n的项，将-k的项分解为一，
现在，让我们一次限制这个右侧的限制。我们将分三个步骤进行操作。第一步是找到以下限制：
在分子中，我们可以展开n！分为（n）（n-1）（n-2）…（1）的n个项。在分母中，我们可以将（n-k）扩展为（n-k）（n-k-1）（n-k-2）…（1）的n-k个项。那是，
这样写，很明显顶部和底部的许多术语都被抵消了。 （n-k）（n-k-1）…（1）个项同时从分子和分母中消除，从而留下以下内容：
由于我们取消了n-k个项，因此这里的分子剩下k个项，从n到n-k + 1。所以这在分子中有k个项，在分母中有k个项，因为n是k的幂。扩展分子和分母，我们可以将其重写为：
这有k个项。显然，当n接近无穷大时，这k个项中的每一个都接近1。因此，我们知道问题的这一部分只是简化为一个。因此，我们完成了第一步。
第二步是在方程的中间找到项的极限，即
看起来很像e的定义。令x = -n / lambda，我们可以将其代入上面的表达式中，并采用以下限制：
我们的第三步也是最后一步是在右边找到最后一项的极限。当n接近无穷大时，该项变为1 ^（-k），等于1。这照顾了我们的上学期。将这三个结果放在一起，我们可以将原始限制重写为
这就是Poisson分布所熟悉的概率密度函数，在给定参数lambda的情况下，我们可以得出每个周期k次成功的概率。
因此，我们证明了泊松分布只是二项式的一种特例，其中n次试验的数量增加到无穷大，并且在任何特定试验中成功的机会都接近零。这就完成了证明！